Statistica Economica: Introduzione alle Medie Mobili - Prof. Ricca, Appunti di Statica

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Analisi delle serie storiche

parte III Medie mobili

a.a. 2016 /201 7

Statistica Economica - Laurea in RelazioniEconomiche Internazionali 1

Metodo delle medie mobili

• Obiettivo: Stimare una componente della serie (tipicamente il ciclotrend (TC)) attraverso trasformazioni (“filtri”) lineari della serie, che hanno lo scopo di annullare l’effetto delle altre componenti;
• La “trasformazione” di una serie temporale Yt in un’altra, che possiamo denominare Zt, avviene mediante una operazione lineare del tipo:
• In questo caso si dice che la serie Zt è stata ottenuta da Yt mediante un filtro lineare con coefficienti ws. Le serie Yt e Zt vengono usualmente chiamate l’input e l’output del filtro. Il valore della nuova variabile al tempo t, Zt, è quindi funzione dei valori della serie originaria al tempo t, Yt, dei valori relativi a m 1 periodi precedenti a t, Yt-1, .., Yt-m1 , e dei valori relativi a m 2 periodi successivi , Yt-+1, .., Yt+m.

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Definizione di media mobile

Si può quindi definire media mobile di ordine (o

periodo) L una serie di medie aritmetiche (semplici

o ponderate) di sequenze consecutive di L valori

della serie temporale originaria.

Si noti che se la serie originaria YSi noti che se la serie originaria Ytt, con t=1, … T,, con t=1, … T,

comprende T osservazioni, nella media mobile

MMt, l’indice t può variare solo tra m 1 +1 e T-m 2.

Pertanto la media mobile ha un numero di

osservazioni minore rispetto alla serie originaria, di

cui si perdono le prime m 1 e le ultime m 2

osservazioni.

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Effetto delle medie mobili

L’effetto di una media mobile è quello di ridurre

la variabilità della serie, smorzandone i picchi ed

innalzandone le valli. La media mobile svolge

un’azione spianante, ossia rende più “liscia” la

serie originale (smoothing = lisciamento).serie originale (smoothing = lisciamento).

Maggiore è il numero dei termini su cui si calcola

la media mobile maggiore sarà l’effetto lisciante,

ma anche maggiore la perdita di osservazioni

rispetto alla serie originaria.

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Esempi di medie mobili

Media mobile semplice

Se m 1 = m 2 = m si ha una Media mobile centrata

• semplice
• ponderata

∑ = −

= +

2 1

1 m S m

t Yt s L

MM

∑ = −

=

m S m

t Yt s m

MM 2 1

1

• Si noti che nelle medie mobili centrate l’ordine della

media mobile è in genere dispari e il valore MMt si

riferisce all’istante centrale dell’intervallo su cui la media

mobile è calcolata, ossia al tempo t. Se invece l’ordine

fosse pari, il valore calcolato andrebbe a collocarsi “a

cavallo” di due periodi.

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Quindi, se L è dispari, la media mobile centrata

di ordine L è data da:

ad es. per L=3 (m=1), si ha:

−

=− −

( 1 )/ 2

( 1 )/ 2

L

i L

t Yt i

L

MM L

Se invece L è pari per ottenere una media

mobile centrata occorre applicare la cosiddetta

“composizione” di media mobili

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3 3

1 ( 3 )

1 1

1

1

− +

=−

= (^) ∑ =

t t t

i

t t i

Y Y Y MM Y

Immaginiamo allora di avere delle medie mobili

semplici di ordine L, con L pari. Consideriamo le due

medie mobili

e

 

  

 = (^) ∑ =− +

/ 2

/ 2 1

, 1

1 ( )

L

i L

t t Yt i L

MM L

 

  

 = (^) ∑

−

=−

− +

/ 2 1

/ 2

, 1

1 ( )

L

i L

t t Yt i L

MM L

Per ottenere una media mobile centrata occorre

applicare una media mobile a 2 termini alle due medie

mobili a L termini, ottenendo:

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L  i = − L / 2 + 1 

( )

−

=− +

/ 2 1

/ 2 1

( ) t L t L

L

i L

t Yt i Y Y

L

MMc L

Ad es. per L=4 possiamo definire due serie di

medie mobili semplici non centrate

e

Applicando alle due medie mobili una media

4

( 4 ) − 1 , −^2 −^1 +^1

t t = t t t t

Y Y Y Y MM

4

( 4 ), + 1 −^1 +^1 +^2

t t = t t t t

Y Y Y Y MM

Applicando alle due medie mobili una media

mobile a 2 termini (“centratura”) si ottiene la

media mobile centrata a 5 termini:

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( ) 4

0 , 5 0 , 5 0 , 5 4

1 ( 4 ) 2 2 2 1 1 2

1

1

− − + + − + =−

−

 = 

  

 = (^) ∑ + t + t t t t t t i

t t i

Y Y Y Y Y MMc Y Y Y

Stima del trend-ciclo

• Se la frequenza della serie originaria è trimestrale invece di

mensile, la stima dei valori attribuibili al trend-ciclo può

essere ottenuta calcolando medie mobili centrate di 5 termini:

con

( 5 ) ( ) , 3 ,..., 2

2

2

 =^ − 

  

 = = ∑ = −

MM TC Y + t T s

t^ α s t s



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 

 



= − +

= −

2 , 2 8

1

(^141) , 0 , 1

s

s α s

Applicazione in finanza (analisi tecnica)

• Le medie mobili trovano applicazione in finanza,

per ridurre al minimo le fluttuazioni dei prezzi dei titoli al fine di depurare le quotazioni dalle distorsioni derivanti dal nervosismo dei mercati, rendendo la tendenza più regolare e, quindi, di più chiara interpretazione.

• • L’utilizzo delle medie è estremamente semplice:L’utilizzo delle medie è estremamente semplice:

viene, infatti, generato un segnale di acquisto nel momento in cui i prezzi del titolo sfondano al rialzo la linea della media mobile; viene, viceversa, generato un segnale di vendita quando la linea della media viene perforata dall’alto verso il basso.

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Applicazione in finanza (analisi tecnica)

• La cosa importante da decidere è la "velocità" della media (il dominio L). Una media veloce (L basso) genererà molti segnali di intervento che aumentano le probabilità di errore, ma avrà il vantaggio della tempestività nell’interpretare ogni minima variazione di tendenza. Medie più lunghe danno meno falsi positivi/negativi ma hanno lo svantaggio di ritardare gli interventi. A parità di altri fattori il dominio della media mobile dovrebbe essere tanto più lungo quanto più è alta la volatilità dell’attività finanziaria analizzata, al fine di ridurre il numero di falsi segnali.
• In alternativa si possono utilizzare due medie semplici, una più "veloce" ed una più "lenta": quando la media più veloce taglia dal basso verso l’alto quella più lenta si ha un segnale di acquisto; quando, invece, la media più

una più "lenta": quando la media più veloce taglia dal basso verso l’alto quella più lenta si ha un segnale di acquisto; quando, invece, la media più veloce taglia dall’alto verso il basso quella più lenta si ha un segnale di vendita.

• In generale, le medie mobili funzionano bene quando la tendenza del mercato è chiaramente rialzista o ribassista. Non si possono invece utilizzare le medie mobili nelle altre fasi perché darebbero luogo a continui incroci fra di loro e con il grafico dei prezzi generando confusione e falsi segnali.

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4 Dic 2012: FTSEMIB.MI 16041,50 SMA(50) 15.568,05 SMA(100) 15.126,

© 2013 Yahoo! Inc.

13 mia

14 mia

15 mia

16 mia

17 mia

2012 Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic 2013 Feb Mar 1g 5g 1m YTD 3m 6m 1a 2a 5a Max DA: 9 Mar 2012 A: 8 Mar 2013 -1,67%

1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013

Livellamento esponenziale

Metodi di “smoothing”: sono metodi di previsione basati

su medie mobili (asimmetriche) in cui le osservazioni

utilizzate per la previsione vengono ponderate in modo

da attribuire una maggiore importanza a quelle più

recenti.

• ipotesi di partenza: il valore osservato della serie al

tempo t è formato da un valore di tendenza,

determinato dalla storia passata della serie (valoredeterminato dalla storia passata della serie (valore

perequato), e da una componente irregolare

puramente casuale.

• Il valore di tendenza (o valore perequato) segue una

logica di aggiornamento sequenziale secondo cui il

dato successivo è la risultante di un comportamento

generale (funzione del passato) e di un contributo

specifico fornito dalla nuova osservazione Yt.

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Livellamento esponenziale

Il valore perequato al tempo t è dato da:

ESt = WYt + (1-W)ESt-

ES 1 = Y 1

Valori bassi di W hanno un maggior potere di

“lisciamento”, valori alti di W attribuiscono maggior peso

ai movimenti più recenti della serie. In genere W è

compreso tra 0,7 e 0,95.

Per sostituzioni successive, si dimostra che il valore ESt è

una media mobile ponderata di tutte le osservazioni

precedenti della serie originaria Yt.

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