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Derivata di una funzione
Alegato al^ concetto^ della^ tangente a una funzione^ in^ un^ punto,in^ particolare al coefficiente^ angolare (m) della^ Tangente.
* più si avvicina Q a P , più ottengo la Tangente
an
reta turgente è quindi posizione limita della reten secunte
f(x)
↓secante di f(x)
RAPPORTO INCREMENTALE ↓efficiente (^) angolare della retta secante
m =^ By^ cED
Ax
- P(c; f(x) M =^ ya^
=^ +(c+^ h)^
- f() *- Xp (+h^ - ch I incremento^ h^ (h>d) esempio : A y=^ 2x^2 3x C = 1 +^ Xp Q(1+^ h^ j 2(1+^ h)- 3(1+h) h (^) = (^) generico Q(1+ h (^) ; 24 + h- 1)
P(1;-1) &^ *(2h +^ 1)
Vi)=^ V( i -^ g)^ m^ = &Ya-SpChtht ↓ vertice DERIVATA DELLA FUNZIONE^ :^ definizione Data una funzione (^) y=f(x) definita in un intervallo (^) La; b) (^) , si definisce derivata della funzione nel (^) punto (^) cEJa; bl e si indica (^) con f'(c) il limite,se esiste finito, (^) per ho del (^) rapporto incrementale di f relativo a c (^). f'()= lim^ f(c+^ h)^
NOMENCLATURA y=^ f(x)^ y^ =^ X^3 lim^ (xth)3-x+^3 =^ 2x^ -^ funzione^ dalla^ quale^ ricavo^ l'm^ della^ Tangente f(x)1D^ +^ zxy y =^ h+ 0 (fissato)
Derivata fondamentale
- Derivata di^ una funzione costante 2. Derivata^ della^ funzione identità ↑ y=^ k^ y=^ X y (^) =lim (^) f =ke y^ =^
lim f(x+^ h)^ -^ f(x)^ =^ X+h^ -^ x= 1
h+ (^0) f(h) h
- Derivata della (^) funzione (^) potenza 4. Derivata della funzione (^) seno y=^ XaEIR^ y=^ senx X >^0 y =lim^ (thm^ y (^) - him Sen(h+^ x)-senxsenxcosh +^ cosXsenh-sen h h L -Sen^ cosotcosx = (^) cos m Flim E^
- (^) Derivata della funzione (^) coseno == (^) y=^ Cost es :^ y= (^) (2 + y=^ x =
- y =^ -^ 2x
- (^3) D= 1 y (^) =lim cos(xth)-coxcox^ - cost-sensen
2 h h
es: (^) y =^ x (^) - y=^ x+ y -Cos-sensa^
- (^) Derivata della funzione (^) esponenziale 7. Derivata della funzione (^) logaritmica y=^ a as,^ a+^1 y=logax^ a^ so, a (^) + 1
f(x)
=lim^ loga-logaloga logae se a = e - y= e^ -^ De^ =^ e.Che =^ et^ log sea = e - y = (nx^ -^ Dlnx^ = 1
I
3' (^) PRODOTTO DI (^) N FUNZIONI y= f(x) :^ F,(x)^.^.^.^.^ fu(x) y =^ f((x)^.^ fz(x)^.^.^.^.^.^ fu(x)^ +^ fz(x)^.^ f((x).^.^.^.^ fu(x)^ +^ ....^ +^ fz(x)fz(x)^ ....fu(x)
- (^) RECIPROCO DI UNA (^) FUNZIONE y= f
a^ -^ f'(x)
lim esempio :^ y= sen y' =-^ cost sen2x esempio :^ y =xy = -
- (^) RAPPORTO y= +^ y= f(xg esempio^ :
regola del^ prodotto^ :^ y=
5 - 3x^2
j=^ f(x)-^ g +
+x)] 2x regola del^ reciproco (^) y =^ -^ 6x(x-^ 2x)
- ( - 3x4)(3x2 -2) (^) = - 6x+ 12x
+g-
(x3-^ 2x)
y=^ f'(x)^ 3x4-^ 9x2+^10
gtx
+ +(.^ -
[) (x22x) y' =^ f'(x)^
. g(x) - f(x). g'(x)
[g(x)]
Derivata (^) di (^) una funzione (^) composta COME DERIVALE^ UNA^ FUNZIONE^ COMPOSTA y=^ In(2x-^ 5x)^ -^ f(x)^ =^ 2xi-^ 5x
g(x) =^ lux
g(f(x) =^ x^ - f-2x -^ 5x^ -^ Fg2(n(2xi-^ 5x) ↓ 3 parto sempre dalla^ più esterna^ e^ arrivo^ alla^ più^ interna y=^ g(f(x)] y =^ g[f(x))^.^ f(x)^ = (^23) zx^.^ (6x
= (^) y = (^) [f(x)] - y= 2. f(x) - f(x) (^13) y= [f(x)]g()g
. (^) en() 2 y=^ [f(x)]m^
- y= n. [f(x)]m
- 1 . f(x) ↓gen. [gn[]+ (^) g 3y=^ f(x)^ · y = 2 f(x) f'(x) ·^4 y =^ f(x)^ · y =(
f'(x)
(^5) y = " f(x) · y =(xyn-^2
- (^) f'(x) (^6) yEsenEf(x)] · y = (^) cos (^) [f(x)]. f'(x) = (^) y= (^) cos[f(x) < (^) y= - sen[f(x] · f'(x) s (^) y =tan (^) [f(x)] (^) <y = costf(x] f 9y=^ ef(x)^ (y =^ ef(x)^.^ f'(x) (^10) y= af(x)^ · y = af(x). f(x). Ina (^11) y = (^) In [f(x)] (^) (y= yx) -^ f'(x) 2y=^ logaf(x) - y = f) f'(x)^. logae
