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La corrente genera un campo magnetico. Ma il campo magnetico può generare una corrente?
NO, a meno che il suo flusso non sia variabile (in questo caso, si genera una corrente indotta nel circuito).
FLUSSO DI UN CAMPO MAGNETICO: prodotto scalare tra il vettore campo B e il vettore superficie S. Se B non è costante, farò ricorso all'integrale (partiziono la superficie e poi integro ogni contributo). Essendo impossibile isolare un polo magnetico (nord o sud), il flusso del campo magnetico in una superficie chiusa deve essere = 0. ESPERIMENTO Affianco due spire:
- 1° spira, collegata ad un galbanometro.
- 2° spira, collegata ad un generatore di tensione ad un interruttore. Quando chiudo il circuito della 2° spira (accendo l'interruttore), in essa si genera corrente; quando lo apro (spengo l'interruttore), la corrente non circola più. Nell'attimo in cui chiudo ed apro il circuito, il galbanometro segnala una produzione di corrente nella 1° spira, per poi misurare valore 0 (quando il circuito è chiuso o aperto). Perché? Un conduttore attraversato da corrente genera un campo magnetico B. Quando chiudo o apro il circuito, c'è uno sbalzo di corrente i variazione di i = variazione di B. Il B variabile fa produrre corrente indotta nella 1° spira. Quando la situazione è statica, B è costante (circuito chiuso) o nullo (circuito aperto): no corrente indotta nella 1° spira. Se metto un collegamento fisso alla 2° spira (non l'interruttore), la corrente circola sempre B costante (no corrente indotta nella 1°). Se, però, avvicino e allontano la spira alla 1°, il B subito da essa ha un valore variabile (si genera corrente indotta nella 1°). Quindi, per avere potenziale indotto, posso variare la superficie S investita da B (traslando la spira o cambiandone la forma), oppure l'angolo tra B ed S(facendo ruotare la spira). Per avere potenziale indotto (ovvero la differenza di potenziale indotto, che genera una corrente indotta), devo variare il FLUSSO e posso farlo cambiando tre cose: B, S o l'angolo . Legge di INDUZIONE ELETTROMAGNETICA di Faraday: Il segno meno è spiegato con la LEGGE DI LENZ:
Il verso della corrente indotta deve essere tale da opporsi alla variazione che l'ha generata.
Il verso della corrente deve opporsi alla variazione del flusso ΔΦB (applica la regola della mano destra: pollice nel verso del flusso ΔΦB, le dita che ruotano mostrano il verso o della corrente nel circuito).
- Se B diminuisce nel tempo, anche il flusso di B diminuisce (ΔΦB < 0). La corrente indotta scorre opponendosi a questa diminuizione, generando nella spira un campo B indotto che tende a compensarla: B indotto ha lo stesso verso di B.
- Se B aumenta nel tempo, anche il flusso di B aumenta (ΔΦB > 0). La corrente indotta scorre opponendosi a questo aumento, generando nella spira un campo B indotto che tende a compensarlo: B indotto ha verso opposto a B. Per estrarre con velocità costante v una spira rettangolare da una zona con B uniforme entrante, devo esercitare una forza opposta a quella che tiene la spira nel campo B. Per la 1° LEGGE DELLA DINAMICA: se sull'oggetto non agiscono forze, si muove di moto rettilineo uniforme (v costante). Modificando S (superficie influenzata da B), cambia il flusso di B (diminuisce) si genera corrente nella spira. Però, pur circolando corrente, il lato esterno al campo B (non investito da esso) non è soggetto alla forza magnetica. Corrente indotta: stabilisco il verso orario. B indotto (interno alla spira): necessariamente equiverso al B entrante, di intensità tale da compensare la diminuzione del flusso (lo deve aumentare). Forze magnetiche: regola delle tre dita. F1 e F3 opposte: momento angolare nullo (NO spostamento). F2 e F Il potenziale indotto della spira deve essere: l = lunghezza dei lati 2 e 4 x = tratto nel campo B. Il campo B è costante, dunque la variazione del flusso è dato esclusivamente dalla variazione di S. Tutti i Δx (di ogni istante di tempo) sono negativi, perché sto estraendo la spira (i segni - si semplificano). Il rapporto fra spazio e tempo è la velocità. CORRENTE nella spira: FORZA MAGNETICA sulla spira: usata per estrarre la spira si trasforma in calore nella spira stessa (se misuro la temperatura della spira, è più alta)]. POTENZA dissipata dalla spira: [calcolo confermabile tramite l'effetto Joule: l'energia Unità di misura: Weber [1 Wb = 1 Tm^2 ] L'area della parte di spira influenzata dal campo B: S = lx. Strumento (derivato dall'amperometro) molto sensibile, che misura le piccole correnti.
Legge di INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
(Faraday-Neumann-Lenz)
L'induzione elettromagnetica (produzione di corrente indotta) è stata vista finora come interazione tra bobina e magnete, due bobine o spira e magnete. Una singola bobina, però, può fungere sia da circuito induttore che da circuito indotto: può provocare su se stessa una corrente indotta, accanto alla corrente ordinaria i (avviene quando c'è una variazione di i). L'induttanza L è la quantificazione dell'opposizione degli oggetti di un circuito alla variazione del flusso . Essa genera un potenziale indotto Bi che si oppone (legge di Faraday) a : se vario i, varia anche e la bobina reagisce tramite la sua induttanza, che genera un Bi, che si oppone alla variazione del flusso ΔΦB (Bi ha verso opposto a B). L è definita come una costante: Da cui: Passo agli integrali di entrambi i membri: L non dipende né dal flusso, né dal numero di spire, né dalla corrente. Verifichiamolo per un solenoide ideale (tante spire fittamente avvolte) nel vuoto, in cui è prodotto un campo B costante (segmenti paralleli ed equiversi). A = superficie del solenoide Oriento il solenoide in modo che il vettore superficie A e il campo B siano equiversi (cos0° = 1). L non dipende dalla corrente, ma da come ho costruito il solenoide. DEFINIZIONE DELL'INDUTTANZA più formalmente usata Unità di misura: Henry [1 Henry] = 1 Vs/A] Grandezze variabili: corrente i e flusso fi Anche L potrebbe esserlo ma, nella pratica, è considerata invariabile. Definizione di induttanza: Legge di Lenz-Faraday: (l'induttanza L si oppone alla variazione del flusso: segno - )
INDUTTANZA
Fortemente legato al MOTO ARMONICO SEMPLICE: dove x(t)= allungamento A = massima ampiezza (massima distanza dalla posizione di equilibrio) L'oscillazione completa avviene in un tempo T ("periodo"); la "frequenza" è il numero di oscillazioni nell'unità di tempo. 3 POSIZIONI NODALI: 2 punti estremi; 1 punto medio. Punti estremi: velocità nulla, accelerazione massima. Punto medio: velocità massima, accelerazione nulla. ovvero deve valere dove a(t) è la derivata seconda dell'allungamento x:. Questa somma, per potersi annullare, esige che a (accelerazione) e x (allungamento) abbiano segno opposto (sono due vettori con verso opposto). In generale, se vale una relazione come: (equazione differenziale del 2° ordine), posso pensare a qualcosa in cui c'è un moto armonico. La soluzione dell'equazione differenziale è proprio CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA: L'energia meccanica, in un sistema isolato con forze tutte conservative, si conserva nel tempo (energia potenziale + energia cinetica). Ciò accade perché non vi sono forze dissipative, perciò l'energia rimane costante. Teoricamente, quindi, in un moto armonico, l'oggetto continua ad oscillare all'infinito, raggiungendo sempre gli stessi estremi, con la stessa velocità e accelerazione (nella realtà, è impossibile).
CIRCUITI LC
I circuiti LC non esistono, perché in essi si ipotizza che non ci sia resistenza R (cosa materialmente impossibile per qualsiasi conduttore, anche ottimo). Ci sono circuiti nei quali R è così bassa da poter essere trascurata, considerandoli come circuiti puri, nei quali non viene dissipata alcuna energia. Il condensatore accumula, l'induttanza accumula, la resistenza distrugge. Se in un circuito minimizzo il fattore che distrugge (R=0), ottengo un circuito ideale, in cui non si dissipa energia. Nei circuiti LC, l'induttanza e il condensatore si scambiano energia l'una con l'altro, dunque la corrente compie un moto armonico semplice in cui, idealmente, l'energia meccanica si conserva all'infinito. Il circuito ideale LC non ha la resistenza (R=0), dunque non c'è alcun calo di potenziale (e di energia) nel circuito. Nel circuito LC, il condensatore C (caricato da un generatore di ddp) accumula energia e la converte in corrente elettrica, che arriva gradualmente all'induttanza L (mentre il condensatore si scarica). L'induttanza si oppone al potenziale, generando un potenziale indotto , che genera a sua volta energia, e lo converte in una corrente indotta, che viaggia in verso opposto a quella originaria (se non ci fosse L, nulla si opporrebbe alla corrente, perciò il circuito andrebbe subito a regime). Cambiando il verso della corrente, si inverte anche la polarità delle due piastre del condensatore, che torna ad accumulare energia (mentre l'induttanza si scarica). Dunque, l'energia nel circuito è data da uno scambio continuo fra l'energia elettrostatica di C e quella magnetica di L: ENERGIA ACCUMULATA: somma tra l'energia accumulata nel condensatore (elettrostatica) e nell'induttanza (magnetica). q: carica sulle piastre del condensatore (variabile nel tempo). i: intensità di corrente (variabile nel tempo). U deve rimanere costante: (la derivata di una costante è 0). Derivo (derivata composta, in cui q e i sono variabili) e pongo uguale a 0: Divido per L: Sapendo che: , la derivata prima di i è la derivata seconda di q: Nell'equazione compare una funzione, ovvero q, che non è costante, perché variabile nel tempo (equazione differenziale del 2° ordine). C'è una somiglianza con l'equazione del moto armonico , la cui soluzione è. Al posto di x(t) possiamo scrivere q(t). A rappresenta la massima carica (che si trova ponendo il massimo valore del sin, ovvero 1): Al posto di 2 possiamo scrivere Periodo: Frequenza: Carica sulle armature: Le due formule uA e uB sono analoghe: c'è una verosimiglianza fra elettricità e magnetismo. In un solenoide (caso ideale nel campo B): Energia: Campo magnetico e corrente: Induttanza: Densità di energia (quantità di energia per unità di volume): In un condensatore piano (caso ideale nel campo E): Energia accumulata: Capacità: Densità di energia (quantità di energia per unità di volume): *Vale solo per un condensatore piano (essendo q e i variabili nel tempo, moltiplico le due derivate per le loro derivate rispetto al tempo, ovvero due rapporti fra due differenziali)
CIRCUITI LC / OSCILLANTI (induttore e
condensatore)
CORRENTE CONTINUA - Thomas Edison
La corrente continua viene generata da una pila, batteria = dispositivo che immagazzina energia chimica e la trasforma in energia elettrica. Edison pensa che si possa trasportare corrente continua in tutto il mondo, tramite lunghi
- La potenza P è la quantità di energia E dissipata nel tempo ( ). fili conduttori. Però, non tiene conto che:
- La potenza P dissipata, per effetto Joule, è uguale al prodotto fra corrente i e tensione V. Quindi più corrente passa, più energia viene dissipata attraverso il filo conduttore (bassa resa e alti costi). Invece, notiamo che la tensione non influenza l'effetto Joule (infatti, è la resistenza R che lo provoca). L'ideale, per dissipare la minor quantità di energia possibile, sarebbe avere una bassa intensità di corrente e un'elevata tensione (poca dissipazione di calore: alta resa). Con la corrente continua, questo è infattibile, perché la tensione in una pila non può essere aumentata artificialmente.
CORRENTE ALTERNATA - Nikola Tesla
La corrente alternata viene generata da un generatore di tensione alternata. È una corrente variabile: nonostante "soffra" comunque dell'abbattimento di potenziale, grazie ai "trasformatori", si può variare la tensione (alzando o abbassando il potenziale).
Formula di Galileo Ferraris
Indica il valore medio della potenza dissipata in un circuito a corrente alternata. INTENSITÀ DI CORRENTE EFFICACE (valore quadratico medio) POTENZIALE EFFICACE (valore quadratico medio)
= Angolo di sfasamento fra tensione e corrente = FATTORE DI POTENZA (il suo valore oscilla fra [-1;1], dove i valori negativi indicano il fatto che il verso della corrente si inverte). Dunque, la potenza dissipata con la corrente alternata è sempre minore di quella dissipata con la corrente continua (P=iV). Nella fisica, la variabilità di un valore viene descritto tramite:
- funzione esponenziale, per descrivere fenomeni violenti (ES. circuiti RL)
- funzione circolare, per descrivere un fenomeno che si ripete nel tempo, nello stesso modo. L'intensità di corrente è costante nel tempo. CORRENTE CONTINUA: Ha sempre lo stesso verso nel circuito. L'intensità di corrente varia nel tempo, secondo una curva sinusoidale, che oscilla con una certa frequenza f (in Italia, 50 Hz) fra due valori, un massimo e un minimo, secondo la funzione: CORRENTE ALTERNATA: Dopo un giro del circuito, inverte il verso di percorrenza (causa: inversione di polarità). capire di quanto si abbassa il potenziale rispetto a quello massimo). dà origine al FATTORE DI POTENZA = differenza di fase tra il potenziale e la corrente (serve a TENSIONE ALTERNATA: Il potenziale è uguale al valore massimo/minimo se. Raggiunto questo valore, vi è un'inversione di polarità: il punto con potenziale più alto diventa il punto con potenziale più basso, e viceversa). FASORE (deriva da "vettore di fase") = rappresentazione di grandezze variabili nel tempo (come V ed i, che non sono vettori, ma fasori). La lunghezza dei fasori deve essere proporzionale al valore massimo (il fattore di proporzionalità deve essere lo stesso per tutti i fasori, in riferimento al valore massimo, ES. Vm e im).
- La proiezione del fasore sull'asse verticale deve essere il valore istantaneo (deve fornire il valore in quell'istante). La rappresentazione del fasore deve rispettare due regole: ES. se il fasore è orizzontale, il suo valore istantaneo è nullo (è un punto a dimensione 0). ES. se ho un fasore non orizzontale, la sua proiezione verticale è il valore massimo, che corrisponde al sin = 1 ES. se ho un fasore sotto l'asse x, la sua proiezione è il valore minimo, sin =- 1
CORRENTE CONTINUA vs CORRENTE ALTERNATA
Sono le 4 equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo, in cui Maxwell ha solo riformulato le equazioni già esistenti, dando un suo contributo alla 4°, che era incompleta. Nelle 4 equazioni vengono usati 4 integrali: 2 di linea, 2 di superficie.
- INTEGRALE DI LINEA: calcolato lungo una linea, il contorno di una superficie (se è chiusa, si dice circuitazione).
- INTEGRALE DI SUPERFICIE: integrale definito, calcolato su una superficie.
1° legge di Maxwell
EQUAZIONE DI GAUSS per il campo elettrico E: Il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica elettrica totale Q contenuta dentro quella superficie (non alla singola carica) fratto la costante dielettrica nel vuoto. ESEMPIO: Se considero più cariche, racchiuse in una superficie sferica, il flusso* (quante linee di campo entrano/escono dalla superficie) del campo E attraverso questa superficie dipende dalla carica totale che c'è all'interno. So anche che il flusso è uguale al prodotto scalare fra i vettori campo E e superficie S: Definizione più corretta: (integrale di superficie) Quindi, posso riscrivere la legge di Gauss come:
2° legge di Maxwell
EQUAZIONE DI GAUSS per il campo magnetico B: Il flusso del campo B attraverso una superficie chiusa è sempre uguale a 0. Le linee del campo B sono sempre chiuse (non hanno punto di partenza o di arrivo): non esistono cariche magnetiche che diano origine al campo magnetico. ESEMPIO: Se considero un filo conduttore infinito (ma di superficie chiusa) attraversato da corrente, le linee del campo B sono chiuse tutte intorno al filo (non c'è flusso). ESEMPIO: Se considero una calamita, avente polo nord N e polo sud S, le linee di campo non partono da N e arrivano in S, ma, in realtà, dentro la calamita continuano e si chiudono (sono sempre e comunque chiuse). So anche che il flusso è uguale al prodotto scalare fra i vettori campo B e superficie S. Definizione più corretta: (integrale di superficie) Quindi posso scrivere la legge di Gauss come:
3° legge di Maxwell
LEGGE DI LENZ di induzione elettromagnetica (lega il campo elettrico E al campo magnetico B): Il potenziale indotto in un circuito è uguale a meno la variazione di flusso attraverso quel circuito nel tempo_._ Quindi, se c'è una variazione di B, di S o dell'angolo fra i due ( ), allora si può generare un campo E. Se considero un condensatore piano, la relazione fra il potenziale fra le due piastre ed il campo E uniforme all'interno è: (il potenziale è uguale al prodotto fra il campo E e la distanza l fra le due piastre). Definizione più corretta: (integrale di linea: essendo la linea chiusa, viene detto CIRCUITAZIONE di E) Quindi posso riscrivere la legge di Lenz come: Ovvero: la circuitazione del campo elettrico E dipende dalla variazione del flusso campo magnetico B nel tempo. Da questa osservazione, Maxwell capisce che anche la circuitazione del campo magnetico B deve dipendere dalla variazione del flusso del campo elettrico E nel tempo…
4° legge di Maxwell
LEGGE DI AMPERE:
Parto dalla legge di Biot-Savart: dove è la circonferenza C (considero i due vettori B e C //, così non leggo il cos, perché ) Sapendo che BC può essere scritta come la CIRCUITAZIONE di B, ottengo la legge di Ampere: Corrente concatenata: somma algebrica delle correnti che attraversano la superficie racchiusa dal circuito. Secondo questa legge, la circuitazione del campo magnetico B dipende solo dalla corrente, non c'è alcun contributo da parte della variazione del flusso del campo elettrico E nel tempo. PARADOSSO DI AMPERE: Consideriamo un conduttore, attraversato da corrente, che alimenta un condensatore (al suo interno si genera un campo E). Nella fase di carica, il campo E tra le armature è variabile. Consideriamo una linea di circuitazione circolare S intorno al filo ed una semisfera S', che non tocca il filo, ma passa tra le due armature. Per la legge di Ampere, la circuitazione del campo B è possibile solo se c'è la corrente concatenata (la corrente deve passare attraverso la superficie S).
- Considerando la superficie S, la circuitazione di B c'è ed è uguale a:
- Considerando la superficie semisferica S', la circuitazione di B, non essendoci corrente concatenata, è uguale a 0. Questo, però, è un PARADOSSO: il campo magnetico B si forma anche nella superficie S', nonostante non ci sia alcuna corrente che la attraversa, ma solo un campo elettrico E variabile (generato dal condensatore). Per risolvere il paradosso, Maxwell fa un ragionamento: Partendo dalla definizione di campo elettrico in relazione alla DENSITÀ DI CARICA (che è uguale a q/S)... dove ...si arriva alla formulazione del flusso del campo elettrico : Se il campo elettrico E varia, vuol dire che anche il flusso sta variando. Dividendo entrambi i membri per dt, ottengo: Questo è il contributo della variazione del flusso del campo E nel tempo alla circuitazione del campo B. Quindi, la legge di Ampere mancava di un termine, che Maxwell aggiunge, risolvendo il paradosso di Ampere: (In presenza di materiali ferromagnetici, a questa relazione si aggiunge un ulteriore ).
EQUAZIONI DI MAXWELL
