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Dispense geometria anno 2021/2022
Tipologia: Dispense
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Le nozioni di autovalore, autovettore e autospazio trovano molteplici appli- cazioni in diversi settori della Matematica, ma anche della Fisica e dell’Inge- gneria. Tra le tantissime applicazioni di tali nozioni citiamo solo la diagona- lizzazione di una forma quadratica, la determinazione delle equazioni cano- niche delle coniche e delle quadriche, la risoluzione di equazioni differenziali. E accertato, inoltre, che queste nozioni vengono utilizzate anche dai motori diricerca delle reti informatiche (come Google), anche se le modalita di questa applicazione sono coperte dal segreto industriale.
1 Autovalori, autovettori, autospazi di un
endomorfismo
Nel seguito, salvo esplicito avviso contrario, V denoter`a sempre uno spazio vettoriale su un campo K ; conviene segnalare esplicitamente che tale campo potrebbe essere un campo infinito (per esempio, il campo razionale Q , il campo reale R , il campo complesso C ), ma potrebbe anche essere un campo finito come il campo delle classi dei resti Zp , p numero primo.
Definizione 1.1. - Si dice che uno scalare λ appartenente al campo K e un autovalore (detto anche valore caratteristico o valore proprio; in inglese eigenvalue) per un endomorfismo f : V → V (cioe per una applicazione lineare f dallo spazio vettoriale V allo stesso spazio vettoriale V ) se esiste un vettore non nullo v di V tale che risulti f (v) = λ · v. Un tale vettore non nullo v si chiama autovettore (in inglese eigenvector) di f associato all’autovalore λ. Si chiama autospazio associato all’autovalore λ e si denota con Vλ (oppure con V (λ) ) il sottoinsieme di V
Vλ = { v ∈ V | f (v) = λ · v }.
Teorema 1.2. - L’autospazio Vλ associato ad un autovalore λ rispetto ad un endomorfismo f di V `e un sottospazio vettoriale dello stesso V.
Dim. - Per ottenere la tesi e sufficiente osservare che Vλe un sottoinsieme non vuoto di V perch´e contiene almeno il vettore nullo (^0) V di V e verificare le due propriet`a di chiusura:
fatto che v e f (v) sono vettori paralleli (cioe l’endomorfismo f conserva la direzione di v ) mentre, al contrario, w e f (w) non sono vettori paralleli (cioe l’endomorfismo f non conserva la direzione di w).
Si dimostra il seguente importante risultato
Teorema 1.6. - Sia f : V → V un endomorfismo e siano λ e μ due suoi autovalori distinti tra loro; allora i due autospazi associati a tali autovalori hanno in comune il solo vettore nullo, cio`e: Vλ ∩ Vμ = { (^0) V }.
Dim. - Se v ∈ Vλ ∩ Vμ si ha che
v ∈ Vλ ⇒ f (v) = λv e v ∈ Vμ ⇒ f (v) = μv
e, pertanto, risulta che λv = μv e, quindi, che (λ − μ)v = (^0) V ; essendo λ 6 = μ , si deduce subito che v = (^0) V.
Dal teorema appena visto si deduce subito una importante conseguenza.
Corollario 1.7. - Sia f : V → V un endomorfismo e siano λ e μ due suoi autovalori distinti tra loro; allora se u ∈ Vλ e w ∈ Vμ sono autovettori (cioe nessuno dei duee il vettore nullo) si ha che u e w sono vettori linearmente indipendenti.
Dim. - Siano a, b scalari non entrambi nulli, tali che si abbia au+bw = (^0) V. Supponendo che sia a 6 = 0 si avrebbe che u = −(b/a)w da cui segue subito che il vettore u appartiene anche all’autospazio Vλ oltre che a Vμ , ma questo comporta che sia u = (^0) V contraddicendo il fatto che u sia un autovettore.
Il precedente corollario si puo estendere anche a piu autovettori di due au- tovalori distinti e anche a piu autovalori distinti, pervenendo al risultato seguente. Questo risultatoe molto utile per costruire una nuova base di V collegata all’endomorfismo f.
Teorema 1.8. - Sia f : V → V un endomorfismo che abbia due o pi`u autovalori distinti tra loro; allora l’unione dei vettori che costituiscono una base di ciascun autospazio di f forma un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti di V.
2 Endomorfismi tra spazi vettoriali di
dimensione finita.
Quanto visto finora si riferisce al caso generale di autovalori e autovettori associati a un endomorfismo f : V → V su uno spazio vettoriale V sopra un campo K. Nel caso particolare in cui V sia uno spazio vettoriale di dimensione finita n e noto che si puo fissare una base di V e allora l’endomorfismo f viene rappresentato rispetto a quella base da una matrice A quadrata di ordine n. In questa situazione si ha che se un vettore v ha componenti (x 1 , x 2 ,... , xn) rispetto a quella tale base il corrispondente vettore f (v) ha componenti (y 1 , y 2 ,... , yn) rispetto a quella stessa base. Le componenti dei vettori v ed f (v) sono legate dalla relazione Y = A·X , dove X ed Y sono i vettori colonna formati dalle componenti dei vettori v ed f (v) , rispettivamente. Cosa accade se si cambia la base scelta in V? Accade che si presenta una situazione del tutto analoga a quella appena descritta dove interviene pero una nuova matrice B al posto della matrice A. Si dimostra che le due matrici sono legate tra loro dalla relazione di similitudine, cioe sono del tipo B = P −^1 · A · P , dove P e la matrice quadrata (non singolare) di passaggio da una base all’altra. In questa situazione gli autovalori, gli autovettori e gli autospazi dell’endomorfismo f coincidono con gli autovalori, gli autovettori e gli autospazi della matrice A , di cui si trattera nel seguito. A questo proposito conviene osservare esplicitamente che gli autovettori (e, quindi, gli autospazi) sono rappresentati rispetto alla base prescelta. Ne consegue che essi cambiano la loro rappresentazione al variare della base stessa. Al contrario, gli scalari non dipendono dalla base e, per questo, restano inalterati al variare della scelta della base.
3 Matrici simili.
Sia K un campo e sia Kn,n^ l’insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n ad elementi nel campo K. Come e noto, Kn,n^ costituisce uno spazio vet- toriale sullo stesso campo K rispetto alla addizione ed alla moltiplicazione di un elemento del campo K per una matrice. Tuttaviae possibile definire in Kn,n^ una ulteriore operazione binaria interna costituita dal prodotto righe per colonne; quest’ultima operazione non verifica la propriet`a commutativa, almeno in generale. Il fatto che due di tali matrici verifichino l’uguaglianza
la matrice S = P · Q risulta invertibile (per il teorema di Binet) ed ha come matrice inversa Q−^1 · P −^1 , quindi l’uguaglianza precedente si scrive nella forma C = S−^1 · A · S , essendo S una matrice di passaggio.
Si osserva che due matrici simili hanno determinante uguale (ancora per il teorema di Binet) e si potrebbe dimostrare che hanno anche lo stesso rango (anche questa affermazione si dimostra utilizzando il teorema di Binet), ma nessuna di queste due condizioni risulta sufficiente per poter affermare che due matrici siano simili; infatti esistono matrici aventi determinante uguale che non sono simili ed esistono matrici di uguale rango che non sono simili.
Quanto detto sinora consente di porre la seguente
Definizione 3.3. - Si dice che una matrice di Kn,n^ `e diagonalizzabile se tale matrice risulta simile ad una matrice diagonale.
Quest’ultima definizione vuole significare che una matrice A si chiama diagonalizzabile se nella sua classe di equivalenza si trova almeno una matrice diagonale.
Ovviamente tutte le matrici diagonali costituiscono esempi di matrici diago- nalizzabili; altrettanto ovviamente esistono matrici che non sono diagonaliz- zabili. Per esempio, non `e diagonalizzabile la matrice
Infatti se lo fosse, dovrebbe esistere una matrice non singolare
a b c d
tale che P −^1 · A · P risulti una matrice diagonale; in realta questo non puo accadere. Infatti, eseguendo i calcoli, si ha che la matrice inversa di P `e
P −^1 = (det P )−^1
d −b −c a
e quindi
P −^1 · A · P = (det P )−^1
d −b −c a
a b c d
= (det P )−^1
cd d^2 −c^2 −cd
Se quest’ultima fosse una matrice diagonale, si avrebbe che c = d = 0 e, perci`o, P avrebbe determinante nullo. Si noti che se in A si scambiano le due colonne si ottiene una matrice diagonale (e, quindi, diagonalizzabile) con lo stesso determinante e lo stesso rango di A ma non simile ad A.
La definizione esprime chiaramente il concetto di matrice diagonalizzabile, ma da sola non consente di stabilire se effettivamente una matrice data sia o meno diagonalizzabile.
4 Autovalori, autovettori, autospazi di una
matrice quadrata.
Definizione 4.1. - Si dice che uno scalare λ appartenente al campo K `e un autovalore per una matrice A di Kn,n^ se esiste un vettore colonna non nullo X di Kn,^1 tale che risulti A · X = λX. Un tale vettore non nullo X si chiama autovettore associato all’autovalore λ.
Si noti che il fatto che X non sia nullo e essenziale perch´e nel caso X = On, 1 si ha AOn, 1 = λ On, 1 qualunque sia lo scalare λ. None richiesta una con- dizione analoga agli autovalori: lo zero, cioe l’elemento neutro dell’addizione del campo K , puo essere autovalore.
Definizione 4.2. - L’insieme di tutti gli autovettori associati ad uno stesso autovalore con l’aggiunta del vettore nullo si chiama autospazio e si denota con Vλ ; in simboli si ha
Vλ = {X ∈ Kn,^1 | AX = λX}.
Proposizione 4.3. - L’autospazio Vλ `e sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Kn,^1.
Dim. - Bisogna dimostrare che sussistono le due proprieta di chiusura. Siano X, Y due elementi di Vλ : si deve dimostrare che anche X + Y appartiene a Vλ ; infatti, tenendo conto delle proprieta del prodotto tra matrici, si ha
A(X + Y ) = AX + AY = λX + λY = λ (X + Y ).
Conviene a questo punto proporre alcune osservazioni.
Osservazioni 4.5.
Proposizione 4.6. - Siano A, B matrici quadrate di ordine n ad elementi in un campo K ; se A, B sono simili allora hanno lo stesso polinomio caratteristico e gli stessi autovalori.
Dim. - Se A e simile a B , si ha che esiste P ∈ Kn,n, detP 6 = 0, tale che B = P −^1 AP. Allora, utilizzando le proprieta del prodotto tra matrici, nonch´e le propriet`a dei determinanti, si ha:
|B − λIn| = |P −^1 AP − λIn| = |P −^1 AP − λP −^1 InP | =
= |P −^1 AP − P −^1 λInP | = |P −^1 (AP − λInP )| = = |P −^1 (A − λIn)P | = |P −^1 | |(A − λIn)| |P | = |A − λIn|.
Dunque le matrici A, B hanno lo stesso polinomio caratteristico e, di con- seguenza, gli stessi autovalori.
Conviene osservare subito che non sussiste la proprieta inversa, cioe esistono matrici aventi gli stessi autovalori e lo stesso polinomio caratteristico pur non essendo simili; a conclusione di questi appunti se ne fornir`a un esempio.
La seguente proposizione (di cui si omette la dimostrazione per brevita) viene utilizzata molto spesso ede nota come teorema di Cayley e Hamilton.
Teorema 4.7. - Sia A una matrice ad elementi in un campo K e sia
(−1)nλn^ + an− 1 λn−^1 +... + a 2 λ^2 + a 1 λ + a 0 = 0
la sua equazione caratteristica, allora risulta anche
(−1)nAn^ + an− 1 An−^1 +... + a 2 A^2 + a 1 A + a 0 In = On,n.
Naturalmente A^2 e il prodotto della matrice A per se stessa, An^e il prodotto della matrice A per stessa n volte, la matrice In e la matrice identica di ordine n e On,ne la matrice quadrata nulla di ordine n. Spesso il teorema di Cayley e Hamilton si enuncia brevemente (anche se impropriamente) dicendo che: ”la matrice A `e soluzione della sua equazione caratteristica”.
Come applicazione del teorema di Cayley e Hamilton, si espone qui di seguito un metodo per calcolare la matrice inversa di una matrice A. Per prima cosa si calcola il polinomio caratteristico della matrice A , poi si applica il teorema suddetto. Si ha che
(−1)nAn^ + an− 1 An−^1 +... + a 2 A^2 + a 1 A + a 0 In = On,n.
Ricordando che il termine noto a 0 = det A , la matrice A `e invertibile se e solo se a 0 6 = 0 ; in caso affermativo, pur non conoscendo ancora la matrice inversa A−^1 di A , si ha che:
A−^1 · [(−1)nAn^ + an− 1 An−^1 +... + a 2 A^2 + a 1 A + a 0 In] = A−^1 · On,n
cio`e (−1)nAn−^1 + an− 1 An−^2 +... + a 2 A + a 1 In + a 0 A−^1 = On,n
Il determinante di quest’ultima `e
det(A − λI 2 ) = (1 − λ) · (2 − λ)
e, quindi, la sua equazione caratteristica e (1 − λ) · (2 − λ) = 0 che ammette due soluzioni distinte: λ = 1 , λ = 2. Queste ultime costituiscono gli autovalori della matrice A. Per risolvere l’equazione caratteristica none opportuno eseguire il calcolo (1 − λ) · (2 − λ) ; tuttavia, per verificare le affermazioni precedenti, qui si esegue ugual- mente tale calcolo e si ottiene l’equazione caratteristica nella forma λ^2 − 3 λ + 2 = 0. Ricordando che nel caso in esame e n = 2 , quest’ultima evidenzia che il coefficiente di λ^2e (−1)^2 = 1 , il coef- ficiente di λ e (−1)^1 · T rA = − 1 · (1 + 2) = −3 e, infine, il termine notoe det A = 2. L’autospazio associato all’autovalore λ = 1 si ottiene risolvendo il sistema omogeneo { (1 − 1) x 1 + 1 x 2 = 0 0 x 1 + (2 − 1) x 2 = 0
cioe ancora (^) { 0 x 1 + 1 x 2 = 0 0 x 1 + 1 x 2 = 0 che ammette come insieme di soluzioni V 1 = { (h, 0) ∈ R^2 }. Na- turalmente V 1e sottospazio vettoriale di R^2 e, in quanto tale, deve necessariamente avere tra i suoi elementi il vettore nullo. Quest’ultimo e l’unico elemento di V 1 che non sia autovettore della matrice A (si ribadisce qui il concetto che il vettore nullo none mai autovettore).
Naturalmente lo stesso procedimento si deve mettere in atto per deter- minare gli autovettori e l’autospazio associato all’altro autovalore λ = 2 della matrice A. Eseguendo i calcoli si ha che V 2 = { (k, k) ∈ R^2 }.
Operando come nell’esempio precedente si ottiene l’equazione caratte- ristica λ^2 + 2 = 0. Quest’ultima ammette solo soluzioni non reali e, pertanto, operando nel campo R dei numeri reali, il problema non ammette soluzioni; pertanto la matrice B non ha autovalori, n´e autovettori, n´e autospazi. La stessa matrice, tuttavia, puo anche es- sere considerata come matrice complessa: in tal caso la sua equazione caratteristica (chee la stessa di prima) ammette due soluzioni distinte (non reali, complesse e coniugate) e, di conseguenza, ammette auto- valori, autovettori ed autospazi che si determinano esattamente come nell’esempio precedente operando nel campo complesso. Naturalmente gli autovettori non saranno reali, dal momento che si ottengono come soluzioni di un sistema di equazioni lineari a coefficienti non reali: questa `e la ragione per cui operando in R non si possono accettare come autovalori le eventuali soluzioni complesse dell’equazione carat- teristica.
Operando come nell’esempio precedente si ottiene l’equazione caratte- ristica (λ + 1)^2 = 0. Quest’ultima ammette due soluzioni reali e coin- cidenti, pertanto, la matrice C ammette un solo autovalore λ = − 1. Per determinare gli autovettori e l’autospazio associato all’unico auto- valore della matrice si procede come nel primo di questi esempi e si ottiene l’autospazio V− 1 = {(0, h) ∈ R^2 } ; `e opportuno segnalare esplicitamente il fatto che tale sottospazio ha dimensione 1.
Definizione 5.2. Sia A una matrice di Kn,n^ e sia λ un autovalore di A ; si definisce molteplicita algebrica di λ la molteplicita di λ come soluzione dell’equazione caratteristica.
Conviene forse ricordare che la molteplicita h di una soluzione α di una equazione algebrica nell’incognita xe il numero di volte che si deve contare α tra le soluzioni dell’equazione; questo equivale a dire che h `e il numero di volte che il fattore (x − α) figura nella scomposizione del polinomio a primo membro della equazione. Questo equivale ancora a dire che tale polinomio risulta divisibile per (x − α)h^ ma non per (x − α)h+^.
Definizione 5.3. - Sia A una matrice di Kn,n^ e sia λ un autovalore di A ; si definisce molteplicit`a geometrica di λ la dimensione del sottospazio Vλ.
A proposito delle molteplicita di un autovalore sussistono le proprieta seguenti:
Proposizione 5.4. Sia A una matrice di Kn,n^ e sia λ un autovalore di A avente molteplicit`a algebrica ma(λ) ; allora si ha che:
Quanto descritto sin qui consente di stabilire quali matrici di Kn,n^ siano diagonalizzabili.
Proposizione 5.5. Una matrice A di Kn,n^ risulta diagonalizzabile (cioe simile ad una matrice diagonale) se e solo se sussistono le due seguenti pro- prieta:
Osservazione 5.6. Dalla proposizione precedente si deduce subito che ci sono due motivi (e solo quelli) per i quali una matrice puo non essere dia- gonalizzabile. Il primoe che qualche soluzione dell’equazione caratteris- tica non appartiene al campo K (si pensi al caso di una matrice reale:
la sua equazione caratteristica ha coefficienti reali, ma potrebbe avere an- che soluzioni complesse non reali). L’altro motivo e che qualche autovalore potrebbe avere molteplicita geometrica strettamente minore della molteplicit`a algebrica.
Il primo ostacolo si supera spesso operando in un campo algebricamente chiuso come il campo complesso. Il secondo non si pu`o superare, ma solo arginare con un metodo dovuto a Jordan.
Per le matrici reali sussiste comunque la propriet`a seguente:
Proposizione 5.7. Le matrici reali simmetriche sono sempre diagonaliz- zabili.
Resta ormai solo da chiarire come si determina una matrice diagonale simile ad una matrice diagonalizzabile A e come si determina una matrice di passaggio; a questo proposito sussiste la seguente
Proposizione 5.8. Sia A una matrice diagonalizzabile di Kn,n^ e siano λ 1 , λ 2 ,... , λk gli autovalori distinti di A (k ≤ n); allora A risulta si- mile ad una matrice diagonale avente gli autovalori di A sulla diagonale riportati con la propria molteplicit`a (algebrica e geometrica); in tal caso le colonne di una matrice di passaggio si ottengono scrivendo nell’ordine le com- ponenti dei vettori di una base dell’autospazio associato a ciascun autovalore λ 1 , λ 2 ,... , λk.
Da questa proposizione si deduce che, permutando tra loro i vettori della matrice di passaggio, non solo si cambia la matrice di passaggio, ma viene modificata anche la matrice diagonale simile alla matrice data inizialmente mediante una permutazione degli autovalori sulla diagonale della matrice ottenendo ancora una matrice diagonale simile a quella iniziale.
A conclusione di questi appunti si enuncia la seguente
Proposizione 5.9. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e due matrici di Kn,n^ siano simili e che esse abbiano gli stessi autovalori e che ciascuno di questi abbia, rispetto alle due matrici, la stessa molteplicita algebrica e la stessa molteplicit`a geometrica.
Esempio 5.10. Si considerino le seguenti matrici ad elementi reali
