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Teoremi di Trigonometria.
Teorema dei Triangoli Rettangoli.
In un triangolo rettangolo il cateto è uguale all’ipotenusa per sino dell’angolo opposto, all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente, all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto oppure alla cotangente dell’angolo adiacente.
Dimostrazione: Costruendo un triangolo simile al triangolo dato e avente ipotenusa pari a 1. Per definizione Abbiamo che il cateto opposto all’angolo è lungo e il cateto adiacente è lungo , e quindi impostando la proporzione abbiamo che
oppure da cui e ricordando che abbiamo che
Infine dividendo a membro a membro le relazioni abbiamo che: ecc.
Area di un triangolo
L’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati consecutivi per il seno dell’angolo compreso diviso due.
Dimostrazione dato che ho che
Teorema dei seni:
In un triangolo valgono le seguenti proporzioni:
Dimostrazione:
Considerando l’altezza h ho che e da cui da cui la prima proporzione. Ripetendo lo stesso ragionamento per l’altezza relativa ad a e b ottengo tutto il teorema.
Teorema del coseno
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri lati meno il doppio prodotto degli altri due lati per il coseno dell’angolo compreso.
Dimostriamo la seconda relazione in modo analogo si dimostrano le altre. Sia c diviso dall’altezza h in due segmenti x e y. Da cui c=x+y (Vedi figura) e. sostituendo alla prima abbiamo che dato che sostituendo alla prima abbiamo che. Cdd.
Il teorema della Corda:
In una circonfereza di raggio r, un corda è uguale a 2 volte il raggio per il seno dell’angolo alla circonferenza individuato dalla corda.
Dim: Sia una corda AB e sia un qualsiasi angolo alla circonferenza. Consideriamo il Triangolo rettangolo ADB, la cui ipotenusa coincide con il diametro DB. Osserviamo che. Allora per i teoremi dei triangoli rettangoli
