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CALCOLO COMBINATORIO
STATISTICA DESCRITTIVA
PROBABILITA’ NON UNIFORME
PROBABILITA’ UNIFORME
10. 11. . Disposizioni di lunghezza È con ripetizione n°: CALCOLO COMBINATORIO Insieme delle parti 2”: e Si usa per calcolare il numero totale di sottoinsiemi di un insieme con n elementi. nl Permutazioni di lunghezza £ * Si utilizza quando vuoi trovare il numero di modi in cui & elementi possono essere disposti, considerando ripetizioni (con a, b, c, ... che rappresentano le ripetizioni di ciascun elemento). Permutazioni semplici o anagrammi nl: * Si usa per trovare il numero di modi in cui tutti gli n. elementi possono essere disposti senza ripetizioni. Disposizioni di lunghezza & senza ripeti ngi * Siutilizza per trovare il numero di modi in cui & elementi possono essere scelti e disposti da un insieme di n elementi senza ripetizioni. ke + Si utilizza quando vuoi trovare il numero di modi in cui & elementi possono essere scelti e disposti da un insieme di n elementi con ripetizioni. . Sottoinsiemi di cardinalità £ (7) = me * Si usa per calcolare il numero di sottoinsiemi di & elementi che possono essere scelti da un insieme di n elementi senza considerare l'ordine. . Stifel: combinatoria ricorsiva di tipo (a, b): . (i n) : Si usa in contesti più complessi dove si vuole calcolare combinazioni ricorsive multiple. . (05 La classica formula del coefficiente binomiale ricorsivo. . Cammino reticolare con m passi a destra e n verso l'alto (70): * Si utilizza per contare il numero di percorsi possibili in una griglia da un punto di partenza ad un punto di arrivo. . Fibonacci ricorsivo con n > 3: e F.= Fn-1 + Fn-2:La relazione ricorsiva per i numeri di Fibonacci. Fibonacci esplicito: e Y (141); Una formula esplicita per calcolare il numero n-esimo di Fibonacci eV kJ plicità pi i Numero di scombussolamenti lunghi n: Ù DIM 1)?-A. (n): Si utilizza per calcolare il numero di derangements (permutazioni în cui nessun elemento appare nella sua posizione originale). . Bell con B} = 1e B» = 2: Sottopartizioni di n elementi B, = Di "1)\Bi: * Uso: Per calcolare il numero di partizioni di un insieme di n elementi in sottoinsiemi non vuoti. . Stirling So = 1, So, = 0: Partizioni con & sottoinsiemi Sng = &- Sn1k + Snnk-1 * Uso: Per calcolare il numero di modi in cui un insieme di n. elementi può essere partizionato in k sottoinsiemi non vuoti. 3. Inclusione-Esclusione - modo 1: * Uso: Per calcolare la cardinalità dell'unione di n insiemi. 4. Inclusione-Esclusione - modo 2: ® Uso: Per calcolare la cardinalità del complemento dell'unione di n insiemi. 5. Contare F suriettive (n elementi del dominio e m elementi del codominio): ® Uso: Per contare il numero di funzioni suriettive (funzioni onto) da un insieme di n. elementi a un insieme di m elementi. v . Contare F iniettive (n elementi del dominio e m elementi del codominio): ® Uso: Per contare il numero di funzioni iniettive (funzioni one-to-one) da un insieme di n. elementi a un insieme di m elementi. STATISTICA DESCRITTIVA 1. Media campionaria X = Ma, bi + Ln): ® Uso: Per calcolare la media aritmetica semplice di un insieme di dati. Si usa quando ogni dato ha lo stesso peso. 2. Media campionaria con gruppi classi (frequenze) £; = font there ® Uso: Per calcolare la media di dati raggruppati in classi con frequenze diverse. Si usa quando i dati sono raggruppati e ogni gruppo ha una frequenza associata. WET E, 3. Media ponderata T,, = ioeeeeti ® Uso: Per calcolare la media di un insieme di dati con pesi diversi. Si usa quando i dati hanno pesi differenti e si vuole dare importanza diversa a ciascun dato. PROBABILITA’ NON UNIFORME La probabilità non uniforme implica che i vari eventi non abbiano tutti la stessa probabilità di verificarsi. In una distribuzione uniforme, ogni risultato nell'insieme Q avrebbe la stessa probabilità P(E;)- 1, dove n è il numero di risultati possibili. Nel caso della probabilità non uniforme: * Le probabilità assegnate ai diversi risultati possono essere diverse. * L'unico vincolo è che la somma di tutte le probabilità assegnate deve essere 1, ovvero Viu P(E)=1 Questo è utile in situazioni dove certi risultati sona più probabili di altri, come nel lancio di un dado truccato o nelle distribuzioni di probabilità condizionate. 1. Insieme dei risultati Q = {1,...,n}: * Uso: Questo rappresenta l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento. Ogni elemento nell'insieme £2 rappresenta un possibile esito. 2. Famiglia coerente e chiusa di eventi A = {0,0, E1,..., En}: + Uso:.Aè l'algebra degli eventi, che include l'insieme vuoto, l'intero spazio dei risultati, e tutti i possibili eventi (sottoinsiemi di 0). 3. Valore di probabilità P:A- R: * Uso: P è la funzione di probabilità che assegna a ciascun evento in A un valore reale, rappresentando la probabilità che quell'evento si verifichi. La somma delle probabilità di tutti gli eventi deve essere pari a 1. 2. Proprietà di base della probabilità: * P(E) > 0:La probabilità di qualsiasi evento E è sempre non negativa. + P(0)= 0:La probabilità dell'evento nullo (l'evento che non si verifica) è zero. + P(Q)= l:La probabilità dell'intero spazio dei risultati è uno, cioè uno degli eventi nell'universo degli eventi si verifica certamente. 3. Probabilità di unione di eventi: * P(Uj_ Ei) = P(E1) + P(E.) + --- + P(Ey): La probabilità dell'unione di n eventi mutuamente esclusivi (che non si verificano contemporaneamente) è la somma delle loro probabilità individuali. 4. Spazio di probabilità (2, A, P)**: ® Uso: Un modello matematico che definisce uno spazio di probabilità, composto da: e Q:L'insieme di tutti i possibili risultati (spazio campionario). * A:L'algebra degli eventi, un insieme di sottoinsiemi di 2 che include {2 stesso e che è chiuso rispetto alle operazioni di unione e intersezione. * P:La funzione di probabilità che assegna a ciascun evento in A un valore di probabilità. 5. Proprietà di add e P(B)=Y, P(BN Ai): La probabilità di un evento B può essere calcolata come la somma delle probabilità delle intersezioni di B con ciascuno degli eventi A; mutuamente esclusivi che partizionano lo spazio campionario. PROBABILITA’ UNIFORME La probabilità uniforme implica che ogni evento elementare all'interno dello spazio campionario ha la stessa probabilità di verificarsi. Questo è caratterizzato da: * Probabilità equa: Ogni esito ha una probabilità identica di 1 * Calcolo semplice: La probabilità di un evento E è semplicemente il numero di esiti favorevoli diviso per il numero totale di esiti possibili. * Modello equo: Viene spesso usata in situazioni dove non c'è alcuna ragione per credere che un esito sia più probabile di un altro, come nel lancio di un dado non truccato o nell'estrazione di una carta da un mazzo ben mescolato. 1. Valore di probabilità totale P(0): # Uso: Rappresenta la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari nello spazio campionario 2. In una distribuzione uniforme, la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari è uguale a 1. + Formula: P(Q) = P(E.) + P(E2) +---+ P(En)=p+p+---+p=np 2. Valore di probabilità singola p: * Uso:In una distribuzione uniforme, ogni evento elementare ha la stessa probabilità. Questa probabilità è data dal reciproco del numero totale di eventi elementari n. * Formula p= 1 4. Evento indipendente (1): * Formula: P(A|B) = P(A) oppure Parli = P(A) e Uso: Per eventi indipendenti, la probabilità che A accada dato B è semplicemente la probabilità che A accada, indipendentemente da B. 5. Evento indipendente (2): * Formula: P(AN B)= P(A)- P(B) * Uso: Per eventi indipendenti, la probabilità che entrambi gli eventi A e B accadano è il prodotto delle loro probabilità individuali. 
