Statistica: Calcolo di Probabilità e Disposizioni Semplici, Sintesi del corso di Statistica

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G. Cicchitelli, P. D’Urso, M. Minozzo,

Statistica

ARGOMENTI

− Calcolo combinatorio − Disposizioni semplici − Disposizioni con ripetizione − Permutazioni semplici − Permutazioni con ripetizioni − Combinazioni semplici − Probabilità − Assiomi di probabilità − Evento complementare − Evento compatibili ed incompatibili − Eventi dipendenti ed indipendenti − Somma di eventi incompatibili e compatibili (unione insiemistica) − Probabilità condizionata − Variabili aleatorie − Funzione di ripartizione − Funzione di massa − Funzione di densità − Valore atteso − Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria − Caso notevole − Momento n-esimo di una variabile aleatoria − Varianza − Proprietà della varianza − Deviazione standard o scarto quadratico medio − Covarianza − Teorema sulle variabili aleatorie indipendenti − Coefficiente di correlazione lineare − Funzione generatrice dei momenti − Disuguaglianza di Markov − Dimostrazione (mancante) − Disuguaglianza di Chebyshev

− Quando − Funzione di massa, valore atteso, varianza − Somma − V.a. di Poisson − Quando − Funzione di massa, funzione generatrice dei momenti, valore atteso, varianza − Approssimazione della binomiale − Somma − V.a. geometriche − Quando − Funzione di massa, valore atteso, varianza − V.a. ipergeometriche − Quando − Funzione di massa, valore atteso − V.a. di uniformi − Quando − Funzione di densità, valore atteso, varianza, funzione di ripartizione − V.a. di Gauss o normali − Quando − Funzione di densità, valore atteso, varianza − Trasformazione lineare − Somma di normali indipendenti − Variabili aleatoria normali standard − V.a. esponenziale − Quando − Funzione di densità, valore atteso,varianza − V.a.di tipo Gamma − Quando − Funzione di densità, valore atteso, varianza − Somma di variabili di tipo gamma indipendenti − V.a. di tipo Chi quadro

− Quando − Funzione di densità, valore atteso, varianza − Somma di variabili di tipo Chi quadro indipendenti

Assiomi di probabilità

Una regola (o funzione) che associa ad ogni evento E un numero P(E) è una probabilità se: − Se E coincide con tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio allora e viceversa − Se allora

Evento complementare

Si dice “evento complementare di E” e si indica con l’evento che si verifica quando non si verifica E. Com’è facilmente deducibile dà l’evento certo e quindi

Eventi compatibili ed incompatibili

Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è l’insieme vuoto, in caso opposto gli eventi si dicono compatibili.

Eventi dipendenti ed indipendenti

Due eventi si dicono indipendenti se vale. Si dicono dipendenti in ogni altro caso.

Somma di eventi incompatibili e compatibili (unione insiemistica)

Siano E ed F due eventi: ci chiediamo quale sia la probabilità che si verifichi almeno uno di essi. Nel caso in cui i due eventi sono incompatibili grazie all’assioma di probabilità sappiamo che (In presenza di più eventi mutuamente indipendenti la regola di cui sopra è ancora valida) Nel caso in cui i due eventi sono compatibili invece sappiamo che la loro intersezione non è nulla, ovvero che e che quindi sia l’evento E che l’evento F sono costituiti entrambi da un insieme incompatibile (H e I) ed uno compatibile condiviso (G). Possiamo pertanto concludere che il che implica la probabilità che ci interessa.

La probabilità condizionata indica la probabilità che si verifichi un determinato evento E sapendo che un altro evento F si è verificato.

Il valore atteso di una variabile aleatoria discreta (o media) non è altro che la media pesata di tutti i valori che può assumere X moltiplicati per la loro rispettiva probabilità ed indica il valore medio assunto dalla v.a. per un numero di prove tendente ad infinito: ∑ Per una variabile aleatoria continua vale invece: ∫

Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria

E’ possibile dimostrare che valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria è pari a: Nel caso di v.a. discreta: ∑ Nel caso di v.a. continua: ∫ La precedente definizione è utile quando, data una variabile aleatoria X, vogliamo conoscere il comportamento di un’altra variabile aleatoria Y che è dipendente da X secondo una funzione g(X). Caso notevole – Nel caso in cui la funzione di cui sopra sia nella forma è possibile dimostrare che per ogni v.a. continua o discreta vale: Le dimostrazioni sia per il caso discreto che per quello continuo sono banali quindi non vengono riportate (basta usare la definizione del precedente paragrafo)

Si dice momento n-esimo di una v.a. il valore atteso. NB: Il valore atteso di una v.a. è anche detto momento primo

Varianza

Sia X una variabile aleatoria con valore atteso (o media) , chiamiamo varianza il valore: La varianza quantifica la variabilità dei valori assunti dalla variabile aleatoria rispetto alla propria media. Proprietà della varianza Di seguito vengono illustrate alcune proprietà della varianza: − con valore numerico costante

Deviazione standard

Dicesi deviazione standard o scarto quadratico medio e si indica con la radice quadra della varianza: √

Covarianza

Siano date due variabili aleatorie X ed Y con valori attesi E(X) ed E(Y), si dice covarianza di X ed Y Dall’ultima definizione di covarianza è facilmente intuibile, inoltre si può notare come la covarianza estende il concetto di varianza in quanto .

Dimostrazione: (mancante)

Disuguaglianza di Chebyshev

Sia X una variabile aleatoria con media e varianza , la disuguaglianza di Chebyshev Dimostrazione: (mancante)

Legge dei grandi numeri

Siano n v.a. indipendenti, identicamente distribuite e con la stessa media allora: (| ∑ | ) Dimostrazione: (mancante)

Variabili aleatorie di Bernoulli

Quando Immaginiamo di effettuare una prova il cui unico risultato può essere “successo” con probabilità p o “fallimento” con probabilità 1-p. Una v.a. X si dice bernoulliana di parametro p se assume valore 1 in caso di successo della prova e 0 in caso contrario. X è una v.a. discreta. Valore atteso Usando la definizione di momento primo: ∑ Varianza Usando la definizione di momento secondo: ∑ Usando la definizione di varianza:

Somma La somma di due variabili aleatorie binomiali indipendenti di parametri (n,p) e (m,p) è ancora una variabile aleatoria binomiale di parametri (n+m,p) La dimostrazione è banale in quanto occorre ricordarsi che X ed Y non sono altro che la somma di n ed m variabili aleatorie bernoulliane e quindi la loro somma non è altro che la somma di n ed m variabili aleatorie. Se X ed Y hanno lo stesso parametro p allora la somma degli n+m elementi soddisfa la definizione di variabile aleatoria di tipo binomiale.

Variabili aleatorie di Poisson

Quando Funzione di massa Consideriamo la somma di un numero n di prove bernoulliane, in cui il valore medio di successi nelle prove è un numero (es: effettuo cento prove di cui mediamente 5 prove danno esito positivo, quindi ). Ogni singola prova ha pertanto una probabilità di dare esito positivo. La somma delle varie prove è pertanto una variabile aleatoria binomiale. Immaginiamo a questo punto di effettuare un numero infinito di prove e di chiederci qual’è la probabilità che il numero di successi ottenuto sia pari a k Funzione generatrice dei momenti Usando la definizione di f.g.m.: ∑ ( ) ∑ Cosideriamo che la sommatoria è lo sviluppo di Taylor della funzione e quindi Valore atteso Utilizzando la funzione generatrice dei momenti:

Variabili aleatorie ipergeometriche

Quando Supponiamo di avere un insieme costituito da N+M oggetti, N dei quali possiedono delle proprietà interessanti. Una v.a. X si dice ipergeometrica di parametri N, M, n se X denota il numero di oggetti “interessanti” presenti in un campione costituito da n elementi estratti a caso dall’insieme originale.