DERIVATA
Definizione di rapporto incrementale
Sia f : (a, b) → R e x0 ∈ (a, b). Scelto arbitrariamente Δx ≠ 0 in modo che (x0
+ Δx) ∈ (a, b), si formi il quoziente:
Δf / Δx = f (x0+ Δx) - f (x0) / Δx
Esso si chiama rapporto incrementale di f(x) di punto iniziale x0 ed
incremento Δx.
Definizione di derivata
Se esiste ed `e finito il limite per Δx → 0 del rapporto incrementale si dice che
la funzione f è derivabile in x0 e si scrive
Lim (Δx → 0) di f(x0+ Δx) - f (x0) = f ‘ (x0) / Δx
Teorema (regole di derivazione)
Siano f,g : (a, b) → R due funzioni derivabili in x0 ∈ (a, b). Allora:
- f+g è derivabile in x0, e risulta: (f + g) ‘ (x0) = f ‘ (x0) + g ‘ (x0)
- f - g è derivabile in x0, e risulta: (f - g) ‘ (x0) = f ‘ (x0) - g ‘ (x0)
(∀c ∈ R) c · f è derivabile in x0, e risulta: (c · f) ‘ (x0) = cf ‘ (x0)
f · g è derivabile in x0,e (f · g) ‘ (x0) = f ‘ (x0) g (x0) + f (x0) g ‘ (x0)
Se g(x0) ≠ 0 f/g è derivabile in x0 e (f) /(g)
(x0) = f ‘ (x0) g (x0) - f (x0)g ‘ (x0) / g^2 (x0)
Significato analitico di derivata
Il lim(x → x0) f(x) - f (x0) / x-x0 e il lim (Δx → 0) f(x0) + Δx - f(x0)/ Δx
esiste ed è finito
Osservazione (derivata)
Talvolta per esprimere la derivabilità di f in x0 si utilizza un’espressione
equivalente al : Lim(Δx → 0) f(x0+ Δx) - f(x0)/ Δx = f ‘(x0)
Posto, infatti: x0 + Δx = x e x - x0 = Δx
E quando: Δx → 0
Anche: x – x0 → 0 ⇔ x → x0
