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1. Calcolo Differenziale per funzioni di una variabile
1.1 Definizione di Derivata e prime propriet`a
Definizione 1.1 Sia f :]a, b[→ R, x 0 ∈]a, b[. Allora esiste δ > 0 : x 0 + h ∈]a, b[, ∀ 0 < |h| < δ. Se esiste finito il
lim h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
≡ f ′(x 0 )
diciamo che la funzione f e derivabilenel punto x 0 ed il valore del limite si chiama derivata della funzione f nel punto x 0. Da semplici considerazioni geometriche si ottiene subito il fatto che la derivata di una funzione f in un punto x 0e il coefficiente angolare della retta tangente al grafice della funzione f nel punto di coordinate (x 0 , f (x 0 )). L’equazione della retta tangente `e quindi y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ).
Dire che la funzione `e derivabile nel punto x 0 equivale a dire che
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + hf ′(x 0 ) + o(h), h → 0.
ovvero, f (x) = f (x 0 ) + (x − x 0 )f ′(x 0 ) + o(x − x 0 ), x → x 0.
Nel caso in cui il rapporto incrementale ha un salto nel punto x 0 diciamo che la funzione presenta un punto angoloso in x 0. Se invece i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti al tendere di x ad x 0 allora diciamo che f ha una cuspide nel punto x 0.
Esempio 1.1 f : R → R, definita mediante la legge f (x) = k, ∀x ∈ R `e derivabile in tutti i punti di R e risulta f ′(x) = 0 ∀x ∈ R.
Esempio 1.2 f : R → R, definita mediante la legge f (x) = xn, ∀x ∈ R con n ∈ N `e derivabile in tutti i punti di R e risulta f ′(x) = nxn−^1 ∀x ∈ R. Infatti,
f (x 0 + h) − f (x 0 ) =
∑^ n
k=
( (^) n k
xn 0 −khk^ − x 0 =
∑^ n
k=
( (^) n k
xn 0 −khk
e quindi
lim h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
= lim h→ 0
∑^ n
k=
( (^) n
k
xn 0 −khk^ = nxn 0 −^1.
Esempio 1.3 f :]0, +∞[→ R, definita mediante la legge f (x) = xα, ∀x ∈ R con α > 0 `e derivabile in tutti i punti di ]0, +∞[ e risulta f ′(x) = αxα−^1 ∀x ∈]0, +∞[.
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Infatti,
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
(x 0 + h)α^ − xα 0 h
= xα 0
1 + (^) xh 0
)α − 1 h
= xα 0 −^1
1 + (^) xh 0
)α − 1 h x 0
→ αxα 0 −^1.
Esempio 1.4 f : R → R, definita mediante la legge f (x) = ax, ∀x ∈ R con a > 0 , a 6 = 1 `e derivabile in tutti i punti di R e risulta f ′(x) = ax^ log a ∀x ∈ R.
Infatti, f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
ax^0 +h^ − ax^0 h
= ax^0
ah^ − 1 h
→ ax^0 log a.
Esempio 1.5 f :]0, +∞[→ R, definita mediante la legge f (x) = loga x, ∀x ∈]0, +∞[ con a > 0 , a 6 = 1 `e derivabile in tutti i punti di ]0, +∞[ e risulta f ′(x) = (^) x log^1 a ∀x ∈]0, +∞[.
Infatti, f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
loga(x 0 + h) − loga x 0 h
x 0
loga(x 0 + h) − loga x 0 h
x 0 log a
Esempio 1.6 f : R → R, definita mediante la legge f (x) = sen x, ∀x ∈ R `e derivabile in tutti i punti di R e risulta f ′(x) = cos x ∀x ∈ R.
Infatti, f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
sen(x 0 + h) − sen x 0 h
sen x 0 cos h + cos x 0 sen h − sen x 0 h
= − sen x 0
1 − cos h h
sen h h
→ cos x 0.
Esempio 1.7 f : R → R, definita mediante la legge f (x) = cos x, ∀x ∈ R `e derivabile in tutti i punti di R e risulta f ′(x) = − sen x ∀x ∈ R.
Infatti, f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
cos(x 0 + h) − cos x 0 h
cos x 0 cos h − sen x 0 sen h − cos x 0 h = − cos x 0
1 − cos h h
− sen x 0
sen h h
→ − sen x 0.
Teorema 1.1 Sia f :]a, b[→ R, sia x 0 ∈]a, b[ e sia f derivabile nel punto x 0. Allora f `e continua in x 0.
Dim. Infatti,
f (x) − f (x 0 ) =
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
(x − x 0 ) → f ′(x 0 ) · 0 = 0.
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f (x) =
(x − 1)^3 exp
sen
x − 1
, x 6 = 1;
0 , x = 1.
f (x) =
sen x sen
x
, x 6 = 0;
0 , x = 0.
Teorema 2.3 Sia f :]a, b[→ R una funzione continua ed iniettiva che risulti anche derivabile in un punto x 0 ∈]a, b[. Supponiamo inoltre che f ′(x 0 ) 6 = 0. Allora la funzione f −^1 risulta derivabile in f (x 0 ) e risulta (^) ( d dx
f −^1
(f (x 0 )) =
f ′(x 0 )
Esempio 2.1 Derivata di arcsen x, arccos x, arctang x.
1.3 Il differenziale.
Definizione 3.1 Sia f :]a, b[→ R una funzione derivabile in un punto x 0 ∈]a, b[. Dalla definizione di derivata si ha immediatamente che esiste A ∈ R :
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + Ah + o(h), h → 0.
La funzione lineare ϕ : R → R definita mediante la legge ϕ(h) = A · h, si dice differenziale di f nel punto x 0 e si indica on il simbolo df. Osserviamo che, dalla definizione di derivata si ha: A = f ′(x 0 ) e che viceversa, se vale la formula la funzione e derivabile in x 0. A volte, per comodita, si usa scrivere h = dx e quindi
f (x 0 + dx) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )dx + o(dx).
1.4 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Definizione 4.1 Sia f : X ⊂ R → R, x 0 ∈
o X. Diciamo che la funzione presenta un massimo relativo nel punto x 0 se esiste δ > 0 tale che
f (x) ≤ f (x 0 ), ∀x ∈ X ∩ Bδ (x 0 ).
Diciamo che la funzione presenta un minimo relativo nel punto x 0 se esiste δ > 0 tale che
f (x 0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ X ∩ Bδ (x 0 ).
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Teorema 4.1 (Fermat) Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile in un punto x 0 ∈]a, b[ nel quale f presenta un massimo o un minimo relativo. Allora f ′(x 0 ) = 0.
Dim. Per fissare le idee supponiamo che il punto x 0 sia di minimo. Il rapporto incrementale della funzione f nel punto x 0 risulta quindi positivo in un intorno destro di x 0 e negativo in un intorno sinistro da cui la tesi per definizione di derivata.
Teorema 4.2 (Rolle) Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b], derivabile in ]a, b[ e tale che f (a) = f (b). Allora esiste c ∈]a, b[ tale che f ′(c) = 0.
Dim. Se il massimo ed il minimo della funzione sono assunti sulla frontiera dell’ intervallo allora la funzione e costante e la conclusionee ovvia. In caso contrario almeno uno dei due punti e interno all’intervallo di definizione e quindi la tesie immediata dal teorema di Fermat.
Teorema 4.3 (Cauchy) Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[. Allora esiste c ∈]a, b[ tale che
(f (b) − f (a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c).
Dim. La funzione ω : [a, b] → R definita mediante la legge
ω(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x)
verifica le ipotesi del teorema di Rolle.
Teorema 4.4 (Lagrange) Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[. Allora esiste c ∈]a, b[ tale che f (b) − f (a) = (b − a)f ′(c).
Dim. Basta prendere g(x) = x nel teorema precedente.
Osservazione 4.1 Se f (a) = f (b) si ottiene il teorema di Rolle.
1.5 Alcune conseguenze del teorema di Lagrange
Teorema 5.1 (funzioni a derivata nulla) Sia f : (a, b) → R una funzione continua in (a, b) e
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e derivabile in tutti i punti ma la derivatae discontinua nell’ origine.
Definizione 5.1 Sia f :]a, b[→ R. Una funzione F :]a, b[→ R si dice una primitiva di f se F `e derivabile in ]a, b[ e risulta F ′(x) = f (x), ∀x ∈]a, b[.
Teorema 5.4 Due primitive di una medesima funzione in un medesimo intervallo differiscono per una costante
Dim. Si tratta di una ovvia conseguenza del teorema di Lagrange. Infatti la funzione differenza delle due primitive ha derivata identicamente nulla.
Comunque non `e detto che una funzione qualsiasi abbia primitive.
Esempio 5.3 La funzione U non ha primitive. Infatti, se ne avesse andremmo contro il teorema di Darboux sulle derivate.
Teorema 5.5 (I di de L’Hopital) Siano f, g :]a, b) → R ivi derivabili, tali che limx→a+^ f (x) =
limx→a+ g(x) = 0. Supponiamo che g′(x) 6 = 0, ∀x ∈]a, b), e che esiste limx→a+ f^
′(x) g′(x) ∈^ R˜. Allora esiste
lim x→a+
f (x) g(x)
ed `e uguale al precedente.
Teorema 5.6 (II di de L’Hopital) Siano f, g :]a, b) → R ivi derivabili, tali che limx→a+^ f (x) =
limx→a+ g(x) = ∞. Supponiamo che g′(x) 6 = 0, ∀x ∈]a, b), e che esiste limx→a+ f^
′(x) g′(x) ∈^ R˜. Allora esiste
lim x→a+
f (x) g(x)
ed `e uguale al precedente.
Osservazione 5.3 I teoremi di de l’Hopital non dicono che i due rapporti f^
′(x) g′(x) e^
f (x) g(x) hanno lo stesso comportamento.
Esempio 5.4 Infatti, il rapporto 22 xx+sen−sen^ xx converge ad 1 all’ infinito ma il rapporto delle derivate non `e regolare.
Esempio 5.5 Non conviene applicare il teorema dell’ Hopital senza prima verificare le ipotesi.
Tentando di applicare il teorema dell’ Hopital al calcolo di limx→+∞
√ x^2 + x si trova che il rapporto delle derivate `e √xx (^2) +
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Tuttavia possiamo ricavare qualche utile informazione dal teorema di de l’Hopital. Esempio 5.
lim x→ 0
arcsen x x
ovvero, arcsen x = x + o(x), x → 0.
lim x→ 0
arctang x x
ovvero, arctang x = x + o(x), x → 0.
1.6 La formula di Taylor
Ricordiamo che, se f :]a, b[→ R `e derivabile nel punto x 0 ∈]a, b[ allora si ha:
f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 ), x → x 0 ,
ovvero f (x) = T 1 (x) + o(x − x 0 ), x → x 0
dove T 1 e un polinomio di primo grado. Anzi, T 1e l’unico polinomio di primo grado per cui risulti
T 1 (x 0 ) = f (x 0 ), T 1 ′(x 0 ) = f ′(x 0 ).
In tal caso diremo che la funzione f (x) ed il polinomio hanno un contatto di ordine uno nel punto x 0. Definizione 6.1 Siano f, g :]a, b[→ R, due funzioni derivabili n volte in ]a, b[. Diciamo che funzioni hanno un contatto di ordine n nel punto x 0 se accade che
f (j)(x 0 ) = g(j)(x 0 ), ∀j = 0,... , n.
Cerchiamo un polinomio che abbia un contatto di ordine assegnato con la funzione f in un punto x 0 del suo campo di definizione. Poniamo
Tn(x) =
∑^ n
j=
aj (x − x 0 )j^ ,
con a 0 ,... , an ∈ R da determinarsi. Siccome
T (^) n(k )(x) =
∑^ n
j=k
j(j − 1) · · · (j − k + 1)aj (x − x 0 )j−k,
si ha: T (^) n(k )(x 0 ) = k!ak,
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Teorema 7.2 Sia f :]a, b[→ R convessa in ]a, b[. Allora:
- f `e derivabile dalla destra e dalla sinistra in tutti i punti di ]a, b[;
- f `e continua in tutti i punti di ]a, b[.
Dim. Il teorema e una conseguenza immediata del lemma di convessita. Infatti, il lemma afferma che i rapporti incrementali sono crescenti e limitati superiormente da cui la 1. Per provare la 2. basta osservare che la derivabilita dalla destra o dalla sinistra implicano - rispettivamente - la continuita.
Teorema 7.3 Sia f :]a, b[→ R una funzione convessa in ]a, b[ e derivabile in almeno un punto x 0. Allora, f ′(x) ≥ f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ), ∀x ∈]a, b[.
Dim. Supponiamo x < z < x 0. Dal lemma di convessit`a
Φ(x, z) ≤ Φ(x, x 0 ) ≤ Φ(z, x 0 ), ∀z ∈]x, x 0 [
da cui, passando al limite per z → x+ 0 ,
Φ(x, x 0 ) ≤ f ′(x 0 )
ovvero f ′(x) ≥ f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ), ∀x ∈]a, x 0 [.
Si procede similmente se x > x 0.
Corollario 7.2 Sia f :]a, b[→ R una funzione convessa in ]a, b[ e derivabile in almeno un punto x 0 ed inoltre f ′(x 0 ) = 0. Allora il punto x 0 `e punto di minimo assoluto per f in ]a, b[.
Teorema 7.4 Sia f :]a, b[→ R derivabile in ]a, b[. Allora f e convessa se e solo se f ′^e crescente in ]a, b[.
Dim. Sia f convessa. Proviamo che f ′^ e crescente. Siano quindi x 1 , x 2 ∈]a, b[, x 1 < x 2. Per il lemma di convessita,
Φ(x 1 , x) ≤ Φ(x 1 , x 2 ) ≤ Φ(x, x 2 ), ∀x 1 < x < x 2.
Passando al limite per x → x+ 1 nella diseguaglianza di sinistra si trova
f ′(x 1 ) ≤ Φ(x 1 , x 2 )
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mentre passando al limite per x → x− 2 nella diseguaglianza di destra si trova
Φ(x 1 , x 2 ) ≤ f ′(x 2 )
quindi f ′(x 1 ) ≤ f ′(x 2 ).
Viceversa, siano x < z < y tre punti dell’ intervallo ]a, b[. Applicando il teorema di Lagrange nell’ intervallo ]x, z[ abbiamo che ∃c ∈]x, z[ : f ′(c) = Φ(x, z) e, similmente, applicando il teorema di Lagrange nell’ intervallo ]z, y[ abbiamo che ∃c ∈]z, y[ : f ′(d) = Φ(z, y) e utilizzando la monotonia di f ′^ si trova Φ(x, z) ≤ Φ(z, y) ovvero i rapporti incrementali sono crescenti in una variabile - fissata l’altra. Allora, Φ(x, z) = Φ(z, x) ≤ Φ(y, x) = Φ(x, y) ≤ Φ(z, y)
quindi f `e convessa.
Teorema 7.5 Sia f :]a, b[→ R derivabile due volte in ]a, b[. Allora f `e convessa se e solo se f ′′(x) ≥ 0 in ]a, b[.
Dim. Infatti, f e convessa se e solo se f ′^e crescente e quindi la tesi.
Definizione 7.3 Sia f :]a, b[→ R e sia x 0 ∈]a, b[. Supponiamo che f sia derivabile in x 0 oppure il grafico di f presenta tangente verticale nel punto x 0. Se esiste δ > 0 tale che f e convessa in ]x 0 − δ, x 0 [ e concava in ]x 0 , x 0 + δ[ o viceversa, allora si dice che il punto x 0e un Flesso per la funzione.
Teorema 7.6 Sia f :]a, b[→ R derivabile due volte in x 0 ∈]a, b[. Supponiamo che il punto x 0 sia di flesso per f. Allora f ′′(x 0 ) = 0.
Dim. Se in ]x 0 , x 0 + δ[ la funzione e concava allora f ′^e decrescente ovvero
f ′(x) − f ′(x 0 ) x − x 0
≤ 0 , ∀x ∈]x 0 , x 0 + δ[
quindi f ′′(x 0 ) ≤ 0. D’altra parte in ]x 0 − δ, x 0 [ la funzione `e convessa quindi
f ′(x) − f ′(x 0 ) x − x 0
≤ 0 , ]x 0 − δ, x 0 [
quindi f ′′(x 0 ) ≥ 0 da cui la tesi.
