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I logaritmi
DEFINIZIONE
Dati 2 numeri positivi reali a e b (con a≠1), si chiama logaritmo in base a del numero, si
indica loga(b), l’esponente alla quale elevare la base a per ottenere b. Il numero b si dice
argomento del logaritmo.
X= loga(b)
Possiamo dire che il logaritmo è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. Consideriamo un semplice elevamento a potenza, due elevato alla terza. =? Trovare il risultato di una potenza significa moltiplicare per se stesso il numero che rappresenta la base della potenza, in questo caso 2, per tante volte quanto indicato dall'esponente. Si ha, cioè: =2×2×2= Facciamo adesso un esempio diverso: = In questo caso, occorre trovare l'esponente da assegnare al numero 3, per avere come risultato della potenza il numero 81. È qui che possiamo usare il concetto di logaritmo. Possiamo dire, infatti, che l'esponente da assegnare a 3 per avere come risultato 81 è proprio il logaritmo in base 3 di 81. log 3 (81)= Questo ci porta a concludere che, se di una potenza assegnata è nota la base e bisogna trovare l'esponente, l'operazione da utilizzare è il logaritmo.
Qualsiasi sia la base del logaritmo, se l'argomento è uguale ad 1, il valore del logaritmo sarà sempre zero. Infatti, qualsiasi numero elevato alla potenza zero da come risultato 1. loga 1=
Se la base e l'argomento del logaritmo sono uguali, il risultato del logaritmo è sempre 1. loga =
LOGARITMO NATURALE O NEPERIANO Alcuni logaritmi sono più utilizzati di altri, per cui acquistano dei nomi particolari. Uno di questi, forse il più importante, è il logaritmo che ha per base il numero 𝑒. Il numero 𝑒 (o numero di Nepero) è un numero irrazionale, che vale: 𝑒=2,71828182845904523536… Un logaritmo la cui base è il numero di Nepero 𝑒, è detto logaritmo naturale o neperiano. Per esso valgono le precedenti considerazioni: loge 1=
loge 𝑒=
LOGARITMO DECIMALE O DI BRIGGS Un altro logaritmo che viene spesso utilizzato è il logaritmo con base 10, detto anche logaritmo decimale. Il logaritmo decimale è molto utilizzato per via del fatto che il numero 10 è la base del nostro sistema di numerazione. Log 10 = ↔ =
Il logaritmo decimale è noto anche con il nome di logaritmo di Briggs, dall'omonimo matematico britannico e, oltre ad indicarsi con il solito simbolo si può spesso trovare con l’iniziale maiuscola
log 10 = ↔ Log =
PROPRIETÀ
Con i logaritmi è possibile compiere quattro operazioni: moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice. Ognuna di queste quattro operazioni è resa possibile dall'esistenza di un teorema.
Teorema 1: Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.
log ( ⋅𝑐)=logb +log 𝑐
Dimostrazione:
log =𝑥; log 𝑐=𝑦; log ( ⋅𝑐)=𝑧
Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:
; 𝑐 ; ⋅c
Moltiplichiamo tra di loro i primi due termini:
⋅ = ⋅𝑐 = ⋅𝑐
Ma precedentemente abbiamo visto come:
= ⋅𝑐, quindi:
→𝑧=𝑥+𝑦
→log ( ⋅𝑐)=log +log 𝑐
Teorema 2: Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del divisore.
log =log −log 𝑐
Dimostrazione:
log =𝑥; log 𝑐=𝑦; log =𝑧
Dalla definizione stessa di logaritmo, possiamo scrivere:
𝑥= ; 𝑦=𝑐; 𝑧=
Dividiamo tra di loro i primi due termini:
Ma precedentemente abbiamo visto come:
𝑧=
Quindi:
CAMBIAMENTO DI BASE DI UN LOGARITMO
Molte delle proprietà coinvolgono due o più logaritmi e possono essere applicate solo quando i logaritmi hanno la stessa base. Quando questo non dovesse accadere, è possibile usare una regola per modificare la base di un logaritmo. Per comodità indicherò con V (vecchia) la base del logaritmo che ci viene assegnata e con N (nuova) la base in cui vogliamo convertirlo. Il nostro problema è dunque: log𝑉 →log𝑁
Poniamo: log𝑁 =𝑥
Possiamo scrivere, data la definizione di logaritmo: 𝑁𝑥=
Ora, se due numeri sono uguali saranno ovviamente uguali anche i loro logaritmi, se calcolati rispetto alla stessa base. Possiamo dunque scrivere: log𝑉𝑁𝑥=log𝑉
Ricordando la terza proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere: 𝑥⋅log𝑉𝑁=log𝑉
Cioè: 𝑥=
E quindi: log𝑁 =
Possiamo dunque concludere che il logaritmo di un numero in una nuova base è uguale al logaritmo dello stesso numero nella vecchia base diviso il logaritmo della nuova base nella vecchia base.
La quantità:
che compare nella formula è detta modulo di trasformazione (M), e rappresenta il termine fisso per cui occorre moltiplicare il logaritmo di un numero nella vecchia base per ottenere il logaritmo dello stesso numero nella nuova base.
log𝑁 =𝑀⋅log𝑉
EQUAZIONI LOGARITMICHE Le equazioni logaritmiche sono quelle equazioni nelle quali l'incognita compare come argomento di uno o più logaritmi. Un'equazione in cui compaiono logaritmi di espressioni algebriche nella variabile x si dice logaritmica, e salvo alcune eccezioni, può essere risolta utilizzando le proprietà dei logaritmi.
La strategia fondamentale consiste nel ridurre l'equazione alla forma:
log 𝐴(𝑥)=log 𝐵(𝑥)
Da qui, infatti, si può passare agli argomenti e scrivere
𝐴(𝑥)=𝐵(𝑥), un'espressione che non contiene più logaritmi e può essere risolta come una normale equazione.
Le espressioni A(x) e B(x) indicano due espressioni algebriche nella variabile x, e che, affinché il logaritmo esista (o più precisamente esista nell'insieme dei numeri reali), occorre sempre supporre positive. Quindi, prima di ogni equazione, si deve calcolare il campo di esistenza, cioè di porre positiva ciascuna delle quantità presenti come argomento dei vari logaritmi presenti nell'equazione.
Esempio:
log 2 (𝑥^2 −1)=
log 2 (𝑥^2 −1)=log 28
𝑥^2 −1=
𝑥^2 =
𝑥=±
DISEQUZIONI LOGARITMICHE Si tratta di modelli matematici che descrivono fenomeni naturali si basano su funzioni esponenziali e logaritmiche. La possibilità di definire una potenza con esponente reale permette di studiare tali funzioni. Mediante le proprietà dei logaritmi è possibile trasformare moltiplicazioni e divisioni in addizioni e sottrazioni, oppure elevamento a potenza ed estrazioni di radice in moltiplicazioni e divisioni.
Disequazione logaritmica elementare
Si dice disequazione logaritmica una disequazione in cui l’incognita 𝑥 è presente solo nell’argomento di uno o più logaritmi. Le seguenti scritture rappresento disequazioni logaritmiche elementari ridotte in forma canonica: 𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥)>0; 𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥)>0; 𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥)≥0; 𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥)≤ Le disequazioni in elenco sono del tipo più semplice perché il secondo membro è zero e
dobbiamo distinguere solo due casi: >1; 0> >
Il campo di esistenza della funzione logaritmica è l'insieme dei numeri reali positivi, ℝ+; il suo codominio è l’insieme ℝ. Il grafico della funzione logaritmica si sviluppa dunque nel primo e nel quarto quadrante del piano cartesiano, le ascisse dei punti del grafico possono avere solo valori positivi ed è presente una sola intersezione con l'asse x, punto in cui la funzione assume il valore zero, in questo caso l'argomento del logaritmo è uguale ad uno. Quando la base del logaritmo è positiva e maggiore di 1 la funzione ha andamento crescente nel suo dominio. Quando la base del logaritmo è compresa tra 0 ed 1 la funzione ha andamento decrescente nel suo dominio. In 𝑥=1, la funzione ha uno zero, il suo segno cambia proprio in corrispondenza di questo valore. Le disequazioni si risolvono sfruttando la monotonia della funzione, applicando semplicemente la definizione di funzione crescente o decrescete. Le disequazioni elementari scritte in elenco sopra, vanno risolte come segue nei due casi:
Affinché il logaritmo esista, occorre che: 𝑥^2 −1> (e quindi x dev'essere maggiore di 1 e minore di - 1).
