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CHE COS’E’ IL CALCOLO COMBINATORIO
E’ una disciplina che studia il numero di modi in cui e’ possibile raggruppare, disporre o ordinare gli elementi di un insieme finito di oggetti e persone
RAGGRUPPAMENTI
Problema del quanti modi un ragazzo puo vestirsi con 3 camice, 2 pantaloni, 3 calzini… Si fa la moltiplicazione di questi insiemi, quindi l’insieme delle camice * l’insieme dei pantaloni ecc.
DISPOSIZIONI
DISPOSIZIONI SEMPLICI (O SENZA RIPETIZIONE)
Le disposizioni semplici hanno almeno un elemento diverso e un ordine diverso. Non uso tutti gli elementi Problema del podio: su 4 atleti, le possibilita’ per il primo posto sono 4, poi per il secondo 3 e cosi via. Si ha quindi una D4,3 con 4 gli atleti e 3 i posti, dove devo disporre 4 atleti, appunto, su 3 posti. Si calcola percio con n* n-1 *n-2 … * n-k+1 oppure con n! / (n-k)! Definizione: le disposizioni semplici di n elementi di classe k sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n che differiscono per almeno un elemento o per l’ordine con cui gli elementi sono collocati
DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE
Qua, gli insiemi si differenziano per l’ordine ma non per elemento diverso, infatti un elemento puo comparire piu di una volta. A differenza delle disposizioni semplici, la classe k puo essere > al numero n di elementi a disposizione. Si puo anche ricorrere al metodo delle possibilita’ con la potenza Problema del lancio della moneta 3 volte: Al primo posto si hanno 2 possibilita, testa o croce. Al secondo lancio ho sempre 2 possibilita’ perche ce appunto una ripetizione. Stessa cosa al terzo lancio, sempre 2 possibilita’. Percio sara’ 222 oppure 2^3. Notare come qua non si scali di un numero proprio perche quel valore scalato, nelle disposizioni con ripetizione, ce ancora. Definizione: le disposizioni con ripetizioni di n elementi distinti di classe k sono tutti i gruppi di k elementi, anche ripetuti, scelti fra n, che differiscono per solamente l’ordine Dn,k = n^k
PERMUTAZIONI
PERMUTAZIONI SEMPLICI
Ogni gruppo contiene tutti gli elementi dell’insieme e differisce solo per l’ordine. Quindi, i raggruppamenti con questa caratteristica sono dette permutazioni e uso tutti gli elementi Si calcola con il fattoriale n! 0! = 1, 1! = 1 Definizione: le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono solo per il loro ordine
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE
Se si effettua la permutazione di tutti gli elementi si considerano tutti i risultati diversi, ma con le ripetizioni appunto puo capitare che alcuni di questi risultati siano uguali, si equivalgano Problema degli anagrammi con lettere che si ripetono Si calcola con n! / k! * j!... Definizione: le permutazioni con ripetizione di n elementi, di cui h, k, j ripetuti, sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono per l’ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti
COMBINAZIONI
COMBINAZIONI SEMPLICI
Qua, i gruppi si differenziano fra di loro solo per gli elementi contenuti e non per il loro ordine. Problema dei punti dei triangoli: bisogna determinare quanti triangoli si possono costruire unendo 5 punti. Il triangolo abc sara’ lo stesso di cab ecc. in questo caso si dice combinazioni di 5 elementi su 3 posti, c5,3. Si calcola facendo disposizioni / permutazioni. In questo caso, sara’: C5,3= D5,3 / P3 = 543/3*2= Definizione: le combinazioni semplici di n elementi distinti su k posti sono tutti i gruppi di k, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento ma non per l’ordine
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ CLASSICA (introduzione)
EVENTI
Gli eventi aleatori sono quelli di cui non e’ prevedibile il risultato. L’insieme U di tutti i possibili risultato di un esperimento, come una partita di calcio o il lancio di un dato, si chiama spazio campionario o universo. Un evento e’ qualunque sottoinsieme dello spazio campionario. Un evento elementare e’ formato da un singolo risultato dell’esperimento. Lo spazio di eventi e’ l’insieme di tutti gli eventi che si possono associare ad un esperimento, ovvero l’insieme delle parti di U
CONCEZIONE CLASSICA DELLA PROBABILITA’
Nel lancio del dado U = {1,2…6} e’ l’insieme dei casi possibili, mentre E = {1,3,5} (solo numeri dispari) e’ l’insieme dei casi favorevoli, ovvero quelli in cui l’evento E e’ verificato. Per il calcolo della probabilita’ si fa quindi casi favorevoli/casi possibili, nel caso del dado esce ½, infatti ho il 50% di probabilita’ che esca un numero dispari Definizione: la probabilita’ di un evento E e’ il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili SOLO QUANDO sono tutti ugualmente possibili Se volessi estrarre, da un mazzo di carte da 52 carte, solo i picche, allora sarebbe = 13 (casi favorevoli, quindi solo le carte picche) / 52 (tutte le carte) = 0,25 o ¼ Un evento contrario e’ l’evento opposto, quello che si verifica se non si verifica E, come nell esempio del dado quando esce un numero pari al posto di quello dispari desiderato. Si calcola con casi totali – casi favorevoli / casi totali
PROBABILITA’ E CALCOLO COMBINATORIO
Nel calcolare la probabilita di un evento con la definizione, per contare quindi il numero di casi favorevoli e possibili e’ utile il calcolo combinatorio: In un urna con 4 palline bianche e 6 nere: Considerato l’evento E escono consecutivamente, nell’ordine, 2 palline bianche e 3 nere. Per i casi possibili si fanno le disposizioni di 10 palline su 5 posti = 30 240 I casi favorevoli idem, sono 4 palline bianche su 2 posti e 6 palline nere su 3 posti =
L’ordine non importa, percio combinazioni semplici di 6 elementi su 3 posti: 6!/3!3!= Calcola il numero di strette di mano che possono scambiarsi 8 persone, nell'ipotesi che ciascuno stringa la mano una sola volta a tutti gli altri Combinazioni di 8 elementi su 2 posti=8!/2!6!= in quanti modi diversi posso anagrammare assassini? L’ordine conta, uso tutti gli elementi ma ci sono ripetizioni di parole. Permutazioni con ripetizione 9!/2!4!2!= quanti numeri di 5 cifre posso scrivere usando solo 1,3,5,7,9 senza ripetizioni? e con ripetizioni? (scrivi i due risultati n-m) ordine conta, nel primo niente ripetizioni ma uso tutti gli elementi, permutazioni normali 5!= nel secondo ci sono le ripetizioni, percio ho sempre 5 numeri per ogni posto= 55555= una gelateria offre 15 gusti di gelato differenti. Quante coppe diverse posso formare se ognuna contiene tre gusti di gelato differenti fra loro? l’ordine non conta in quanto anche gli stessi gusti disposti in maniera diversa vengono conteggiati come diversi 15!/3!12!= In una società di 20 soci devono essere scelti un presidente, un vicepresidente e un segretario. In quanti modi si può fare la scelta? I posti sono 3, 2019*18= Cinque ballerini e altrettante ballerine si accingono a ballare una polka (ballo a due). Quanti accoppiamenti sono possibili? Uso tutti gli elementi e l’ordine conta, una coppia e’ considerata come una persona singola, percio 5!=120. Oppure, se non mi venisse in mente che una coppia e’ contata come un ballerino, faccio i due fattoriali, li unisco e li divido per 2 essendo una coppia
Quanti numeri di quattro cifre distinte, tutte pari e diverse da zero, si possono scrivere? Permutazioni, uso tutti gli elementi e l’ordine non conta. Per essere pari deve avere una cifra finale pari, bloccata, percio uso le altre. 4 posti, l’ultimo bloccato, 432= quattro amici partono per un viaggio con un'automobile a quattro posti. Solo tre dei quattro amici hanno la patente. In quanti modi diversi possono disporsi i quattro amici all'interno dell'auto? il primo posto ha 3 posti soli disponibili. Il secondo posto, avendone ormai tolto uno dal guidatore ma potendosi sedere tutti, ha di nuovo 3 posti, poi 2 e poi ne rimane solo 1= calcola il numero di strette di mano che possono scambiarsi 8 persone, nell'ipotesi che ciascuno stringa la mano una e una sola volta a tutti gli altri ognuno stringe la mano a 7 persone, che per 8 persone fa 56. Pero la stretta di mano va poi divisa per due visto che una sola volta deve avvernire. Percio 56/2= Sei amici, tra cui Paola e Marco, si recano al cinema e si dispongono su una stessa fila, in posti adiacenti. In quanti modi possono disporsi, se Paola vuole stare vicina a Marco? Paola e marco sono contati come una sola persona. Percio 5!=120. Tuttavia alla fine non sono la stessa persona, percio si moltiplica questo risultato per 2! (fattoriale perche in altri casi e’ sempre fattoriale)= Quale è la probabilità di fare un terno al lotto, cioè che si giochino tre numeri e questi facciano parte dei cinque estratti? Casi totali=90 casi favorevoli=3 formula probabilita’/coefficiente binomiale= 90!/3!87!= 1 probabilita’ su 11748 quante commissioni d'esame formate da tre professori si possono formare scegliendo i professori da un insieme di 5 insegnanti? Combinazioni di 5 insegnanti su 3 posti 5!/3!2!=
la prof.ssa di matematica decide di interrogare a caso 4 studenti in una classe di 20 (5Ainf). Quanti diversi insiemi di studenti può interrogare? Combinazioni di 20 studenti su 4 posti 🡪 20!/4!16!= quali sono le diagonali di un poligono di 10 lati? 107/2= la combinazione di una cassaforte e’ formata da 6 cifre (da 0 a 9). Sapendo che le cifre possono ripetersi e che l’ultima cifra e’ pari, quante combinazioni sono possibili (considerando lo 0 pari)? Disposizioni con ripetizione, in quanto una cifra puo essere utilizzata anche piu di una volta. L’ordine conta. Percio sarebbe 10^6, ma essendo l’ultima cifra pari e i numeri pari, compreso lo 0 sono 5, al posto di usare tutte e 10 le cifre ne uso la meta. Percio 10^55=10^ Sei amici, tra cui Paola e Marco, si recano al cinema e si dispongono su una stessa fila, in posti adiacenti. In quanti modi possono disporsi, se Paola vuole stare vicina a Marco? Paola e marco sono contati come una sola persona. Percio 5!=120. Tuttavia alla fine non sono la stessa persona, percio si moltiplica questo risultato per 2! (fattoriale perche in altri casi e’ sempre fattoriale)= un codice pin e’ formato da 3 caratteri alfanumerici. Il primo deve essere una cifra scelta fra 6 e 5, il secondo una lettera fra a, b, c e il terzo numero non scelto al primo posto Raggruppamenti, come quello della camicia. Ho quindi 2 scelte per il primo numero, 3 per il secondo e 1 per il terzo. 32*1 = 6 risolvi la seguente equazione: x= anna ha prenotato 4 posti a teatro. In quanti modi possono disporsi se sono tutti consecutivi? 4!= Se anna vuole evitare che viola stia seduta vicino ad emma, in quanti modi diversi possono disporsi?
4! Normale, ma essendo l’opposto del problema dove volevano stare vicini, dove si moltiplicava per 2!, qua divido per 2! Dato che vogliono stare lontani 4!/2= otto giocatori di tennis vogliono giocare un doppio. Quante coppie possono formarsi? Disposizioni di 8 persone su 2 posti: 87=56, ma essendo coppie divido per 2=28 oppure uso le combinazioni 8!/2!6!= in quanti modi si possono estrarre cinque carte di fiori da un mazzo di 52 carte? 52/4 fa 13. Devo estrarre 5 carte fra queste qua. C13,5= qual è la probabilità di fare ambo al lotto? Casi totali=90 casi favorevoli 88. 90!/288! = 1 su 4005 Casi totali C90, 5 = 43949268. Casi favorevoli C88, 3= 109736, perche le palline estratte alla volta son 5, delle quali 2 son favorevoli. CALCOLO FINALE 1 09736/43949268= 2/801 = 1/400, un’urna contiene 18 palline nere, 12 rosse e 8 blu. Calcola le probabilità che estraendo 3 palline contemporaneamente siano tutte rosse casi totali 🡪 C18,3 = 816 e qua ottengo tutte le combinazioni, comprese quelle blu Casi favorevoli 🡪 C12,3 = 12!/3!9!= Calcoliamo quindi 220/816=0,
