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Formulario trigonometria: Risoluzione dei triangoli
Triangoli rettangoli
1° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente.
b=a sen βb=a sen β , c=a sen γc=a sen γ
b=acosγb=acosγ , c=acosβc=acosβ
2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente.
c=b tg γc=b tg γ , b=c tg βb=c tg β
c=b ctg βc=b ctg β , b=c ctg γb=c ctg γ
Area di un triangolo qualsiasi
L’area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.
Area=ab sen γ2=bc sen α2=ac sen β2Area=ab sen γ2=bc sen α2=ac sen β
Risoluzione dei triangoli qualsiasi
Teorema dei seni (o di Eulero)
In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto:
asen α=bsen β=csen γasen α=bsen β=csen γ
Nota. Questi rapporti sono dunque costanti e la costante è la misura del diametro della circonferenza circoscritta, per cui è possibile enunciare il seguente:
Teorema della corda
In un triangolo il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:
asen α=bsen β=csen γ=2rasen α=bsen β=csen γ=2r
Teorema del coseno (o di Carnot)
In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso:
a2=b2+c2−2bccosαa2=b2+c2-2bccosα
b2=a2+c2−2accosβb2=a2+c2-2accosβ
c2=a2+b2−2abcosγc2=a2+b2-2abcosγ
Nota. Il teorema di Carnot generalizza il Teorema di Pitagora, a cui si riduce se si considera un triangolo rettangolo.
Teorema delle proiezioni
In un triangolo qualunque, la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti delle misure di ciascuno degli altri due per il coseno degli angoli che essi formano con il primo:
a=bcosγ+ccosβa=bcosγ+ccosβ
b=acosγ+ccosαb=acosγ+ccosα
c=acosβ+bcosαc=acosβ+bcosα
In Conclusione:
Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato.
Dunque si possono presentare quattro casi:
