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APPUNTI DI MATEMATICA GENERALE

Definizioni e teoremi

Ultima versione: 26 settembre 2023

Marzia De Donno e Laura Mariano

Indice

• 1 PRIMO MODULO
  • 1.1 Funzioni
  • 1.2 Limiti e continuit`a
  • 1.3 Calcolo differenziale e ottimizzazione in una variabile
  • 1.4 Calcolo differenziale e ottimizzazione in due variabili
• 2 SECONDO MODULO
  • 2.1 Calcolo integrale
  • 2.2 Algebra lineare

Definizione 1.4. (Minimo globale e locale) Sia f una funzione definita su un dominio D.

(i) Un punto x 0 ∈ D `e detto punto di minimo globale o assoluto se per ogni x ∈ D

f (x) ≥ f (x 0 ).

Il numero reale m = f (x 0 ) `e chiamato minimo globale o assoluto di f.

(ii) Un punto x 0 ∈ D `e detto punto di minimo locale o relativo se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x ∈ I ∩ D

f (x) ≥ f (x 0 ).

Il numero reale M = f (x 0 ) `e chiamato minimo locale o relativo di f.

Definizione 1.5. (Convessita e concavita) Una funzione f e detta convessa se il se il suo epigrafico (insieme dei punti al di sopra del grafico)e convesso, cie per ogni coppia di punti dell’epigrafico, il segmento che li congiungee interamente contenuto nell’insieme stesso. Una funzione f e detta concava se la funzione −fe convessa.

1.2 Limiti e continuit`a

Definizione 1.6. (Continuita) Sia f una funzione definita in un intervallo I ⊆ R e x 0 ∈ I. Si dice che fe continua in x 0 se

xlim→x 0 f (x) = f (x 0 ).

Si dice che f e continua see continua in ogni punto del proprio dominio.

Teorema 1.7. (Teorema di Weierstrass) Se f `e una funzione continua su un intervallo [a, b] (chiuso e limitato), f ammette almeno un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto in [a, b].

1.3 Calcolo differenziale e ottimizzazione in una variabile

Definizione 1.8. (Derivata) Sia f una funzione definita in un intervallo I ⊆ R e x 0 ∈ I. Si definisce derivata di f nel punto x 0 , e si denota con f ′(x 0 ), il limite (se esiste finito) del rapporto incrementale in [x 0 , x] quando x tende a x 0 :

f ′(x 0 ) = (^) xlim→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0 se il limite esiste finito.

Definizione 1.9. (Interpretazione geometrica della derivata) La retta di equazione y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 )

si chiama retta tangente al grafico di f nel punto (x 0 , f (x 0 )).

Teorema 1.10. (Teorema di Fermat o condizione necessaria per un estremo locale) Se una funzione f : (a, b) → R ha un estremo relativo (massimo o minimo locale) in un punto x 0 in cui `e derivabile, allora f ′(x 0 ) = 0.

Teorema 1.11. (Test di monotonia) Sia f una funzione differenziabile in (a, b).

• se f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b), f `e crescente in (a, b);
• se f ′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ (a, b), f `e decrescente in (a, b).

Teorema 1.12. (Test della derivata prima) Sia f una funzione differenziabile in (a, b) e sia x 0 ∈ (a, b) tale che f ′(x 0 ) = 0.

• se f ′(x) ≤ 0 in un intorno sinistro di x 0 e f ′(x) ≥ 0 in un intorno destro di x 0 , allora x 0 `e un punto di minimo locale;
• se f ′(x) ≥ 0 in un intorno sinistro di x 0 e f ′(x) ≤ 0 in un intorno destro di x 0 , allora x 0 `e un punto di massimo locale.

Teorema 1.18. (Teorema di Schwartz) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2 e sia (x 0 , y 0 ) ∈ D. Se f ha derivate seconde continue in (x 0 , y 0 ),

f (^) xy′′ (x 0 , y 0 ) = f (^) yx′′(x 0 , y 0 ).

Teorema 1.19. (Condizione necessaria per un estremo locale in R^2 ) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2 , che ammette derivate parziali in un punto (x 0 , y 0 ) ∈ D. Se (x 0 , y 0 ) `e un punto di estremo locale, allora f (^) x′(x 0 , y 0 ) = f (^) y′ (x 0 , y 0 ) = 0.

Teorema 1.20. (Condizione sufficiente per un estremo locale in R^2 ) Sia f una funzione definita su un dominio D ⊆ R^2 , che ammette derivate parziali prime e seconde continue e si definisca l’hessiano

H(x, y) = f (^) xx′′(x, y) f (^) yy′′ (x, y) −

[

f (^) xy′′ (x, y)

] 2

Se (x 0 , y 0 ) `e un punto stazionario; allora:

• se H(x 0 , y 0 ) > 0 e f (^) xx′′(x 0 , y 0 ) > 0, allora (x 0 , y 0 ) `e punto di minimo locale;
• se H(x 0 , y 0 ) > 0 e f (^) xx′′(x 0 , y 0 ) < 0, allora (x 0 , y 0 ) `e punto di massimo locale
• se H(x 0 , y 0 ) < 0, allora (x 0 , y 0 ) `e un punto di sella.

Definizione 1.21. (Lagrangiana) Data la funzione obiettivo f (x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = b, con f, g funzioni definite su un dominio D ⊆ R^2 e b ∈ R, si chiama funzione lagrangiana la funzione in 3 variabili (λ, x, y) definita da

L(λ, x, y) = f (x, y) + λ (b − g(x, y)).

Il parametro λ `e detto moltiplicatore di Lagrange.

Teorema 1.22. (Condizioni necessarie per problemi di ottimo vincolato) Siano f, g funzioni definite su un dominio D ⊆ R^2 che ammettano derivate parziali prime. Se (x∗, y∗) e una soluzione del problema di ottimo vincolato con funzione obiettivo f (x, y) e vincolo g(x, y) = b (b ∈ R), esiste λ∗^ ∈ R tale che (λ∗, x∗, y∗)e punto stazionario della funzione lagrangiana, cioee soluzione del sistema   

L′ λ(λ∗, x∗, y∗) = 0 L′ x(λ∗, x∗, y∗) = 0 L′ y (λ∗, x∗, y∗) = 0

Definizione 2.5. (Integrale definito secondo Riemann) L’integrale definito secondo Riemann di una funzione f limitata su [a, b] ∫ (^) b

a

f (x) dx

e il limite per n → +∞ della somma di Riemann, se tale limite esiste,e finito e non dipende da ti.

Teorema 2.6. (Condizioni sufficienti per l’integrabilit`a secondo Riemann)

(i) Una funzione f continua su [a, b], `e ivi integrabile.

(ii) Una funzione f monotona su [a, b], anche con una infinita numerabile di punti di discontinuita, `e ivi integrabile.

(iii) Una funzione f limitata su [a, b] con un numero finito di punti di discontinuita,e ivi integrabile.

Definizione 2.7. (Funzione integrale) Sia f una funzione integrabile secondo Riemann su [a, b], e sia c ∈ [a, b]. La funzione

Fc(x) =

∫ (^) x

c

f (t) dt

si dice funzione integrale di f , centrata in c.

Teorema 2.8. (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f integrabile su [a, b] e F (x) una sua primitiva. Allora ∫ (^) b

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

Teorema 2.9. (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f una funzione integrabile su [a, b] e sia c ∈ [a, b]. Allora la sua funzione integrale centrata in c, Fc(x) =

∫ (^) x c f^ (t)^ dt^ e continua. Inoltre, se fe continua in [a, b], allora la funzione integrale Fc(x) =

∫ (^) x

c

f (t) dt e una sua primitiva (cioe F (^) c′(x) = f (x)).

Definizione 2.10. (Integrale improprio o generalizzato su un intervallo il- limitato a destra) Sia f una funzione definita su un intervallo illimitato [a, +∞), tale che f sia integrabile secondo Riemann su ogni intervallo [a, x], x > a. Se (^) x→lim+∞

∫ (^) x

c

f (t) dt esiste ed `e finito, la funzione si dice integrabile in senso improprio o generalizzato sull’intervallo [a, +∞); tale limite viene chiamato integrale improprio di f su [a, +∞) e si scrive ∫ (^) +∞

a

f (x) dx = (^) x→lim+∞

∫ (^) x

a

f (t) dt.

2.2 Algebra lineare

Definizione 2.11. (Combinazione lineare di vettori) Dati k vettori x 1 , x 2 ,... , xk di Rn^ e k scalari c 1 , c 2 ,... , ck, il vettore x ∈ Rn^ scritto come

x = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + ckxk

si dice combinazione lineare dei k vettori con coefficienti o pesi c 1 , c 2 ,... .ck.

Definizione 2.12. (Combinazione lineare convessa) Dati k vettori x 1 , x 2 ,... , xk di Rn^ e k scalari c 1 , c 2 ,... , ck, tali che ci ≥ 0 per ogni i e ∑k i=1 ci^ = 1 , il vettore^ x^ ∈^ Rn^ scritto come

x = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + ckxk

si dice combinazione lineare convessa dei k vettori con coefficienti o pesi c 1 , c 2 ,... .ck.

Definizione 2.13. (Dipendenza e indipendenza lineare di vettori)

1. k vettori x 1 , x 2 ,... , xk di Rn^ sono detti linearmente dipendenti se almeno uno di essi pu`o essere scritto come combinazione lineare degli altri
2. k vettori x 1 , x 2 ,... , xk di Rn^ sono detti linearmente indipendenti se nessuno di essi pu`o essere scritto come combinazione lineare degli altri.

Teorema 2.20. (Condizione necessaria e sufficiente per la dipendenza li- neare di vettori) Il determinante di una matrice quadrata `e uguale a zero se e solo se i suoi vettori riga e/o colonna sono linearmente dipendenti

Teorema 2.21. (Condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilita di una matrice quadrata) Una matrice quadrata di ordine ne invertibile se e solo se il suo determinante `e diverso da zero

Definizione 2.22. (Rango) Data una matrice A (m × n), il rango di A `e il massimo numero di vettori righe o colonna linearmente indipendenti

Teorema 2.23. (Teorema di Cramer) Dato un sistema lineare Ax = b di n equazioni con n incognite, se il determinante di A (matrice dei coefficienti) `e diverso da zero allora il sistema ha una e una sola soluzione data da x = A−^1 b.

Teorema 2.24. (Teorema di Rouche-Capelli) Un sistema lineare Ax = b con m equazioni e n incognite ammette soluzione se e solo se il rango della matrice dei coefficientie uguale al rango della matrice completa, ossia della matrice che si ottiene aggiungendo alla matrice A il vettore dei termini noti b.