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COGNOME: NOME:
MATRICOLA UCSC:
Simulazione della prova intera [12 esercizi; 31 punti disponibili; 45 minuti disponibili; in remoto]
ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó
La valutazione Önale sar‡ pari ad 7 punti + il punteggio ottenuto nelle domande a scelta multipla. ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó
1 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
il determinante della matrice dei coe¢ cienti Ë pari a: A) 16 t^2 ; B) 4 t^2 ; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) 1 t^2.
2 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
A) il sistema Ë impossibile se t = 4 ; B) il sistema Ë determinato se t = 1 ; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) il sistema Ë indeterminato se t = 2.
3 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
A) il sistema ha 12 soluzioni se t = 4; B) il sistema ha 11 soluzioni se t = 1; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) il sistema ha 11 soluzioni se t = 2.
4 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
la soluzione (x 1 ; x 2 ; x 3 ) per t = ^14 Ë tale che: A) x 3 = 0; B) x 2 = 2 ; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) x 3 = 2.
5 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
la soluzione (x 1 ; x 2 ; x 3 ) per t = 14 Ë tale che: A) x 1 = 0; B) x 2 = 1 ; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) x 3 = 0.
6 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
la soluzione (x 1 ; x 2 ; x 3 ) per t = 2 Ë tale che:
B) x 1 = 2 + 1, x 2 = , e x 3 = 3 con reale qualsiasi; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) x 1 = 2 1 , x 2 = 1 , e x 3 = con reale qualsiasi.
10 [2 punti] Dato il sistema parametrico (il parametro reale Ë t) 8
< :
x 3 x 2 + tx 1 = t 1 x 1 + 2x 3 + x 2 (t 1) = 1 x 2 x 1 x 3 = 0
la soluzione (x 1 ; x 2 ; x 3 ) per t = 1 Ë tale che: A) x 1 = , x 2 = 12 12 , e x 3 = 2 + con reale qualsiasi; B) x 1 = , x 2 = 12 12 , e x 3 = 3 con reale qualsiasi; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) x 1 = , x 2 = 12 12 , e x 3 = ^12 con reale qualsiasi.
11 [2 punti] La primitiva F (x) di
f (x) = x ln x
passante per il punto di coordinate x = 1 e y = 0 (dunque tale che F (1) = 0) Ë: A) F (x) = 14 x^2 ln x 12 x^2 + 12 ; B) F (x) = ^14 x^2 ln x + 12 x^2 12 ; C) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta; D) F (x) = 12 x^2 ln x 14 x^2 + 14.
12 [2 punti] Líintegrale Z^1
0
xe xdx
Ë uguale a: A) 1 2 e ^1 ; B) 2 2 e ^1 ; C) 2 e ^1 ; D) nessuna delle altre a§ermazioni Ë corretta.
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI 1-
Si tratta di un sistema parametrico lineare di 3 equazioni in 3 incognite. La sua forma matriciale Ë
2 (^64)
t 1 1 1 t 1 2 1 1 1
| {z } matrice dei coe¢ cienti
x 1 x 2 x 3
t 1 1 0
| {z } vettore dei termini noti
det
B@
t 1 1 1 t 1 2 1 1 1
CA = 1 t (^2) = 0 () t = 1 _ t = 1.
Se t 6 = 1 ^ t 6 = 1 , allora la soluzione Ë 2 (^64)
x 1 = 1 x 2 = 0 x 3 = 1
Infatti, (^2)
(^64)
t 1 1 1 t 1 2 1 1 1
1 = 1 1 t^2
t 1 0 t 1 1 1 t 1 2 t t 1 t t^2 t + 1
cosicchË 2 (^64)
t 1 1 1 t 1 2 1 1 1
t 1 1 0
Alternativamente, usando la regola di Cramer, si ha
x 1 = (^1) ^1 t 2 det
B@
t 1 1 1 1 t 1 2 0 1 1
CA = 1;
x 2 = (^1) ^1 t 2 det
B@
t t 1 1 1 1 2 1 0 1
CA = 0;
x 3 = (^1) ^1 t 2 det
B@
t 1 t 1 1 t 1 1 1 1 0
CA = 1 :
Se t = 1 , allora la soluzione Ë 2 (^64)
x 1 = 1 x 2 = + 1 x 3 = 2 R
Infatti, il sistema diventa (^2)
(^64)
x 1 x 2 x 3
e, dal momento che
det
il sistema puÚ essere ridotto alle prime due equazioni: " 1 1 1 2
x 1 x 2
x 3 ,
con " 1 1 1 2
x 3
x 3 + 1
SOLUZIONE DELLíESERCIZIO 11
F (x) =
Z
x ln xdx =^12 x^2 ln x 14 x^2 + c (per parti; ln x Ë il fattore Önito).
La restrizione F (1) = 0 implica c = 14.
SOLUZIONE DELLíESERCIZIO 12
Z^1
0
xe xdx =
xe x^ e x
0
(per parti; x Ë il fattore Önito)
e ^1 e ^1
0 e ^0
= 1 1 2 e ^1.
