Probabilità: Introduzione alle inferenze induttive e statistiche, Dispense di Filosofia della Scienza

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BREVI NOTE SULLA PROBABILITÀ

(Fondamentali sono le nozioni di probabilità induttiva,

probabilità, probabilità condizionale, indipendenza)

Pierdaniele Giaretta

a.a. 2018-

FORZA DELLE INFERENZE INDUTTIVE

La caratteristica fondamentale delle inferenze induttive e di quelle

statistiche (che talora sono assimilate a quelle induttive) è che in

queste inferenze le premesse, se vere, forniscono un certo supporto

per la verità della conclusione senza tuttavia garantirla (tranne che in

casi particolari).

Dice B. Skyrms che in un argomento induttivo (e non deduttivamente

valido) “ la conclusione asserisce qualcosa di più delle premesse ,

poiché possiamo descrivere delle situazioni in cui le premesse

risulterebbero vere e la conclusione falsa”.

Si dice anche (I. Hacking , An Introduction to Probability and Inductive

Logic , Cambridge University Press 2001) che la logica induttiva si

occupa di argomenti rischiosi, le argomentazione induttive, nelle

quali la conclusione è caratterizzata dall’avere una certa probabilità

data la verità delle premesse. (Il rischio consiste nel fatto che un tale

argomento può portare da premesse vere ad una conclusione falsa)

Probabilità induttiva

La probabilità di una conclusione, dato un insieme di premesse,

viene chiamata probabilità induttiva. (Spesso si parla di probabilità

induttiva anche per le conclusioni di argomenti statistici, come ad es. il

sillogismo statistico)

La probabilità è di solito misurata in una scala che ha come

estremi lo 0 e l’1.

Quando la probabilità è alta (vicina a 1, ma quanto vicina è oggetto di

convenzione) – cioè quando è molto probabile che la conclusione sia

vera sotto la condizione che le sue premesse siano vere – si dice

che l’inferenza è forte o che è induttivamente forte.

Che cos’è la probabilità?

Cominciamo col considerare la probabilità incondizionata per arrivare poi a definire la probabilità condizionale di cui la probabilità induttiva può essere vista come un caso particolare. Riguardo alla probabilità si possono porre domande che appaiono assai diverse e possono suggerire nozioni di verse di probabilità. Ad esempio, una compagnia assicurativa può chiedersi quale sia la probabilità che Giorgio abbia un incidente stradale il prossimo anno, tenendo conto di dati quali l’età, il sesso, gli incidenti già fatti, il tipo d’auto, ecc. Oppure, pensando di partecipare ad una lotteria, ci si può chiedere quale sia la probabilità che venga estratto il biglietto acquistato. Si dice talora che i due casi sono diversi per il fatto che la prima domanda, ma non la seconda, può avere una risposta solo sulla base di un’estesa indagine empirica. In realtà anche la risposta (usuale) alla seconda domanda presuppone fatti empirici, riguardanti i biglietti e le modalità di estrazione, che si danno per scontati.

Comunque i due casi hanno in comune il fatto che in entrambi la probabilità è riferita ad un evento , o all’occorrenza di un certo tipo di evento. Trascureremo questa differenza, ma l’assunzione della ripetibilità di un evento rende più appropriata l’attribuzione della probabilità ad un evento in quanto evento di un certo tipo. Un evento è descrivibile mediante una proposizione , per cui si può anche parlare della probabilità che una proposizione sia vera (ma ci sono proposizioni che propriamente non descrivono eventi, come, ad esempio, le proposizioni matematiche). Nel seguito le lettere A e B sono introdotte per rappresentare tipi di evento, o classi di eventi.

Date le classi A e B , altre classi di eventi possono essere indicate da non A ; A o B ; A e B in simboli  A ; A  B ; A  B e quindi si può parlare anche di P( A ); P( A  B ); P( A  B )

Tre modi generali di intendere la probabilità

Come frequenza relativa ( interpretazione frequentista , della quale la concezione della probabilità come propensità è una variante) Come grado di giustificazione da parte dell’evidenza ( interpretazione logicista ) Come grado di credenza o fiducia ( interpretazione soggettivista )

La probabilità (incondizionata) di un evento

Nell’interpretazione classica della probabilità (di Pierre Simon Laplace), la probabilità di A è definita come il rapporto fra il numero degli esiti possibili in cui A si verifica ed il numero totale degli esiti possibili: Numero degli esiti in cui si verifica A P( A ) = Numero totale degli esiti (equi)possibili Si presuppone che il numero degli esiti sia finito. «Equipossibile» significa «equiprobabile». La giustificazione della equiprobabilità sembra essere epistemica …

Probabilità condizionale

È la probabilità che un evento si verifichi dato il verificarsi di un altro evento : la probabilità che si verifichi p dato che si verifichi q. 1° esempio: la probabilità di avere un asso come seconda carta sotto la condizione che la prima carta pescata sia una Regina. La probabilità è di 4/51: se la regina è la prima carta pescata, rimangono 51 carte, tra le quali gli assi sono 4. 2° esempio: la probabilità che nel lancio di un dado esca 2 dato che esca un numero pari. La probabilità è 1/3: le possibili uscite di numeri pari sono 3 e quella di 2 è una di queste.

Numero degli esiti in cui si verifica A  B ----------------------------------------------------- P( A  B ) Numero totale degli esiti possibili -------------- = ------------------------------------------------------- P( B ) _Numero degli esiti in cui si verifica B

Numero totale degli esiti possibili Numero degli esiti in cui si verifica A_  B = ------------------------------------------------------- Numero degli esiti in cui si verifica B

Osservazione ovvia Tranne che in casi particolari: P( A / B )  P( B / A ) Per comprenderlo basta riflettere ad esempio sulle seguenti coppie di probabilità: P(x è rosso/x è mela) P(x è mela/x è rosso) P(x = 2/x è pari) P(x è pari/x = 2)

Negazione

P( A ) = 1 – P( A )

Si tratta di una teorema che ha evidenza intuitiva e che si può dimostrare sulla base degli assiomi di Kolmogorov nel modo seguente (ma la dimostrazione non è richiesta per l’esame): Dato che ( A   A ) è una tautologia, per A2 si ha che P( A v  A ) =1. Ora, dato che A e  A sono mutuamente esclusive, per A3 si ha: P( A v  A ) = P( A ) + P( A ). Quindi: 1 = P( A ) + P( A ), di conseguenza: P( A ) = 1 – P( A ).

Indipendenza, congiunzione e disgiunzione

(richiesta solo l’indipendenza)

Per definizione: A è indipendente da B se P( A / B ) = P( A ) Teorema: P( A / B ) = P( A ) se e solo se P( B / A ) = P( B ) La probabilità della congiunzione di eventi indipendenti si può ottenere moltiplicando le probabilità dei (singoli) eventi : Se A e B sono indipendenti, P( A  B ) = P( A )P( B )