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DEF MATRICE Siano si dice matrice di tipo ogni tabella costituita da m n numeri reali disposti su m linee orizzontali ed n linee verticali.E l’ insieme di tali matrici si indica con il simbolo.
DEF MATRICE NULLA La matrice nulla di tipo è la matrice ad m righe ed n colonne ad elementi tutti nulli e si indica con DEF MATRICE-RIGA/MATRICE- COLONNA Ogni matrice di tipo si dice matrice colonna , mentre ogni matrice di tipo si dice matrice riga. i-esima riga : j-esima colonna : DEF MATRICI UGUALI Siano
. Le due matrici A ed sono uguali e si scrive se si verificano le seguenti condizioni:
DEF MATRICE TRIANGOLARE SUPERIORE/INFERIORE Una matrice quadrata aventi nulli gli elementi al di sotto (o al di sopra) della diagonale principale si dice matrice triangolare superiore (o triangolare inferiore) si indicano con:
DEF MATRICE DIAGONALE Una matrice quadrata di ordina n tale che si dice matrice diagonale e si indica con :
DEF MATRICE SCALARE Una matrice diagonale i cui elementi sulla diagonale principale sono tutti uguali si dice matrice scalare :
DEF MATRICE UNITA’ La matrice scalare di ordine n tale che si dice matrice unità e si indica:
DEF MATRICE SIMMETRICA
/ANTISIMMETRICA
-Una matrice quadrata si dice simmetrica se cioè sono uguali gli elementi che occupano posizioni simmetriche rispetto alla diagonale principale Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice sia simmetrica è che coincida con la sua trasposta:
-Una matrice quadrata si dice antisimmetrica se (inoltre Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice sia antisimmetrica:
OPERAZIONI TRA MATRICI
DEF SOMMA DI MATRICI Siano , poniamo e B. Si dice matrice somma di A e B la matrice indicata con definita da:
OSS :la somma si fa tra matrici dello stesso ordine : + :
DEF PRODOTTO SCALARE PER UNA MATRICE Siano λ ed la matrice prodotto dello scalare λ per A si denota con λ : λ questo prodotto è sempre possibile
PROPRIETA’ DI OPERAZIONI
TRA MATRICI Siano A,B,C e si hanno le seguenti proprietà: 1)A+B=B+A 2)A+(B+C)=(A+B)+C 3)A+0=A=0+A
t.c. A+A’=0=A’+A
- A)=(λ )A
- )A=λA+ A
- A+B)=λA+λB
DEF PRODTTO TRA MATRICI Sia si ponga A=( e B =( si definisce prodotto righe per colonne di A per B la matrice A in cui l’elemento è dato da:
Fisso i-esima riga di A e la h- colonna di B #colonne 1°matrix=#righe2°matrix DEF MATRICI PERMUTABILI Due matrici A e B quadrate dello stesso ordine si dicono permutabili se. Ogni matrice di ordine n è sempre permutabile con la matrice identica e con la matrice nulla:
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO TRA MATRICI
, (BC)=(AB)C
2. ,
(A+B)C=AC+BC
3. ,e
A(B+C)=AB+AC
4. λ : λ(AB)=(λA)B=A(λB) 5. :
DETERMINANTE NULLO se una riga o colonna è combinazione lineare di altre. CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE Ad ogni matrice quadrata di ordine si associa un numero reale detto determinante di A indicato con det(A) e definito: -per n=1: A=(a) -per n=2:
-per n>2: ‘’ I° teorema di LAPLACE’’ OSSERVAZIONE determinante per matrici quadrate rango per matrici rettangolari DEF MINORE Dicesi minore estratto da una matrice A il determinante di una qualsiasi matrice quadrata estratta da A A= determinante DEF MINORE COMPLEMENTARE /COFATTORE Sia , fissati h,k si dice complementare dell’elemento il determinante di ovvero della sottomatrice quadrata di ordine n-1 (cioè il minore di ordine n-1 estratto da A) che si ottiene da A sopprimendo la h-esima riga e la K-esima colonna. DEF COMPLEMENTO ALGEBRICO O COFATTORE DI il numero :
DEF I°TEOREMA DI LAPLACE Sia , il determinante di A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna)di A per i rispettivi complementi algebrici: per le colonne
per le righe
DEF TEOREMA DI BINET
DEF II° TEOREMA DI LAPLACE
Sia La somma di prodotti degli elementi di una riga (o colonna) di A per i complementi algebrici dei corrispondenti elementi di un’altra riga(colonna) è nulla, cioè:
DEF MATRICE INVERTIBILE Se A è una matrice quadrata di ordine n si dice che A è invertibile se esiste una matrice quadrata B di ordina n tale che:
Oss Se la matrice A è invertibile la matrice B è unica.
DIM Supponiamo che esiste un’altra matrice C t.c.:
Si ha:
(c.v.d.) DEF MATRICE INVERSA Sia A una matrice invertibile, si chiama matrice inversa di A e si denota con l’unica matrice tale che: PROPRIETA’ MATRICI INVERTIBILI (1) se A è invertibile anche la sua inversa è invertibile e la sua inversa è A. DIM(1) per ipotesi A è invertibile
(2) Se A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine ed entrambe invertibili allora la matrice è invertibile e risulta : DIM(2) sia n l’ordine di A e B,per ipotesi: A è invertibile
B è invertibile
Allora:
DEF MATRICE NON SINGOLARE Una matrice quadrata di ordine n si dice non singolare se il suo determinante è non nullo. Condizone necessaria e sufficiente Una matrice A è invertibile se e solo se è “non singolare” cioè det(A) 0. DEF MATRICE AGGIUNTA Se una matrice quadrata di ordine n. Si dice matrice aggiunta di A e si indica con aggA la matrice :
Dove è una matrice di complementi algebrici:
PROPRIETA’
Sia , se A è invertibile la sua matrice inversa è data da:
DIM pongo
Devo dimostrare Se e (elementi trasposti) Per definizione di matrice aggiunta:
questo si ha se i=j !!! DEF DELTA DI KRONECKER Data la matrice scalare
con si chiama delta di Kroneker è una applicazione di due funzioni
di due variabili (i e j) così definito:
DEF MATRICE ORTOGONALE Una matrice quadrata A di ordine n si dice ortogonale se :
PROPRIETA’ MATRICE ORTOGONALE Se A è una matrice quadrata di ordine n ortogonale la sua trasposta è ortogonale: DIM A ortogonale
Se chiamo B allora
PROPOSIZIONE Se A è una matrice ortogonale di ordine n, allora il determinante di A det(A)= 1 DIM A è ortogonale
PROPOSIZIONE Una matrice A quadrata di ordine n è ortogonale se e solo se la somma dei quadrati degli elementi di ciascuna riga (rispettivamente colonna)è uguale a uno, mentre la somma dei prodotti di due righe o colonne distinte è uguale a zero. --RANGO DI UNA MATRICE RETTANGOLARE-- DEF MINORE DI ORDINE P SiaA sia minore di ordine p estratto da A il determinante di una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine p ottenuta selezionando arbitrariamente p righe e p colonne. DEF RANGO Sia non nulla , si dice rango (o caratteristica ) di A il massimo ordine di minori non nulli estraibili da A. DEF ORLATO Sia ed un minore di ordine p estratto da A con , si dice orlato di ogni minore d’ordine p+1 di A ottenuto da aggregando ad esso una riga ed una colonna di A, scelte tra quelle che non formano. TEOREMA DEGLI ORLATI O DI KRONECKER Sia non nulla, la matrice A ha rango p se e solo se esiste almeno un minore d’ordine p non nullo i cui orlati sono tutti nulli. EQUAZIONI LINEARI DEF EQUAZIONE LINEARE Siano e si dice equazione lineare ad n incognite con coefficienti e termine noto b , l’espressione (1)
DEF DELL’EQUAZIONE ogni n- upla
Risolvere un’equazione lineare significa trovare tutte le soluzioni possibili cioè l’insieme
OSSERVAZIONI
(1) S=0 allora la (1) è incompatibile accade quando
(2) S= allora la uno è una identità, ogni n-upla di numeri reali è soluzione, accade quando: (3) S in tal casi almeno uno dei coefficienti è diverso da zero, per esempio
Si hanno DEF EQUAZIONI LINEARI EQUIVALENTI Si dice che due equazioni lineari sono equivalenti se l’insieme delle soluzioni dell’ una è uguale a quelle dell’altra. DEF EQUAZIONE OMOGENEA Un equazione lineare in n incognite si dice omogenea se il termine noto è nullo, cioè l’equazione è del tipo:
PROPRIETA’ 1 )Un’equazione lineare omogenea in n incognite ammette sempre la soluzione banale (tutti elementi zero) (0,0…,0) o anche dette soluzioni nulle. 2 )Se è soluzione non banale dell’equazione lineare omogenea, la n-upla è soluzione dell’equazione, comunque n consideri h. Def. Sistemi di equazione lineari Si dice sistema lineare di n equazioni e di n incognite un sistema del tipo: 2)
Def. Soluzione di un sistema lineare. Si dice soluzione di un sistema di equazioni lineari ogni n-upla di numeri reali ( ) che sia contemporaneamente soluzione di ciascuna equazione del sistema, cioè la soluzione S=S1 = Dove =(i=1,…,n) è l’insieme delle soluzioni dell’i-esima equazione. Def. Sistema di equazione lineare compatibile/incompatibile. Un sistema di equazioni lineari si dice compatibile se ammette almeno una soluzione (S ), altrimenti si dice incompatibile(S= ). Def. Matrice incompleta Considerato il sistema (2) si dice matrice dei coefficienti o si dice incompleta del sistema la matrice A data dai coefficienti del sistema:
A= si dice
matrice incompleta Si dice matrice dei coefficienti e dei termini noti o matrice completa la matrice
B=
Se pongo = e = il sistema posso scriverlo in forma matriciale. Def. Sistemi equivalenti Due sistemi lineari nelle stesse incognite si dicono equivalenti se tutte le soluzioni dell’uno sono anche soluzioni dell’altro. Teorema di Rouchè-Capelli Un sistema di m equazioni in n incognite è compatibile il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa, cioè: rg(A)=rg(B) Se posto h tale rango e dicesi rango del sistema, si ha che: 1)Se h<n il sistema ammette n-h^ soluzioni 2)Se h=n il sistema ammette ^0 soluzioni, cioè una sola soluzione. Sistemi di cramer Def. Si dice sistema di cramer ogni sistema tale che: a) il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite (m=n) b) la matrice incompleta (quadrata) e non singolare (det A 0) Osservazione 1) rg(A)=rg(B)=n quindi un sistema di cramer è sempre compatibile 2) un sistema di cramer ammette ^0 soluzioni Proprietà L’unica soluzione di un sistema di cramer è data dalla n-upla ( n Dove = dove per det(Ai) si intende il determinante della matrice quadrata ottenuta dalla matrice incompleta A sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti. Sistemi non di cramer compatibili Ogni sistema del tipo A con
che non sia di cramer ma sia compatibile può essere ricondotto ad un sistema di cramer. Sia assegnato un sistema lineare di m-equazioni in n-incognite e sia rg(A)=h=rg(B) allora h m, ed un minore non nullo Mh di ordine h, sia in A che in B:
A=
Procedimento 1) Scartare dal sistema tutte le equazioni i cui coefficienti non entrano a far parte del minore Mh. Si ottiene così un sistema di h equazioni in n incognite 2) Porre nel sistema così ottenuto, come parametri, tutte le incognite i cui coefficienti non entrano nel minore Mh e portarlo dalla parte dei termini noti. In tal modo si perviene ad un insieme di cramer. Oss Se h=n l’unica soluzione del sistema ottenuto dipende da n-h incognite (e sarà una soluzione dipendente da n-h parametri). Def Sistema lineare normale. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si dice normale se il rango della matrice incompleta è uguale al numero delle equazioni. Oss Un sistema lineare di m equazioni in n incognite normale, con m n è sempre compatibile Inoltre 1) Se m=n esso ammette una ed una sola soluzione in quanto è un sistema di cramer. 2) Se m<n ammette n-m soluzioni per il teorema di Rouchè Capelli. Def Sistema lineare omogeneo Un sistema lineare del tipo 0 i=1,…,m o anche A si dice sistema lineare omogeneo. Oss In un sistema lineare omogeneo la matrice incompleta e la matrice completa hanno sempre lo stesso rango in quanto la matrice (matrice nulla), quindi è sempre compatibile ed ammatte almeno la soluzione banale (0,0,…,0). Prop (condizione necessaria e sufficiente) Un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite A ammette soluzioni diverse dalla soluzione banale se e solo se il rango della matrice A è minore di n. Strutture algebriche gruppi e campi Def Legge di composizione interna Sia x un insieme. Si dice legge di composizione interna su X (o operazione binaria) ogni applicazione :XXX che ad ogni coppia (X 1 ,X 2 ) XX associa un elemento (X 1 ,X 2 ) X che si denota con X 1 X 2 e si chiama composta di X 1 e X 2 tramite . Esempio 1) Se X= allora la somma + è una legge di composizione interna +: , analogamente se X= , , ,. 2) Se X= con (m,n) ( 2 )* la somma + è una legge di composizione interna (L.C.I.) Def Struttura algebrica. Ogni insieme X munito di un’operazione interna si dice
Nel caso 2 se rg(A)=p<K individuato un minore Mp 0, p vettori tra 1 ,…, (^) k che hanno le componenti che formano il minore Mp sono lineramente indipendenti. Prop La dimensione n di uno spazio vettoriale V rappresenta il massimo numero di vettori linearmente indipendenti di V. Prop La dimensione n di uno spazio vettoriale V rappresenta il minimo numero di vettori che generano V. Prop Sia V un k-spazio vettoriale n dimensionale e siano 1 , 2 ,…, kV. Allora i vettori 1 ,^2 ,…,^ k sono L.D. se e solo se almeno uno dei k-vettori si scrive come combinazione lineare dei rimanenti k- vettori. Dimostrazione ) prima implicazione. Se i vettori 1 ,^2 ,…,^ k sono L.D. allora per definizione esistono k scalari non tutti nulli: 1 , 2 ,…,kK t.c. i i= (^) v essendo non tutti nulli esiste j1,…,k t.c. j k e quindi (^) j=
- j-1 1 1 - …-j-1j-1 j-1-j-1j+1 j+1-
- j-1k k (^) j è combinazione lineare degli altri vettori (k-1). Viceversa Se un vettore è combinazione lineare degli altri ad esempio: (^) r= i (^) i allora si ha che: 1 1 + 2 2 +…- (^) r+…+k k= 1 ,…,^ k sono L.D. perché^ r=-1^0 Teorema del completamento della base Sia V un k-spazio vettoriale di dimensione n e siano 1 , 2 ,…, (^) kV, kn, K vettori L.I. allora è sempre possibile determinare n-k vettori (^) k+1,…, (^) n in V in modo che B= (^) 1 , 2 ,…, (^) n sia una base di V. Conosciamo già una base cioè quella canonica (e 1 ,…,en) di V allora basta scegliere n-k vettori che risultino L.I. con 1 ,…, k. Def Sottospazi vettoriali Sia V uno spazio vettoriale di campo K, si dice che un sottoinsieme W di V è sottospazio vettoriale di V e si scrive WV se è spazio vettoriale rispetto alle restrizioni definite su V Proposizione (condizione necessaria e sufficiente) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia WV, W. Il sottoinsieme W si dice sottospazio vettoriale di V se sono verificate le seguenti condizioni dette “proprietà di chiusura”. 1 ) 1 , 2 W: 1 + 2 W 2 ) K, W: W Esempi sottospazi vettoriali 1 )V spazio vettoriale, W= (^) v è sottospazio vettoriale, W=V è
sottospazio vettoriale sono detti sottospazi vettoriali impropri. 2 )W è sottospazio vettoriale di V (^) vW, se WV, se vWW non è sottospazio vettoriale di V. 3 )Sia V= 3 , considerando il sottoinsieme W dato dalle terne W=(x 1 ,x 2 ,x 3 ) |x 3 =0 prendo W =(x 1 ,x 2 ,0) I ) 1 , 2 W 1 + 2 W 1 =(x 1 ,x 2 ,0)^2 =(x’ 1 ,x’ 2 ,0) 1 +^2 =(x 1 + x’ 1 , x 2 + x’ 2 ,0)W ( prima proprietà di chiusura verificata ) II ) 1 W 1 =(x 1 ,x 2 ,0)W ( seconda proprietà di chiusura verificata ) Posso determinare la base e la dimensione del S.S.V. di V W =(x 1 ,x 2 ,0)= =x 1 (1,0,0)+x 2 (0,1,0)=x 1 1 +x 2 2 , dove 1 =(1,0,0) e 2 =(0,1,0). 1 e
2 sono L.I.? rg^ deve
errere maxrg=2 1 e 2 sono L.I. B= 1 , 2 dim(W)= Prop Sia V un k spazio vettoriale n-dimensionale e sia WV un suo sottospazio vettoriale 1 )W=V dim(W)=dim(V) 2 )WV dim(W)<dim(V) Def Sottospazi vettoriali in forma di eq. cartesiana Sia V un k-spazio vettoriale dim(V)=n e sia B= 1 , 2 ,…, (^) n una base di V. Se V indichiamo con x la matrice colonna delle componenti di nella base B. Sia inoltre A= Mm,n( ) e sia rg(A)=r 1 rminm,n. Si ponga = V|Ax=0, =xinsieme di soluzioni di un sistema lineare omogeneo. W è un sottospazio vettoriale. Si dimostra che: 1 )dim(W)=n-r 2 )Una base di W si ottiene considerando i vettori 1 ,^2 ,…,^ n-r le cui componenti rispetto alla base di V si ricavano dalle soluzioni del sistema Ax= Soluzioni
Le componenti di (^) j non si lasciano con i parametri e infatti si ottengono ponendo hi=0 se i≠j ed hj=1- Def sottospazio generato Siano 1 ,…,^ kV su K, il sottospazio L =( 1 ,…, (^) k) si dice sottospazio generato di vettori 1 , 2 ,…, (^) k. Prop Se V è un k-spazio vettoriale 1 , 2 ,…, (^) kV, l’insieme L =( 1 , 2 ,…, (^) k)= =x 1 1 +x 2 2 +...+ xn k|x 1 …xkK è un sottospazio vettoriale
Oss La base è costituita dai vettori tra gli 1 , 2 ,…, (^) k che sono L.I. Sottospazi vettoriali intersezione Prop Siano V un k- spazio vettoriale, U, WV sottospazio allora UW è ancora un sottospazio vettoriale di V. Dimostrazione Siano 1 , 2 UW cioè 1 , 2 U e 1 , 2 W. Per ipotesi U=W sono sottospazi vettoriali, quindi valgono le proprietà di chiusura: 1 ,^2 U^1 +^2 U I ) 1 + 2 UW 1 ,^2 W^1 +^2 W ( prima proprietà di chiusura ) II )Sia W, UW U e W U e W UW ( seconda proprietà di chiusura ) Def Sottoinsiemi vettoriali somma Sia V un k-spazio vettoriale e U e WV dei sottospazi, si definisce la somma U+W come il sottoinsieme di U. U+W= V| = + , V e W Prop Siano U e W dei sottospazi di uno stesso spazio vettoriale V. Allora U+W è sottospazio di V. Dimostrazione 1 ) , ’U+W + ’U+W 2 ) K, U+W U+W per le proprietà di chiusura. U+W U e W = + U+W ’U e ’W ’= ’+ ’
- ’=( + )+( ’+ ’)= ( + ’)+( + ’)poiché U è sottospazio vettoriale valgono le proprietà di chiusura quindi
- ’U, analogamente per W, cioè ho che
- ’W + ’U+W K, U+W U e W = + =( + )= + ( per la proprietà di chiusura ) U+W Def Sottospazio somma Se U e W sono sottospazi vettoriali dello spazio V sul campo K allora il sottospazio U+W si chiama sottospazio somma di U e W. Prop ( relazione di grassman ) U e W sottospazi vettoriali di V, k spazio vettoriale, allora: dim(U+W)= dim(U)+dim(W)-dim(UW) Oss V 1 = L ( 1 , 2 ,…, (^) k)sottospazio generato V 2 = L ( ’ 1 , 2 ,…, (^) k) Allora V 1 +V 2 = L ( 1 , 2 ,…, (^) k, ’ 1 , 2 ,…, (^) k) Def Somma diretta Sia V uno spazio vettoriale e siano U e W due suoi sottospazi. Si dice che V è somma diretta di U e W e si
scrive V=U+W se sono verificate le seguenti condizioni: 1 )UW= (U e W hanno intersezione banale) 2 )U=U+W Oss I )Siano U e W due sottospazi vettoriali di V spazio vettorialein generale UW non è sottospazio. II )Siano U e W due sottospazi vettoriali, in U+W un elemento può essere ottenuto in vari modi come somma di un elemento di U e un elemento di W cioè se: U+W U, W: = + Ma può anche accadere che U+W U, W tale che = ’+. Se invece U+W Somma diretta si ha che + = = ’+ = ’ e = UW= . - ’= -.
- ’= ; - = Applicazioni Lineari: Def Siano U e V spazi vettoriali nello stesso campo K e sia f:UV un’applicazione; esso si dice applicazione lineare se: 1 ) , ’ V, f( + ’)=f( ) +f( ’) 2 ) k, U, f( ) = f( ) Def Isomorfismo Se un’applicazione lineare e anche bigettiva si dice isomorfismo. Def endomorfismo Se U=V (spazio di partenza=spazio di arrivo) un’applicazione lineare si dice endomorfismo di V. Def automorfismo Un endomorfismo bigettivo di V si dice automorfismo di V. Esempi 1 )f:UV | uU, f(u)= (^) v Tale f è lineare! Se prendo = ’ Uf( )= (^) v ’Uf( ’)= (^) v f( + ’)=0v= f( )+f( ’) 2 )Sia AMm,n( ) A= f: n m^ t.c. f(x1 ,x2 ,…,xm) = (y1,…,ym) dove: y=Ax=
=
allora f è lineare. Dim se , ’ n, posto =( (^) 1,…, n), ’=( (^) 1,…, n) X ’X’ si ha che + ’X+X’ f( + ’) = A(X+X’)=AX+AX’= =f( )+f( ’) Quindi X Analogamente R =X f( )=A(X)=(AX)=f( ). 3 )Sia A= M2,3(R) f:R^3 R^2 ponendo f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= =(y 1 ,y 2 ) dove:
=
f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(x 1 -2x 2 ;2x 1 +x 2 -x3). OSS. Ad ogni applicazione lineare è associata una matrice e ad ogni matrice è associata almeno un’applicazione lineare.
PROP****. Siano Ue V (uguali) U=V due K-spazi vettoriali, BU e Bv basi di U e V e sia f:UV un’applicazione. Sia inoltre dim(U)=n, dim(V)=m, allora l’applicazione f è lineare se e solo se esiste una matrice AMm,n(K) t.c. U, dette X e Y le matrici colonna delle componenti di in BU e di f( ) in BV, si abbia y=AX. Def La matrice AMm,n(K), fissate le basi BU e Bv è unica e si chiama matrice matrice associata ad f rispetto alle basi BU e Bv. Assegnata un’applicazione lineare f:UV la matrice AMm,n(K) associata ad f rispetto alla base BU e Bv dove BU={ 1 , (^) 2,…, n} e BU={ 1 , (^) 2,…, n} ha come J-esima colonna J{1,…,n} le componenti del vettore f( (^) j) rispetto alla base Bv. Prop. Siano U e V spazi vettoriali sullo stesso campo K e sia f un’applicazione lineare definita in U e a valori in V allora risulta che: 1 )f( (^) v)= (^) v 2 ) Uf(- )=-f( ) 3 )Siano , 1 , 2 ,…, (^) s vettori di U e siano a1,a2,…, as elementi di K allora = a 1 1 +a 2 2 +…+as s f( )= = a 1 f( 1 )+a 2 f( 2 )+…+asf( s) 4 )Se 1 , 2 ,…, (^) s sono vettori L.I. di U allora: f( 1 ), f( 2 ) , f( (^) s) sono vettori L.D. di V. Si dice in questo caso che l’applicazione lineare conserva la lineare dipendenza. DIM (della 4) f:UV lineare Siano 1 , 2 ,…, (^) s vettori L.D. 1 1 + 2 2 +…+s s = (^) v con 1 , 2 ,…, s non tutti nulli prendo la combinazione lineare 1 f( 1 )+ 2 f( 2 ),…,+sf( (^) s)= =f( 1 1 ) +f( 2 2 )+…+f(s s)=per definizione di applicazione lineare, per la II proprietà= f( 1 1 + 2 2 +…+ s s)= per la I proprietà = f( (^) v)= (^) vper la I f( 1 ), f( 2 ),…, f( (^) s) sono L.D. essendo 1 , 2 ,…,s non tutti nulli. DEF Siano U e V due K-spazi vettoriali f:UV applicazione lineare. Il sottoinsieme dello spazio V dato V Im(f):={ V | U: =f( )} si dice immagine di f. PROP Sia f:UV applicazione lineare, allora Im(f) è un sottospazio vettoriale di V, inoltre se BU={ 1 , (^) 2,…, n} è una base di U allora Im(f) =L (f( 1 ),f( 2 ),…,f( (^) n)) DIM I Tesi Im(f) è sottospazio vettoriale di V 1 )Presi , ’ Im(f) , ’ U ’ =f( ) e ’=f( ’) (devo dimostrare la 1^ proprietà di chiusura) + ’=f( )+f( ’)=f( + ’) quindi per definizione di applicazione lineare: + ’ Im(f)
’’= + ’ , ’’= + ’ ’’=f( ’’) 2 )Preso K, Im(f) (devo dimostrare la 2^ proprietà di chiusura) =f( )=f( ) Im(f). II Tesi : Im(f)=L(f( 1 ),f( 2 ),…,f( (^) n)) dimostriamo che Im(f)L(f( 1 ),f( 2 ),…,f( (^) n)) Sia Im(f) U ’ =f( ), essendo B={ (^) i} (x1,x2,…,xn)K t.c. =x 1 1 +x 2 2 +…+xn n quindi =f( )(per la 3^ proprietà) f( 1 )x 1 +f( 2 )x 2 +…+f( (^) n)xn L(f( 1 ),…,f( (^) n))Im(f) DIM Che L(f( 1 ),…,f( (^) n))Im(f) Sia L(f( 1 ),…,f( (^) n)) =x 1 f( 1 )+…+ xnf( (^) n)= =f(x 1 1 +x 2 2 +…+xn n); quindi posto: =x 1 1 +x 2 2 +…+xn n ho che =f( ) con U Im(f). quindi per la doppia inclusione si ha l’uguaglianza. OSS Se f:UV applicazione lineare, AMmn(K) è la matrice associata ad f rispetto alla base BU e Bv allora Im(f) è lo spazio generato dai vettori le cui componenti sono delle colonne della matrice A. DEF Si dice che f:UV applicazione è surgettiva Im(f)=V. DEF Siano U e V due K spazi vettoriali ed f:UV un applicazione lineare, allora il sottoinsieme di U definito da: Ker(f)={ U|f( )= (^) v} U si dice nucleo di f. PROP Il nucleo di un applicazione lineare è un sottospazio di U e se A è la matrice associata rispetto ad f a certe basi allora un sistema di eq. cartesiane per Ker(f) è dato dal sisiema lineare omogeneo che ha la matrice A come matrice incompleta. DIM. Dimostrazione che Ker(f) è un sottospazio vettoriale di U. 1 )Siano , ’ Ker(f) allora f( )= (^) v f( ’)= (^) v quindi: f( + ’) = f( ) + f( ’)= (^) v+ (^) v = (^) v ( + ’) ker(f). 2 )K, Ker(f)uKer(f) da dimostrare Se A(aij) è la matrice associata ad f rispetto alle basi Bu e Bv di U e V allora le eq. Di f sono:
Quindi se U di componenti X=(x 1 ,…,xn)T^ allora Ker(f)
PROP Siano Ue V spazi vettoriali sul campo K. Sia f:UV applicazione lineare allora si ha che f è ingettiva Ker(f) = DIM 1 )Ipotesi: f è ingettiva Tesi: Ker(f)=. Sia Ker(f)f( )= (^) v (per la prop 1) f( (^) v)= (^) v f( )= f( (^) v)u= (^) v Ker(f)= 2 )Ipotesi: Ker(f) = ;
Tesi: f è ingettiva. Siano , U ’ f( )=f( ) f( )-f( )= (^) v f( )+f(- )= (^) v per def della linearità di f f( - )= (^) v - Ker(f)
- = (^) v f è ingettiva. PROP. Siano U e V spazi vettoriali su K. Siano f:UV applicazione lineare. Allora f è ingettiva f conserva la lineare dipendenza DIM. f è ingettivaf conserva la lineare indipendenza. Siano 1 , 2 ,^3 vettori L.I. quindi la tesi è che anche i vettori f( 1 ), f( 2 ), f( 3 ) sono L.I.. Allora consideriamo a 1 f( 1 )+a 2 f( 2 )+…+asf( (^) s)= (^) v f(a 1 1 )+f(a 2 2 )+…+f(as s)= (^) v F(a 1 1 +a 2 2 +…+as s)= (^) v f( (^) v)= (^) v f(a 1 1 +a 2 2 +…+as s)=f( (^) v)poi chè f è ingettiva per ipotesi a 1 1 + a 2 2 +…+as s= v a 1 =a 2 =as=0k f( 1 )…f( (^) s)= L.I. f conserva la lineare indipendenza. DIM. f conserva la L.I. f è ingettiva. Equivalentemente dimostro che f conserva la lineare dipendenza Ker(f)= f è ingettiva. Supponiamo che Ker(f) supponiamo che ≠ (^) v vettore L.I.per ipotesi anche f( ) è L.I.f( )≠ (^0) v Ker(f) ASSURDO!! Perché ho posto = (^) v Ker(f)= f è ingettiva. OSS. Se A è la matrice associata ad un’applicazione lineare f:UV con dim(U)=n si osserva che: dim(Im(f))=rg(A) dim (Ker(f))=n-rg(A) TEOREMA DEL RANGO O DELLE DIMENSIONI Siano U e V k-spazi vettoriali con dim(U)=n sia f:UV applicazione lineare allora si ha che dim(Im(f))+dim(Ker(f))=n=dim(U) MATRICI SIMILI E DIAGONALIZABILI DEF. Due matrici A,BMn (K) si dicono simili se esiste una matrice PMn (K) invertibile tale che B=P-1AP, P è detta matrice di passaggio. OSS 1) La definizione precedente ha senso in forza della non commutatività del prodotto righe per colonne. 2) P in generale non è unica DEF Una matrice AMn(K) si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale. Le matrici diagonali sono diagonalizzabili. AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI DI UNA MATRICE QUADRATA
Convenzioni: K campo Kn^ spazio della matrice colonna Mn1(K) DEF Sia AMn(K) un elemento λK si dice autovalore di A se esiste un vettore non nullo XKn tale che AX=λX Ogni vettore non nullo per il quale si verifichi la precedente relazione si dice autovettore relativo all’autovalore λ. Per individuare gli autovalori di una matrice si procede nel seguente modo: λK è autovalore di AX(Kn)n^ t.c. AX=λXX(Kn)^ t.c. AX-λX=0 X(Kn)^ t.c. (A-λI)X=0, per tanto λK è un autovalore di Ail sistema omogeneo (A-λI)X=0 di n equazioni lineari ammette soluzioni non banali, ovvero det(A-λI)= λK è un autovalore di A λK e det(A-λI)= OSS Se AMn (K), det(A-λI) è un polinomio algebrico di grado n che dicesi polinomio caratteristico e si indica con PA(λ). L’equazione algebrica det(A-λI)=0 si dice equazione caratteristica di A. DEF Sia AMn (K) λK un autovalore di A. Si chiama molteplicità algebrica di λ la molteplicità di λ come soluzione dell’equazione caratteristica PA(λ)=0, cioè il numero di volte che λK deve essere contato come radice di PA(λ). La molteplicità algebrica di un autovalore λ si indica con ma(λ). PA (λ)=(λ-1)(λ-2) (λ-1)(λ-2)= ma(λ 1 )=1 λ 1 = ma(λ 2 )=1 λ 2 = (λ-1) (λ-1) (λ-3)= λ 1 =1 ma(λ 1 )= λ 2 =3 ma(λ 2 )= Per trovare gli autovettori relativi ai corrispondenti auto valori bisogna trovare le soluzioni di un sistema lineare omogeneo (A-λI)X= DEF Sia AMn(K), λK autovalore di A si pone Vλ={XKn|AX=λX} Il sottoinsieme di Vλ si dice autospazio relativo all’autovalore λ. OSS Vλ è l’insieme di tutti gli autovettori relativi all’autovalore λK unitamente al vettore nullo. PROP Ogni autospazio è un sottospazio vettoriale di Kn DIM Se X,YVλ allora 1 )A(X+Y)=AX+AY=λX+λY=λ(X+Y) X+YVλ 1^ proprietà di chiusura 2 )hK XVλ
. (^) =0=. (^) =. (^). Ogni riferimento R=(0,B) per S 3 nel quale B è base ortonormale per V 3 si dice riferimento ortonormale , stessa cosa per S 2 ∈ =(vx,vy,vz) =vx +vy +vz risulta che vx= vy= vz= Dimostrazione = (vx +vy +vz ) = = vx.^ + vy.^ +vz.^ = ∈ , posto =(ux,uy,uz) =(vx,vy,vz) risulta che . (^) =uxvx+uyvy+uzvz || ||= Pertanto fissato un riferimento ortonormale R=(0,B) in risulta: 1 ).^ =uxvx+uyvy+uzvz 2 )|| ||= 3 )cos = =
=
4 )vers = =
= * (ux,uy,uz)
Def Se ∈ si può definire la componente ortogonale di secondo. Si tratta della lunghezza del segmento che si ottiene proiettando ortogonalmente nella direzione di , cioè (^) v= PRODOTTO VETTORIALE Solo in V 3 , si definisce una nuova operazione che ad ogni coppia di vettori associa un terzo vettore , tale operazione si dice prodotto vettoriale Def Prodotto vettoriale di due vettori liberi (non nulli) Si definisce prodotto vettoriale di due vettori liberi nn nulli 1 , 2 , ∈ il vettore 3 = 1 ^ 2 definito da: 1 )un modulo || 1 ^ 2 ||= =|| 1 || || 2 ||sen 2 )Una direzione perpendicolare al piano di 1 e (^2) 3 )un verso dato dalla regola della mano destra Se B={ , , } è base ortogonale di V 3 si possono avere solo 2 casi: 1 ) ^ = la base si dice positiva 2 ) ^ = - la base si dice negativa E quindi un riferimento ortonormale R di S 3 si dirà positivo o negativo. Se consideriamo un riferimento ortonormale positivo, il prodotto vettoriale tra i vettori =(ux,uy,uz) e =(vx,vy,vz) si esprime in componenti nella
forma: ^ = =
Oss Dalla definizione ^ segue che ^ =0 =0 ^ =0 V Proprietà del prodotto vettoriale fra vettori liberi di V 3 verifica le seguenti proprietà: 1 ) , ∈ ^ = - ^ (proprietà anticommutativa)
2 ) , , ∈ ( + )^ =
= ^+ ^ (proprietà distributiva) 3 ) , ∈ , λ ∈ R (λ )^ = ^(λ )= λ( ^ ) (Proprietà di’omogeneità) 4 )|| ^ = area del parallelogramma costruito su
Def PRODOTTO MISTO Se , , ∈ ha senso considerare il numero reale .( ^) che si dice prodotto misto dei vettori , , . Se R=(o,B) è un riferimento ortonormale di S 3 positivo ,il prodotto misto si può esprimere nella forma : .( ^)= Proprietà , , ∈ si ha che : 1 ) .( ^)= ( ^ ).^ 2 ) .( ^)=0R se e solo se , , sono complanari (LD) 3 ) | .( ^)|= volume del parallelepipedo costruito su , , Def Sia R=(o,B) un riferimento cartesiano affine di S 2. Una retta r nel piano è individuata assegnando un punto P 0 di coordinate (x 0 ,y 0 ) e una direzione, data attraverso un versore ∈ ; la retta r è data come la retta che passa per P 0 con direzione parallela a. Se P(x,y) ∈ si ha che: 1 )P∈r // t∈R t.c. = t (x-x 0 ,y-y 0 )= =(t(vx), t(vy)) equazioni parametriche della rette r L’equazione = t si chiama equazione vettoriale della retta r 2)P∈R // , sono L.D. =0; (x-x 0 )vy-(y-y 0 )vx=0 (x-x 0 )vy=(y-y 0 )vx = equazione in forma di rapporti uguali Oss Si pone il numeratore = quando il denominatore è = 3 ) P∈R // , sono L.D. =0 vy(x-x 0 )- vx(y-y 0 )=0 vyx- vxy-(vyx 0 - vxy 0 )=0 ax+by+c=0 dove: a=vyx , b=-vx , c=-(vyx 0 - vxy 0 ) “ equazione cartesiana della retta ” Def Parametri direttori Se r è la retta per P 0 e direzione parallela a =(vx,vy)∈ allora ogni vettore di V 2 parallelo a (cioè proporzionale a ) si dice vettore di direzione della retta r e le sue componenti si chiamano parametri direttori della retta r e si indicano con (l,m). In particolare se è un versore le sue componenti si dicono coseni direttori****. Allora : -se r: (l,m)= =(vx,vy) se r: ax+by+c=0(l,m)=(-b,a) Def RETTE PARALLELE
Due rette r e r’ si dicono parallele se e solo se r=r’ oppure rr = ; equivalentemente due rette sono parallele se e solo se hanno la stessa direzione cioè se e solo se hanno vettori di direzione proporzionali o uguali. Se r ha parametri direttori (l,m) e r’ha parametri direttori (l’,m’) allora r//r’(l,m)= k(l’,m’) sono proporzionali, in particolare (l,m)=(l’,m’). Pertanto se r=ax+by+c=0 e r’=a’x+b’y+c’= allora r//r’(-b,a)=k(-b’,a’) -b=-kb’, a=ka’ = = Oss P 0 (x 0 ,y 0 ) r ( , )r allora P(x,y) r .^ =0 a(x-x 0 )+b(y-y 0 )= Def ANGOLO TRA DUE RETTE Siano r ed r’ due rette non parallele di parametri direttori (l,m) e (l’,m’) allora r ha la direzione del vettore =(l,m); r’ ha la direzione del vettore =(l’,m’). s ha l’angolo tra ‘ che è dato da cos = =
In particolare rr’ ll’+mm’= Se r:ax+by+c=0, r’:a’x+b’y+c’= allora (l,m)=(-b,a) e (l’,m’)=(-b’,a’) cos = da cui rr’aa’+bb’= Def DISTANZA 1 Se P 1 , P 2 S 2 si dice distanza tra P 1 e P 2 e si indica con d(P 1 ,P 2 ) il numero reale non negativo d(P 1 ,P 2 )=|| || Def DISTANZA 2 Se P 0 (x 0 ,y 0 ) S 2 ed r è una retta la distanza tra P 0 ed r indicata con d(P 0 ,r) è la distanza fra i punti d(P 0 ,H) essendo H il punto di intersezione di rn dove n è la retta ortogonale ad r per P 0 Prop Se P 0 (x 0 ,y 0 ) S 2 ed r:ax+by+c=0 allora si ha la seguente identità d(P 0 ,r)= DEF FASCIO DI RETTE PROPRIO Il fascio di rette proprio di centro ( ) è l’insieme di tutte le rette del piano che passano per
. Consideriamo le rette per // agli assi:
L’eq. Del fascio è
; con λ, μЄR; si può anche scrivere nella forma: λx+μy-(λ μ )=0; ponendo k=μ/λ divido tutta l’equazione del fascio iniziale per λ e scrivo: (x- con λ. DEF. FASCIO DI RETTE IMPROPRIO Si tratta di tutte le rette parallele ad una direzione assegnata
. L’equazione di questo fascio è . (al variare di k ho tutte le rette parallele) DEF PIANO NELLO SPAZIO Siano ∈ e ∈ non paralleli. Il piano passante per e parallelo ad il sottoinsieme ∈
Fissato un riferimento cartesiano R=(O,B) e posto P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) =(ux,uy,uz) =(vx,vy,vz) si ha allora che P(x,y,z)Є , sono L.D
=
Calcolando il determinante e uguagliandolo a zero si perviene ad un’equazione del tipo ax+by+cz+d=0 (eq cartesiana del piano) con (a,b,c)Є
-PROPOSIZIONE sia :ax+by+cz+d=0 un piano, allora il vettore =(a,b,c) è al piano. DEF. PARALLELISMO TRA PIANI Due piani sono paralleli ↔ pertanto se :ax+by+cz+d= ’:a’x+b’y+c’z+d’=0 allora ↔ sono L.D↔ rg =1 a/a’=b/b’=c/c’ DEF. INTERSEZIONE TRA PIANI Due piani non paralleli si intersecano in una retta infatti se :ax+by+cz+d= ’:a’x+b’y+c’z+d’=0 allora ’↔rg = 2
con soluzioni. OSSERVAZIONE il sistema precedente dato dall’intersezione di piani non paralleli rappresenta l’ espressione della retta nello spazio in forma cartesiana. DEF ANGOLO TRA DUE PIANI Assegnati 2 piani e ’ l’angolo compreso tra i due piani è definito come l’angolo determinato dalle due direzioni quindi se :ax+by+cz+d= e ’:a’x+b’y+c’z+d’=0 allora il cos( )= cos( )= =± ’↔aa’+bb’+cc’= DEF.RETTA NELLO SPAZIO Se ∈ e ∈ la retta per con direzione è il sottoinsieme r:= ∈. Pertanto fissato un riferimento affine o cartesiano R=(0,B) in e posto e =(vx,vy,vz) P(x,y,z)∈ si ha che PЄr =t (x-x 0 ), (y-y 0 ), (z-z 0 )= =( , , )
↔ che è
L’ EQUAZIONE PARAMETRICA DI r , oppure: P∈ , sono L.D
rg
=1 questa è
L’ EQUAZIONE IN FORMA DI RAPPORTI UGUALI! OSSERVAZIONE Le equazioni cartesiane cioè la retta come intersezione di piani non paralleli si possono ottenere dalle equazioni parametriche eliminando il parametro oppure dai rapporti uguali considerando due qualsiasi delle invarianze. DEF. PARAMETRI DIRETTORI sia r una retta, si dicono parametri direttori di r le componenti (l,m,n) di un qualsiasi vettore che dicesi anche vettore di direzione della retta e si indica con -PROPOSIZIONE sia r una retta di eq cartesiane
r:
posto A allora i
parametri direttori sono proporzionali alla terna (M 1 ,-M 2 ,M 3 ) dove il minore del secondo ordine che si estrae da A sopprimendo la j-esima colonna per j=1,2, DEF. PARALLELISMO E ORTOGONALITA’ TRA RETTA E PIANO assegnata una retta di parametri di vettori (l,m,n) ed un piano :ax+by+cz+d=0 si ha che : r al+bm+cn=0;
r // = = DEF. DISTANZE NELLO SPAZIO
1. (PUNTO PUNTO) A( )→d(A,B)=
2.(PUNTO PIANO)
d(P, con
e :ax+by+cz+d= 3.(PIANO PIANO) Ho un piano :ax+by+cz+d=0, ’:a’x+b’y+c’z+d’=0 se d(,’)=d(P,’) dove P∈r 4.(RETTA PIANO) Se r d(r,)=d(P,) dove P∈r 5.(PUNTO RETTA)
d(A,r)=
6.(RETTA RETTA) Se r,s sono rette con r s→d(r,s)=d(A,s) AЄr DEF. FASCIO PROPRIO DI PIANI sia r una retta si dice fascio di asse r l’insieme di tutti i piani di che passano per r
(asse del fascio). Se la retta r è assegnata in equazioni cartesiane r: allora una equazione per il fascio di pano di asse r è data considerando la combinazione lineare delle equazioni dei 2 piani, cioè il fascio di asse r è dato da ax+by+cz+d+k+(a’x+b’y+c’z+d’)= 0 kЄR. DEF. FASCIO DI PIANI IMPROPRIO assegnato un piano :ax+by+cz+d=0, il fascio di piani improprio definito dal piano è l’insieme di tutti i piani paralleli a ,la sua equazione è quindi ax+by+cz+k=0 kЄR DEF. RETTE SGHEMBE O COMPLANARI Due rette si dicono complanari se esiste un piano che le contiene, diversamente si dicono sghembe.
- PROPOSIZIONE siano :
sono complanari↔
altr se det≠0 sono sghembe. OSSERVAZIONE Un altro metodo per verificare se le rette r e s sono sghembe o complanari consiste nel considerare i vettori direzione delle due rette e poi il vettore dove PЄr e QЄs scelti a piacere (r e s sono 2 rette). r e s sono complanari se , sono complanari ovvero sono L.D. DEF. MINIMA DISTANZA Retta di minima distanza è la minima distanza tra rette sghembe. Se r e s sono due rette sghembe si prova che esiste una retta t, che si chiama “ RETTA DI MINIMA DISTANZA ” tra r e s che è perpendicolare ed incidente ad entrambe le rette. Se R e S sono i punti di intersezione la distanza d(R,S) si chiama minima distanza. La minima distanza tra 2 rette sghembe r e s si trova anche nel seguente mondo, cioè si calcola il piano che contiene r e parallelo ad s , si calcola come la distanza d( ,s)=. La retta di minima distanza tra r e s sghembe si trova nel seguente modo: 1 )Si calcola il piano contenente r e s 2 )si calcola il piano contenente r e 3 ) si
trova il piano contenente s e . Quindi
CONICHE
DEF. CONICA
Fissato un riferimento cartesiano nel piano, si chiama conica l’insieme di punti del piano le cui coordinate verificano una qualsiasi equazione di 2°grado. L’eq generale di una conica è :
date due eq. Lineari del tipo: ax+by+c=0, a’x+b’y+c’=0, l’equazione (ax+by+c)(a’x+b’y+c’)=0 di 2°grado rappresenta una conica i cui punti sono quelli di 2 rette che possono essere distinte, coincidenti, reali o complesse. Le coniche formate da rette si chiamano DEGENERI O RIDUCIBILI ,quelle che non contengono rette si dicono NON DEGENERI O IRRIDUCIBILI. CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE Scriviamo l’eq di una conica nel seguente modo
è possibile associare a questa conica una matrice
A =
dove :
se il det(A)=0 la conica è riducibile ( degenere ). Se il det(A) 0 la conica è irriducibile Detto si hanno i seguenti casi: allora la conica è formata da due rette complesse e coniugate non parallele e l’unico punto reale della conica è il loro punto di intersezione ( 2 =0 allora la conica è formata da 2 rette parallele(complesse e coniugate oppure reali oppure coincidenti)
allora la conica è formata da 2 rette reali non parallele. ( RIDUZIONE A FORMA CANONICA Assegnata la conica
1 )Se det(A)=0 avrò una conica degenere e le rette che compongono la conica si troveranno nel seguente modo: si risolve l’equazione della conica rispetto ad una delle due variabili nel modo conosciuto in cui si risolve l’eq di 2°grado. DEF. CONICA AL CENTRO/CON
CENTRO ALL’ sia una conica non degenere (det(A) ):
1. Det( (ellisse,iperbole) la conica si dice a CENTRO. 2. Det( =0 (parabola) si dice conica non a centro o con centro all’infinito. Se la conica è a centro la sua forma canonica sarà : dove sono gli autovalori della matrice mentre il coefficiente si trova osservando che: scritta la matrice A’ associata a :
A= Det(A’)=det(A)
=Det(A) → OSSERVAZIONE se la conica è un ellisse si sceglie convenzionalmente come autovalore quello più piccolo, se la conica è un iperbole si sceglie come autovalore quello negativo. POLARITA’ DEFINITA DA UNA CONICA NON DEGENERE ogni conica non degenere (det(A) definisce una bigezione che ad ogni punto P del piano cartesiano associa una retta detta retta polare di P, P si chiama polo della retta tale che Se:
e P( ;
(questa è la formula dello sdoppiamento) SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA RETTA POLARE TEOREMA : sia una conica irriducibile se un punto PЄalla conica allora la polare di P risulta tangente alla conica nello stesso punto P, inoltre se un punto P appartiene alla sua retta polare allora il punto P appartiene alla conica. TEOREMA : sia una conica irriducibile, se per un punto P passano due rette reali tangenti alla conica (in tal caso il punto si dice esterno alla conica) allora la polare di P risulta secante rispetto alla conica, inoltre le due rette congiungenti lo stesso punto P con i due punti reali in cui la polare interseca la conica sono le due rette tangenti alla conica.
