Scarica Limiti: Definizioni e Teoremi e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity!
LIMITI
4 DEFINIZIONI
Definizione lim 𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = 𝑙 lim
𝑥→𝑥 0
▪ 𝑥 = 𝑥 0 è asintoto
verticale della
funzione
lim
𝑥→∓∞
▪ 𝑦 = 𝑙 è asintoto
orizzontale della
funzione
lim
𝑥→∓∞
▪ non si ha un asintoto
orizzontale, ma si
può averne uno
obliquo
Caso generale lim 𝑥→𝑥 0
𝜀 > 0 preso piccolo a
piacere
𝑙 − 𝜀 < 𝑓(𝑥)^ < 𝑙 + 𝜀
lim 𝑥→𝑥 0
lim 𝑥→∓∞
𝜀 > 0 preso piccolo a
piacere
𝑙 − 𝜀 < 𝑓(𝑥)^ < 𝑙 + 𝜀
lim 𝑥→∓∞
Sotto caso 1 lim 𝑥→𝑥 0 ∓^
0 ∓
𝜀 > 0 preso piccolo a
piacere
lim 𝑥→𝑥 0 ∓^
0 ∓
𝑓(𝑥)^ < −𝑀
lim 𝑥→∓∞
𝜀 > 0 preso piccolo a
piacere
𝑙 − 𝜀 < 𝑓(𝑥)^ < 𝑙
lim 𝑥→∓∞
Sotto caso 2 lim 𝑥→𝑥 0 ∓^
0 ∓
𝜀 > 0 preso piccolo a
piacere
lim 𝑥→𝑥 0 ∓^
0 ∓
lim 𝑥→∓∞
𝜀 > 0 preso piccolo a
piacere
𝑙 < 𝑓(𝑥)^ < 𝑙 + 𝜀
lim 𝑥→∓∞
TEOREMI
unicità del^ Teorema di limite Se 𝑓(𝑥) ammette un limite per 𝑥 → 𝑥 0 (con 𝑥 ∈ ℝ∗) allora questo limite è unico. Teorema del
confronto Siano 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) tre funzioni tale che esiste un intorno 𝐼
𝑥 0 di^ 𝑥 0 ∈^ ℝ
∗ (^) per ogni 𝑥 del
quale (eccetto al più di 𝑥 0 ) tutte e tre le funzioni sono definite e risulta: 𝑔(𝑥)^ ≤ 𝑓(𝑥)^ ≤ ℎ(𝑥).
Se lim
𝑥→𝑥 0 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑥 0 ℎ(𝑥) = 𝑙, con 𝑙 ∈ ℝ, allora esiste anche lim 𝑥→𝑥 0
Teorema della
del segno^ permanenza^ Se per^ 𝑥^ →^ 𝑥
0 , con^ 𝑥 0 ∈^ ℝ
∗, la funzione 𝑓(𝑥) ammette un limite finito 𝑙, positivo/negativo, allora esiste un intorno di 𝑥 0 (𝐼𝑥 0 ) per ogni 𝑥 del quale, eccetto al più 𝑥 0 , 𝑓(𝑥) è positiva/negativa. lim 𝑥→𝑥 0
𝑙 > 0 → 𝑓(𝑥)^ > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑥 0
𝑙 < 0 → 𝑓(𝑥)^ < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑥 0
ALGEBRA DEI LIMITI
Definizioni lim 𝑥→𝑥 0
lim 𝑥→𝑥 0
𝑔(𝑥)^ = 𝑙 2
Somma algebrica (^) 𝑥lim→𝑥 0
(𝑓(𝑥)^ ± 𝑔(𝑥)) = 𝑙 1 ± 𝑙 2
Prodotto/Quoziente lim 𝑥→𝑥 0
(𝑓(𝑥)^ ⋅ 𝑔(𝑥)) = 𝑙 1 ⋅ 𝑙 2
lim 𝑥→𝑥 0
lim 𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑙 1 𝑙 2 (se 𝑙 2 ≠ 0 ) Elevamento a potenza lim 𝑥→𝑥 0
[𝑓(𝑥)]𝑛^ = 𝑙 1 𝑛^ (∀𝑛 𝜖 ℕ − { 0 })
lim 𝑥→𝑥 0 1 𝑓(𝑥)
1 𝑙 1 (se 𝑙 1 ≠ 0 ) LIMITI NOTEVOLI Limiti notevoli di funzioni goniometriche lim 𝑥→𝑥 0
sin 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)^
lim 𝑥→𝑥 0
1 − cos 𝑓(𝑥)
lim 𝑥→𝑥 0
1 − cos 𝑓(𝑥)
𝑓^2 (𝑥)^
Limiti notevoli di tipo esponenziale e logaritmico lim 𝑥→±∞
𝑥 = 𝑒 → lim 𝑥→±∞
𝑥 = 𝑒𝑘 lim 𝑥→±∞
1 𝑥 (^) = 𝑒 → lim 𝑥→±∞
1 𝑥 (^) = 𝑒𝑘 lim 𝑥→ 0
ln ( 1 + 𝑓(𝑥))
lim 𝑥→ 0
loga( 1 + 𝑓(𝑥))
ln 𝑎 lim 𝑥→ 0
𝑒𝑓(𝑥)^ − 1
lim 𝑥→ 0
𝑎𝑓(𝑥)^ − 1
= ln 𝑎
