appunti di statistica, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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GLI INDICI DI FORMA E

LA DISTRIBUZIONE NORMALE

Prof.ssa Barbara Cafarelli

CONCETTI INTRODUTTIVI

 L’analisi descrittiva di un carattere non sempre si esaurisce con il calcolo degli indici di posizione e di dispersione  Due variabili statistiche possono avere la stessa posizione e la stessa variabilità ma differire per il peso dei valori più grandi o più piccoli rispetto al valore centrale 2

Distribuzione degli studenti secondo il voto conseguito in statistica A.A 03- 0 2 4 6 8 10 12 14 22 23 24 25 26 27 28 29 30 voti studenti 4 Distribuzione degli studenti secondo il voto in Statistica A.A. 04- 0 2 4 6 8 10 12 14 22 23 24 25 26 27 28 29 30 voto studenti

INDICI DI FORMA

 L’analisi descrittiva di una v.s. può essere completata attraverso il calcolo di altri indici statistici atti a valutare ulteriori aspetti della v.s. considerata  Indici per valutare la forma di una v.s.:  Indici di asimmetria  Indici di curtosi 5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 x y 7 Esempio: parabola y = x 2 è simmetrica rispetto alla retta x = x 0 = 0 Infatti, si ha f ( x- x 0 ) = f ( x+x 0 ) f ( x 2

• 0 )= f ( x 2 +0)

SIMMETRIA IN STATISTICA

 La simmetria si analizza rispetto all’asse mediano x = Me  Una v.s. è simmetrica se le modalità sono equidistanti dalla Me, ovvero Me-x i = x s-i +

- Me , i = 1 ,…, [ s/ 2] e le modalità equidistanti presentano frequenze assolute uguali n i = n s-i+ 1 , i = 1 ,…, [ s/ 2]  Se la v.s. è simmetrica allora si ha: m = Me 8

Voto Studenti 24 2 25 4 26 5 27 4 28 2 17 10 Studenti secondo il voto   4 4 2 2 26 25 27 26 26 24 28 26 ; 2 2 5 26 26 , 1 26 26 26 26 2 5 2 1 1 5 1 1 5 1 5 1 9 2 1 1                                                   n n n n n n x x i , , Me Mo Mo Me x x N x n i i i i N s i i i  m m

11

Quando una curva unimodale si dice

SIMMETRICA?

Quando dalla sua rappresentazione grafica

emerge una perfetta coincidenza tra i rami

della curva stessa fatti ruotare intorno alla

perpendicolare passante per il punto

mediano

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ASIMMETRIA

 Asimmetria: assenza di specularità della distribuzione osservata del carattere rispetto all’asse mediano  Una v.s. discreta è asimmetrica se oppure se tutte le modalità sono equidistanti dalla Me , tuttavia

 Se Me e m non coincidono allora la v.s. è asimmetrica

14 i A Me x x Me i s i        1 taleche                  2 1 , , 1 ; s A i A ni ns i dove  tale che

ASIMMETRIA POSITIVA

 Se una v.s. è asimmetrica positiva allora si ha che m > Me  Inoltre, se la v.s. è anche unimodale, risulta m > Me>Mo m = 2, Me = Mo = 0 2 4 6 8 10 12 Distribuzione del carattere X x frequenze 0 1 2 3 4 5 6 16

ASIMMETRIA POSITIVA

m o d a m e d ia n a m e d ia media > mediana > moda 17

ASIMMETRIA NEGATIVA

m o d a m e d ia n a m e d ia media < mediana < moda

V.S. DIVISA IN CLASSI

 Nei confronti di una v.s. divisa in classi d’intervallo la forma della distribuzione viene valutata rispetto ai valori centrali delle classi d’intervallo ( c i ’=(x i + 1

• x i

 Se una v.s. è simmetrica allora Me – c i ’= c’ s-i + 1

- Me , i = 1 ,…, [ s/ 2 ] e le modalità equidistanti presentano frequenze assolute uguali n i = n s-i+ 1 , i = 1 ,…, [ s/ 2 ]

 m = Me

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