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Made with Goodnotes STATISTICA la Stonata e uu disugina die Studia in Amm QUANRIRINI + feromeni CQLETVI (ERA das Sudo rdned R'osguazone di un inseme di manifestazioni. individuali fossero ande esere Quardanvi (es. cole cin, cop) ISTATISTICA | DESCANMTIVA (ro DELLA | PROBABILITA STATISTICA | INFERENZIALE Esistono 2 BRANCHE dla Stahshea: + DESCATIVA = dessavere un cMettivo di doh INFERENZALE » passare dal campione dia prfolazone { ganenaliziazione ) STATISTICA DESCRITTIVA» = dbscivere | Lun coMettup di UNITA' STATISMGE ( 1.) sono | uno can sgeito di osenasore (es. & ugo anatre Je cocalte;shdie du cher di un aos do i è A numer = i: 4..,N 1 sogoli dies 550 Xe soit siohshdre) L> Essstano 2 4 di soda Statistiche : © SENOLIU = ragpreatano un sapoto elemento — les una persona) (esi una domgia] © COMPOSTE = roggresentono Qui element: L'aseme di può mata siate si dvama ue o Rinazote (n) L> fostono essere: FudiTi = sono Costriuti da un vumero goto di gatto stahshhe —> sono conceeti 2 INENT « (es. ta pastone, Xe amerò eu.) sO Copri da un numer infinio di unta stafishle —> s0n0 ‘goletu (es. fe que, gli egpermenti ec) Le conattectiche cel Refivo die smo studiate sovo camote CARATTERI / vaRiAGiL (es. eta | s£550, (250, titolo & studo ecc.) L> Ne FODALT® dA coraitere smo fe comiteasicie asunie da com anpla unta Sansa (es. 3% pm [42 pri; masino / fenmna, 43 19 (#% ip, tnuea /dglona, ecc.) Queste modalita! dimo esere: ESAUSTIVE = gini sunito* statista die essere in grado di coMocam in uno matita (es. ‘masiuo"/ "femmina" latto') NON. SOUROGROSTE = od pa: unta Sistina si die ascuae una seta modatita* (es. 0 ‘masiuo” o femmina o “att ) 124 corsie / ta, saba fesso. ese di 2 hp: 3 L "=1+2+3=0 DO di = 4 + 2 +... + n sa Da LER.Z mnda' fer unto, ne? coMeio in esame [UN TA] caRameRe es.lusm] sesso | Mb | OX | fer i corale quarta d|r è uno dsfribuaone andara semplice 3) to) nt l 12 (e) 6 40) x Aa 1 nda munite genero fenho contiene sun 800 comtter : sesto ul xy 3| F quando consideriamo Qui comtter ETA: | STATURA 6 4168 ferdhé contiene 3 camifori: Sesso, Sul 166 ETA*, STATURA [esso m|22| 493 | è uva distribuzione unttana trota È € Pec cappresentare | dti sinfencamente, ocore conse la faquenta con cu le duerse modalta* si presentano vl coMettio. L> FREQUENZA: vumero di uelte © che una certa wodalta® si presenta nel coMettivo PAR ATA quando la Pequeno è sun numero intero ran vepoetivo 4 frequenza aeuartiva (1); sane ® diudo Sa ffequenta assedio gr 9 cumo® tenfe de unta' stebehchie (N) G FREQUENTA aecativa PegceNtUAE (n) : Si othono ie mottig&co xA00 So frequente. elalve Il IV Quindi, per ca@resentare snfehcamente 1 dati & ua Aa DISTIUBUBONE DI FREQUENZE : ad gn modalita* di uno vacable si fo cartine la aspetti fequena (ascida 0 rlatva). Ande questa distibusone quo' ese SENPUICE (Si (feiso mA coraltere) o MULTIPLA (& Gi (fesso a Qu: caatten) PASTRIGUARLONE | Di FREQUENZE ASSOLUTE presa | TP esempio di una distribute di frequento sempite perni connene un st corattee x MA Ma © DI = quoltota di penemle e veli Ve attimo modalita distinta N y : i n ht... +h0+...+ nk= )_ n= N (CETHANI Sommardo tuite Re fequenie sofa, s ottiene sl numeo dMe pese Mi > "i; uieut Goodnotes dl cMettino (4) DISTRIGUALONE! DI | FREQUENTE RELATIVE crernEne [RIA “P esemgo di uno distribusione di faquense semplice ferdhé conmene un sf comtie@ x x Fevala x grin si | farvi 4 K somecndo tuite Je Fquento aiotve, s otere 4 + fit. + fit. +fa= DL fie1 D) dl AISTRIGUONI DI FREQUENZE PERCENTUALI coeosreRe l'ifesone| |P esemgo di uno dtrbuscne di fusuerto senplte. Quiché comnene sin sd coroti® x xi | pagato *i gi*gi 400 Era Qu n) Mi A00. Ù) 400 y x Sommando tutte e frequenze percentuali, s oiiene 40 PU4 + pit... +04 = YI pi= 400 06 pi 6400 da TESS MINI ee See Ie n la) 18 L) 0,02 5 i 958 est î 5 906 E 8 008 5 Ei dio BH H ba E) fi 915 x si du Di î DA 2 1 0,08 5 5 901 H i Fal Tone 36 100 (quando de werkQfer & cagpaigpano in @0SI): SI assona A uosuno classe fa csgetiva frequenta. lo close geneita sì india Gn c.c (us va da cia ci) È, Ss dsigfuno 2 (os: 4 CLASSE ARERTA A PESTRA E CHuuSA A SINISTRA. CLASSE APERTA A SINISTRA E CHIUSA A DESTRA di-aHC ci-44|c A volte 0 sono cinsu esmene aeeare (c;.,- ci) e cass esente cuuse (c;-4l-lc;) de vectuaino entrami 1 valor e$. 20 Studenti hamo sullo un test in temp. deck: 22,48, 35, 42, 25, 33,28, dA, 29, 24, 19,24, 36, 44,30, 33, 38, 22,26, 20 ssi [FREQUENZA f0r20| z NAMa 49 Gase: 48-49 0k+3%| 9 2° uasE: 20-22-2-U-25-UW-21-28-28 torso | _* 3° waste: 30-34-33-35- 36-38-39 Iodribtesl 4? WASIE: 24-42 20 (e2.3 GLI INDICATORI PI LUNA DiSTRIATZONE Ml FreGverta * INDICE DI POSIKONE: mita della suo centralità» complessa * INDICE DI NARIAGILITA®: mutevofeza de dati, coè R'atttudine dMa vorabile nd assumere duirie madalita* * INDICE DI Formia: aspetto complesso della distrbusone di Frequenza aspetto a confipumbon standard A +). Ln Gode o L> MEDIA ARITMETICA DI UNA SERIE DI VALORI : Somma delle modagita* della varable x diva fer iL numem n delle unta Stahsne ” PE ATE I 4 p es +X aL* es. Devo calcolare la meda di uk: 643,9, Qu i det foro 4, quad nd 3,9, peititta 236 L> MEDA MATRENCA DI FAEO. ASSOLUTA : uasuna modalita vene mekgicata per Ra ma frequenta assoluta (n) e gor diva per As sanm Me frase (N) fer Bsst Va iz I i i > xii MA+NZ E... +NK i es. eseruto di fima : pis di t2-6+3.4 +43. L4A2+42442 - 40° L+6+4+3 to] to) lo stesso Arredimento vale anhe per coltafare la rieoA Di ua Fico, ALAmA: modattta + fra ctato (3) L> MEDIA ARTENA DI Una CASE: caloto A valse centrale della classe, fo casun vate cime (K;) vene melheicato fer la Feqasclita (n) e go durto fr la somma dle fequente asili aisolame i es. { Classi di Frequenze | Valori centrali | Prodotti dei valori centrali * [ modalità assolute | della classe | per le frequenze assolute OF - 360 5 30 150 336M Pi pi o 350 |i= 5-30.+ 218042664504 ...4+22-8M - 336M2 . 284,993 120- 4 180 255 150 38250 MIL 4497 180- +30 571 240 137040 300— 4600 312 450 140400 600- - 1022 2 81 17842 | Fotali 1192 == 336112] FROAUE TA BELLA] riedia “la meda è fempe compresa tm sì minimo e ® massimo de voloi * La somma dipl sorh della meda (xi-p) è sempe por a 0; fer questo da meda è chamatm GAAKE GonT (seijica rl'ssquente) “se pa è Na media di x, fa media di (ax+b) è upuate a (STRO) "lo weda pi € R'unco vale C che rende rimma La somma depli scoch of quadrato Li (xi-0)? (cà, a, cia è qui vb c arTo= diferemotos \ fumo A qui quelo pube CATTIVA INTERARETAADNE DELLA MEDIA. fotrebice esseru uno Teeza vamagie (vague cortonnette”) , che con vene studiato e che porta ad una coltiva interpreta ione dela meda CORORI 8 Gio di commettere emer vell'integretnione dec dati se ner dah sono gesai VALORI ERRAM o VALOLUI. Anorau *NALORI EQRATI 50 doh emoh fauOmente Idiiduolbli che, $ possono cotegpee TNALORI Anti (UMANA): n vate die è 0 reg prrnde 0 doppo queto GIO SL n I 30 gol fidata mha 4a | sihbfa_ RIE, a 4 Sasa. nifluensare dapli ourdAVERS RIMEDI ALA SCARSA ROBUSTERA PELLA rEDA: 1 MEDIA. Talrirten/ MONCATA: defpo detta eda A 2,9% du valor gu grand e l 2,5% de valor pu pel 2 MEDA SECONDO Vinisor: sostriuso 0 5% ca valori pu quell (i gin 2 (nd det valore) e L 5% di valor qui grande (sei silk 2 con 8 terultimo) ESERURO Xi=48+28 ; 30+39; 40+48, 50+59; GO4G0 2 L 2 DI z pf Z3lia fim «BO Mpidut GE: +65. 10 Pi 105388 443 Mt «246: 4b Sup) Mu 4, 460153 + 3999 2 44,8 Nerfico Aa 79 MORIIETA DELLA renia: gli sach di meda in uno distributore 1 dass 8 cotolono facendo (ri-p) enfuamo si (F;-pe) Zik-pf)=0 (236-442) +(34-44,2) +(4,5-44,2) 4 (545-442) +(64,5 - 04,9) -(-20,%) +(-40,2) + 0,3 +40,3+20,3= = 30,8 -30,8=0 Made with GAodnotes MEDIANA (1): wodotito* di una. vorable x dee bpartise A distribusone cda delle modali: Ky£Xa)£ £Xm Quindi, è defermnata in mad che meta* delle Y osRrIAZONI KA infero Ma mediana e metn° sa superare nd essa Si quo idirnficare ape, anche per Ae vanabli qualiahe (avi ocinali ) la wediana e fa iodato” dre S iva al centro le voiabl dumo essere impe ordinate (chi uaibie qui gusto x) SR valore Qu grand x(.)):£ ron saw crimate, le deio prima adinare LI MEDIANA DI VARIABIU DISCRETE 7 rpando n è par, fa MEDIANA e la modalità” dre conisponde aio semtonma deu 2 vali centml * quando n € dispari, La MEDIANA è La wodaliita* cre carisponde dl vole centrale pura z sm è dispan => mel cato da depai è n+d ferhé von & (uo dvdere (er 2 sun numero dispari n) (0 2)+"(4+4) È sli 1 = w_è [gar 25. Una variable x in una peotaone di 24 unta’ statishoe gresenta ‘ gpuenti valori, fio crima 4,2,2,2,2,3,4,06,6,%,%,%,8,8,3,9,9,40,41,44,45 Essendo le modalta* im numero dispari, Ao mediana sora’ Ao modalita» coMccatm «A pot gi i + IM È RM folto. Om ILA gesto vi è la wedolito® % => 1le=" L3 MEDIANA DI UNA DISTRIGUBONE PI FREQUENZA: bisspna cottlaa fempe in bafe fe È fan O dispat; fo bisogna guordie fe FaequeNze ASSOLUTE. duntulaTe ger vedere in Quale Gra cu (N) È cotenda Pec cfertarta, pen, dibamo sive La casse corsgondente . NÉ se colkoland la mediana, fro uu valore che non è induso ndla distributone ,sprfica che ho sbapiato qualcosa (ESE). se suiodì sesamo basa spuotarto e l'amore È cnadirato meno frave ferthé si È conapanli dil'ere, ma nn cè demgo fer comgerto PROPRIETA' BELLA] MEDIANA € cesstente aN'eentuole Grenta di valor estrem ne dot (ourcaveRs) DIFEM DELA] MEDANA Esend da wediana inffuentata solo di vali cent, nin studia tuti 1 vali de ci intersiono = fa reca è gu calistca m plum com (es. wn) eseguo cn [n Parsi Le waklia sro diga =? xfx) (824) x(£)-@ 400-146 | 45 45 ved in dhe frequenta. cumulata si rosa A%-124| 28 | 43 € feto rfermento ila GAS comspendente : l-1260) 9 | 52 GU $ troia gia classe AM[-I24 1-32] a pot clean va ie AMI-(24 " eserÙBo |(c Gira) | | | I I | I I | | I | Rigartendo dai dot: di grma, calolo fo rieniana Tnnonetulto sto le fequente psifite cumutate » [Ro X(8) +* (at) 1 | CENSTA ASSCLOTE. Mert= L È fai (hi) ortuseme 2 Lai Bani Li e [Me 3,8[45 | 36 xe] + (2041 144 "13 [Hoc ME _ - 100.+/008 (00,35) 8,88] 400 | 494 DOLIPA cod vela classe 40-43 , M2| 200] 299 Quodk rier'= cis 40-48 Mec x (104) = Gerdhé n è dispari È = 280 UE cade néla clasie 40-49, quod Tief» diese 40-49 Ricapitolando... » Inbase alle definizioni precedenti, non tutti gli indici di posizione sono sempre calcolabili. » La natura della variabile in esame determina anche la possibilità di calcolo di un dice di posizione come indicato nella tabella Natura della variabile | Indicatori di posizione calcolabili @Qualitativa nominale | Moda @ualitativa ordinale | Moda, Mediana Quantitativa Moda, Mediana, Media Made with GOodnotes * VARIABIUT' RisPediO A UN VALORE di ®smone l> & & gens n Gfermento a {1 . chibamo sinienazate lo differente tro do sople modolta x; csgeito @ i ce le quantita: s4-lfi, cana Ea LIE Dna che So scorh dallo media la meda du quadrati di tali Scach % drama VARIANIA es radica con 0° ligma al quadkato") * & atfoamo Je sepolte modelo: 0°- (up (rap) bench 4 > (xp) v 134 1 Se atbiomo una disibusone di frequente, La fimula è: 0%: (mu -h)° 0 + (xe - 5) ve +. AH xh) 4 È (xi-fa)? vi n DM, ù tutte dite deg à 1 Aaldoamo Re class, do fomulo è: o: (RM) rela Hf et + (Fonni 4 È (xi-p)" vi n Moi PRORUETA* IARIAN: * la vafanta è senfio sun numer wagfioe 0 uguate a 0 (non puo' essere repoiuo) * lo vasanta è 0 e tolo & 28 vasale x È uno coste, uè osiume in tute le sita» statiche lo stesso valere, fa Aol) caso, Ma varcle x & dUmama. PEGENERE ‘È ANA Varioble x $ appunpe una costa finfa C, la sua varania non cambia ‘Se Na vafable x & wehpica per una costruite finta b, fa tuo vaiania viene w@hplcata per b* ERoID DI Moti Poriu SULLA VAZIANEA Artie fa varanta © ifuentata de valor AOTAU, può dista meda » Riprendendo la situazione giò ilustrata in precedenza con riferimento alla media. cioè le due situazioni assai simil E - (2348) 33 è È - (123450) ner2 » 1cclcolini due co ono seguent SR LI A 2719 AIA =Bln-9R+ 94-46-99] 2 Filarete rate rate 6010 » La presenza del “valore anomalo” 50ha fatto crescere la varianza dioltre 180 volte. ESTREMI DELA NARIANZA = Aa verano rn puo sperare fa Quantita Vor max ) die % colta: VAC max (MAX motu) ‘0 groerate \ o : Vama ne sl sa)) 1 Ta dstibutone 6 sunmodate Questo 6 utile quando um & fossece luna infbrmozme sula variable Xx, fe non 1 sua estremi » Per esempio, se sì conosce che la variabile altezza X è unimodale e può assumere valori compresi nell'intervallo (140, 200). allora: Mode wi Goodnéttes= (19379) - «0 per cui sarò, comunque: 0 < #2 < 400, b> (a vaionta, esend a? quadato , è Sffiule da interpetaie. fer cu, fa trifomamo vello SAETO OUapaATtO reno (0) (inamato are DenndoNE staNDARD ; DS) x. 43 (xi- 0 (fab af lc [at fc 8 cioma cose all'una” di wmtuta cipiratia liì È espresso nda stesa unto di mista dita voiabde x) He vi Quando aliamo Le class doliamo mettere, SL godo di Vada, 1 vale Centra: SC L> eradeNtE Di sisi (IP cu 9 AE (xi- 5 £( z.( Ti detti ch CU, va rgpnalato 2 fitto che dale dice ha fpaficato solo e p>o e de tere 2 duentare ifintameate prand se uso. CARAMERISTICHÉ DEL COEFRUENTE | DI NAVnRONE “Lt coSficente di varsàane È Indipendente dell'unta' di mifura, Ud è un vumero Puro. "I CI è use fer confortare fa vorablito elshua di un fercmeno in Gttostante diferent (es. vorablto dillo dsibutone per ch’ dra fe voce copioni, fo varablta* del-qeso spetto SI gere ecc) *L'indie è pnl utile per cogfontore le votazioni quanto | An medi di fermento smo molto difienh tra 00 in alte gare, è utile cer confforinre to uasabilim di fenomeni Con diverse uniia' di miisa, mo nie di fenomeni con lo sieita sin di mira , ma cn ano di prandiza dierso (es $ uglio crforime id (650 di una obma dee la aggna parto © 10 geo d un veseto gna cato: rerosttote u io Aa Strso unt’ di mura, se uno dimo paia G4 0 65 bp, von comba nente; i un bambiro fesa 25 0 354, camba tulto. Questo è A apafictio di cone di grareria duaso) > SCOSTAMENTO senpuce rtesio (sind) pr scarh consicbrsti n vato assoluto (co senta sro) NQ= vita e) hO 4-2 Jxi-pl seo » Riprendendo l'esempio sulle 20 aziende per le quali la variabile discreta X = “Numero di addetti” ha presentato le seguenti modalità: (38, 40, 45, 42, 42, 39, 41,43, 42,41, 46, 40, 42, 41,42, 42,40, 41,42, 42} e ricordando che la media aritmetica è u = 41.55, l'indice MAD si calcola nel modo seguente: Là 1_ 259 MAD(X) PA 38-41.55| + |40-41.55]+ + |42-41.55 20 >» L'interpretazione dell'indice MAD (che è espresso nella stessa unità di misura della variabile X) è la seguente: tra le 20 aziende, vi è un numero di addetti che si discostano mediamente dalla media aritmetica di circa 1.3 unità. Made with Goodnotes DIAGRATTI VARIARIU QUALITATIVE CONNESSE RESDEAZA [eguenze NAMU 80 ROVINGA DI NAMU 65 ema Aounua catena | 46 lama Regione rruana | 45 ALTRO ko) TOT 200 VPRIABIU — QUALITATIVE. QRANATE [Giunio esare 3° reoia — [AgEGvene SUFFIUENTE do DISCRETO 46 voto Lio) Ostitto Ko) offro 20 TOT 200 (non | sono [ordangte) 8 è E 8$ B8S® (sno | rihate ] - > SUE. DIS. UO DISr omino AsmIBUZONE NOAIALE : chi & rosa nel mezo (nella media) Gi SINO fa 2 gruppi: uno £ fra pui deto dAda meda e sun CATO Quì avanti dita meda NisuGuiconi DI FREQUENZA (ER cass Made with Goodnotes “sto n (DENSTA* DI cre in Gase crequenta | ER ISTOGRAFINA DI FREQUENZA A8H28 45 4A IRA 20439 34 3% bah YoH 49 u 2,3 d: foH4S3 st | 03 hi Colaio) 43 8,6 i / DL 200 ci 4 > 29 39 48 69 6° (oss SINDIU DI FORMA. lo fermo di una distrbuaone difendo da: TASIIETRIA: R'aspetto dele code GSpetto aòMa pate centrale di uno distrbusme TWRTOSI: A feso diMe cab cipelto oa porte centrale di una distrbusme Di SFERA: feto di chstta. comfleiamente souagonile su quelo di sinistra, di dall'asse di &mmettio Li abrinierzia costi: s rotta di una detrbuime di fer che aitarda vero valoi AU, où uo difirbutone che Wa gui voor (con) Nerso © destra La pbririernio necamin: & trotto di smo dtributne di fra. dhe $ altara verso valo bassi, uo uva distributore che Wa gui ushet (ca) verso sinistra J ALTA WRTO& |, 7 I \_ cÙ GASSA URTO INDICE DI A&AAETRIA: As pe o Esso impfica he: ‘una distrbusme smmettica ovo A=0 “auno dietibuaone con sasmmetio fostiva outa* A >O tina distributore con asmmetta vegotva scura A
fpssamo QUE VMRABIU. DOME Quanbiohve, Qualitohte o mate (euri n) L'ARETINO deMo Studio è copre se esse una Acsatone tm le 2 variab@ È Ne comprenh dina vanable diga (x,Y) sono Piante AUaimtatUE, for muore 2 dgome dra Xe Y s sitio N COERAGIENTE DI conreLABONE Lunenre: misum 0 Nepame Lineare > Gna Gima indicate sull'etitenia di questo fspame Sneace fa dinamo osservando Lo SCAMERALOT ca 8 prafico caresaro die verno cortote Le n copie di voli (x;,Y;) cetotuo so 2 varabl Come si può notare la nuvola dei punti indica che al crescere di X cresce anche laY, questo ci suggerisce che c'è un legame tra le due variabili e questo legame è lincare poiché la nuvola dei punti può essere ben approssimata dalla retta in blu cioè da una relazione del tipo y= ax+b (equazione di un a retta) Daf cemioora _ do COMIT iano ava congrsipe_.S_Mpp_ di porn: y N contescabre Monia (o paese) corrELaZoNE NEGATIVA (o mversa) CORREAZONE NULA eat FORIUIA DEL COEFRIUENTE DI CORRELARONE LincARe: col) AE (xi te) (vi- pe). Oy OxOy Soy MW numeratore dif coeffiuente di conetosone Lineare prendo 12 nome di COVARIANIA ,ed esprime come variano mgenme, Xe Y in relazone e ripeti medie: Cv Di Ya 4 £ (x-pl(vi- pay] IR spio dell'intet cocente di comeiazone difende prpio dillo CCUARIANZA Qaihé RL dinomuotore dl cofiuente è ame qosdtivo: with Goodnotes Ka scostamenti quifiy (x:-piu) di x corispondino presolentemente scoimment postivi (Yi- piy) È Y - e uceria & 0 scostamenti _pepativi (xi-pua) di x corrispondono | prevalentemente Sottamenn negativi (Yi- fiv) di Y -, atta Le votab@ X e Y vaiano na stessa diezone: dl posi dl sa è bio. *£ Ka scostamenti oosfiv (xi px) di x corrispondono grecalentevente. scottamenh negativa (Yi fly) di YO - e versa & a scostamenti nepati (xi-puy)di x coriipondino pesalentemente scottamenn pedi (Yi- Hiv) di Y =, Mico de vocabl Xe Yo vanano in direte opposta: posiio dl set © sesamo PROPRIETA] PUNK DEL COEFFIUIENTE | DI (CORRECARONE — luneage “E smmetico Cor (x,)= Cor (xv) ‘(Leda tra ua verohte e s stesa è paia A 3 Cor (x,x)=A "€ raduso veL'iteriallo (4,41 => 4660 (x) 44 “In sen di Repame è gala 0 => Gel): INTERARETAZONE | DELI GOEFFIUENTE | DI (ORRELARONE IUNEARE L> SEGNO indica fa DRESONE dL lepame SEGiO Remo = clezione diretta / gestiva SEGNO NEGATIVO => relosore nuerta / nepativa La not indica. La foaza dQ Igpome Aut vole È vuo a +4, pu' 2 lepame è frte in sento Miri Pit 9 valore è vuro a -4, Qui 2 fepame è firte in sento NEGATO L> Quantato DI com DINI. ragrezzata suna wisita dSlOERENA dela usci du guai Ma retta ‘ciato che fa. cifradeza [PARISI Qu Paderno è forte, qui 2 lpome è fate. ( coeQuente di cametazione insorte esprime ande grado di PREVECISUTA' di una varclale V ‘nante suna vasable X. tndtre, mognore è 2 udire di (cor(xy)]*, mago sam Ia capaota* di x di gede Y. Graficamente, mappe è N'adrenta di guah ito retta, magpicre Sage questa prevedibtio!. Made with GOodnotes 
