appunti di statistica, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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STATISTICA

GLI INDICI DI POSIZIONE

VALORI DI SINTESI

• Una distribuzione è compiutamente descritta da 3

principali proprietà:

• la tendenza centrale o posizione
• la dispersione o variabilità
• la forma
• Le misure della tendenza centrale o posizione

individuano il valore intorno al quale i dati sono

raggruppati

• prima indicazione della dimensione di un

fenomeno

VALORI MEDI

 Le medie sono lo strumento con cui si sintetizzano i dati

statistici.

 L’uso della media consente all’individuo di rappresentarsi

mentalmente l’“ ordine di grandezza ” di un fenomeno, di

effettuare comparazioni tra le manifestazioni di uno

stesso fenomeni in tempi, luoghi o situazioni diverse, di

comunicare ad altri tale informazione

In statistica si distinguono di solito due gruppi di medie.

• MEDIE ANALITICHE O DI CALCOLO:

sono quelle che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della

distribuzione;

• MEDIE LASCHE O DI POSIZIONE:

sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori

della distribuzione;

DEFINIZIONE DI VALORE MEDIO COME QUANTITÀ INVARIANTE

 Sia x 1 ,…, x N una distribuzione di singole intensità (valori osservati del carattere X in N unità statistiche)  Un modo generale di esprimere una grandezza che dipende dai valori consiste nel considerare una funzione matematica degli stessi f ( x 1 ,…, x N ) Esempio: f ( x 1 ,…, x N )= x 1 +…+ x N = AMMONTARE TOTALE DEL CARATTERE  Si definisce valore medio della X quel valore che sostituito alle singole intensità della distribuzione x 1 ,…, x N lascia invariata la funzione stessa  f ( x 1 ,…, x N ) = f ( M ,…, M )  con la condizione che x (1) ≤ M ≤x ( N ) ← CONDIZIONE DI INTERNALITÀ 7

La media aritmetica è quel valore che sostituito alle singole

osservazioni ne lascia inalterata la SOMMA

f ( x 1 ,…, x N ) = f ( M ,…, M ) x 1 +…+ x N = M+M+…+M=N× M x ( 1 ) ≤ m ≤ x ( N )

N

x

M

N i  i 

1 m

MEDIA ARITMETICA

MEDIA ARITMETICA

          N i n i x N x x x N (^) 1 1 2 1 ... 1 x m

Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la

sua distribuzione di frequenza:

    s i i i xn N (^) 1 1 x m

La media aritmetica di un insieme di N valori

x

1

, x

2

, …, x

N

di un carattere quantitativo X è data da:

Esempio

In un campione di 30 studenti si rileva il voto di maturità. Si riporta la distribuzione di frequenze assolute: xi ni xi×ni 62 2 124 66 2 132 70 3 210 73 3 219 75 4 300 76 4 304 79 1 79 81 2 162 83 3 249 86 2 172 92 1 92 94 3 282 Totale 30 2325

1 1

    s i i s i i i

n

x n

m m  77 , 5 voti

Prezzi di farmaci e quantità acquistate da un ospedale

Prezzo a confezione (€) Numero Confezioni (migliaia) v.c. Ammontare carattere (costo) ml. (€) 20 – 30 11 25,0 25,0 × 11= 275, 30 – 35 5 32,5 32,5 × 5= 162, 35 – 40 15 37,5 37,5 × 15=^ 562, 40 – 50 9 45,0 45,0 × 9 = 405, Totale 40 1405, m= 1405/40 = 35,13 € (a confezione) (approssimato)

ESEMPIO

CONSIDERAZIONI

 La media aritmetica dipende da tutti i valori

osservati e quindi risente dei valori estremi (valori

anomali);

 La media aritmetica sintetizza la distribuzione di

un carattere con un solo valore

PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA - 2 o Traslativa, cioè cambia rispetto a traslazioni:

o x 1 , x 2 ….xk → M = m

o x 1 +b, x 2 +b,….xk+b → M= m + b

o È omogenea di I grado: o x 1 , x 2 ….xk → M = m o x 1 b, x 2 b,….xkb → M = b× m o la media di una trasformazione lineare o x 1 , x 2 ….xk → M= m o ax 1 +b, ax 2 +b,….axk+b → M= a × m + b o è sempre un valore compreso tra il valore minimo e massimo della distribuzione

PROPRIETÀ DELLA MEDIA ARITMETICA - 3  La m è una funzione crescente rispetto a ognuna delle

quantità singole x

i

se esse sono tutte positive

 Se diminuiamo gradatamente le xi fino a portarle a x (1), la m si riduce gradatamente a x (1);  Se aumentiamo gradatamente le xi fino a portarle a x ( N ), la m si aumenta gradatamente a x ( N ) .

 Se le x

i

sono in progressione aritmetica e se N è dispari, la

media aritmetica coincide con il termine che occupa la

posizione centrale nella graduatoria dei valori ordinati

 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7  m=

MEDIA GEOMETRICA SEMPLICE

 La MEDIA GEOMETRICA è quel valore che sostituito alle

singole osservazioni lascia inalterata la funzione

PRODOTTO DELLE INTENSITÀ



   N 

N N i i N N N N

x Mg x

Mg x x x x

x x x Mg Mg Mg Mg

  1 1 1 2 1 2

CALCOLO DELLA MEDIA GEOMETRICA

 La media geometrica può essere facilmente calcolata con i

logaritmi

 Ricordando che:

 log ab = log a + log b

 log a

c

= c × log a

 Il logaritmo della media geometrica è la media aritmetica

dei logaritmi delle singole intensità

 

N

x

N

x x x

Mg

x

N

Mg x x

N i i N N i i N N i i N N i i        

1 2 1 1 1 1 1

log

log log log

log

log

log( ) log log