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LEZIONE N. 7 - Calcolo combinatorio (seconda parte) SLIDE 1 - C ombinazioni semplici Dato un insieme di n oggetti, i raggruppamenti che si possono formare con k di essi ( k < n ), tali che due raggruppamenti si distinguono solo per gli elementi contenuti e non per l’ordine in cui sono disposti, si definiscono combinazioni semplici degli n oggetti di classe k oppure, presi a k a k. Permutando i k elementi di ogni combinazione si ottengono le disposizioni degli stessi elementi, cioè . Da questa relazione si deduce la formula per determinare il numero delle combinazioni semplici, infatti, risulta Quest’ultima si indica anche utilizzando il simbolo , si legge n su k , definito coefficiente binomiale di termini n e k
SLIDE 2 - Esempi di combinazioni semplici Esempio 1. Dati 4 punti, A , B , C e D, giacenti su un piano e a tre a tre non allineati, determinare il numero di triangoli che si possono ottenere unendoli a tre a tre. Considerare, poi, il caso che i punti siano 5. Soluzione In tal caso, si prescinde dall’ordine con il quale si uniscono i punti. Infatti, ad esempio, i triangoli ABC, ACB, BCA, BAC, CAB e CBA, sono lo stesso triangolo e, pertanto, va conteggiato una sola volta! Quindi, il numero di triangoli è dato dalle combinazioni di 4 punti uniti a tre a tre e applicando la (1), si ha Nel caso che i punti siano 5, a tre a tre non allineati, i triangoli saranno le combinazioni di 5 punti uniti a tre a tre, cioè
SLIDE 4 - Il gioco del lotto e del superenalotto Il gioco del lotto consiste nell’indovinare una configurazione di uno (estratto unico), due (ambo), tre (terno), quattro (quaterna), cinque (cinquina) numeri compresi tra 1 e 90 estratti dalle ruote di dieci città italiane ed una nazionale in alcuni giorni della settimana. In concomitanza delle estrazioni del lotto si estrae autonomamente anche la sestina del superenalotto. Per conoscere la probabilità di vincita in questi giochi (argomento della successiva lezione) è necessario saper determinare il numero delle configurazioni di cui sopra. Tali configurazioni prescindono dall’ordine di estrazione, per cui sono combinazioni semplici di 90 numeri di classe -uno, se estratti unici -due, se ambi -tre, se terni -quattro, se quaterne -cinque, se cinquine -sei, se sestine del superenalotto. Pertanto, applicando la (1) per ciascun caso si hanno le soluzioni richieste (vedi slide successiva). Altro gioco molto popolare è quello del 10 e lotto, ogni 5 minuti vengono estratti elettronicamente 20 tra i 90 numeri del lotto e trasmessi all’istante su appositi monitor collocati in bar e tabaccherie. Si può puntare sull’uscita di uno o più numeri fino ad un massimo di 10 numeri per ogni estrazione. Ebbene, quante sono le possibili ventine estraibili? (vedi slide successiva).
SLIDE 5 - Combinazioni lotto, superenalotto, 10 e lotto.
SLIDE 7 - Tornei e campionati Torneo di tennis singolare. Il tennis Club “SUPERSTAR” organizza un torneo cui partecipano i dieci migliori tennisti del mondo. Ciascun tennista sfiderà i rimanenti in incontri singolari, vincerà chi avrà totalizzato più punti da regolamento del Club. Calcolare quant’è il minimo dei giorni che occorreranno per lo svolgimento del torneo tenendo conto che ogni tennista potrà disputare un solo incontro al giorno. Soluzione Il numero degli incontri è dato dalle combinazioni semplici di 10 tennisti che s’incontrano a due a due, cioè Potendosi disputare 5 incontri al giorno nei quali sono impegnati tutti i tennisti una sola volta, il torneo avrà una durata di 9 giorni. Campionato di calcio di Serie A. Il campionato italiano di calcio di serie A comprende 20 squadre ed è diviso in due fasi, il girone di andata e quello di ritorno. Ciascuna squadra s’incontra con ognuna delle altre in partite di andata e ritorno. Determinare in numero di partite totali disputate nel corso dell’intero campionato. Soluzione Il numero delle partite che si disputano nel solo girone di andata è dato dalle combinazioni semplici di 20 squadre a due a due, cioè Pertanto, poiché lo stesso numero di partite viene disputato nel girone di ritorno, il totale è di 380 partite disputate.
SLIDE 8 - Strette di mano In un incontro internazionale di calcio gli 11 giocatori di ciascuna squadra, al termine della rituale esecuzione degli inni nazionali, scambiano una stretta di mano con tutti quelli dell’altra. Entrambe le squadre, inoltre, stringono la mano ai 5 giudici di gara. Dopo il sorteggio per la scelta del campo, effettuato con la monetina dal direttore di gara, i capitani delle due squadre e i giudici si scambiano ancora una volta una stretta di mano l’un con l’altro. Determinare il numero totale delle strette di mano. Soluzione Prima fase - Gli 11 giocatori della squadra ospite passano in rassegna con una stretta di mano i rimanenti 16 schierati, avendosi così 11∙16 = 176 strette di mano Seconda fase - Gli 11 giocatori della squadra di casa passano in rassegna con una stretta di mano i 5 giudici avendosi così 11∙ 5 = 55 strette di mano Terza fase - I due capitani e i 5 giudici, in totale 7, al termine del sorteggio si scambiano la mano l’un con l’altro, in tal caso sono le combinazioni semplici di 7 persone che si stringono la mano a due a due, cioè Totale delle strette di mano 176+55+21 = 252
SLIDE 10 - Quesito Esami di Stato 2011-Liceo scientifico Determinare per quale valore di n il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Soluzione Applicando la formula delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k, deve risultare Le combinazioni di 7 elementi di classe 4 sono quante quelle di classe 3.
SLIDE 11 - Combinazioni con ripetizioni Come per le disposizioni e per le permutazioni, anche per le combinazioni si può presentare la possibilità che degli elementi possano ripetersi nel raggruppare due o più di essi. Consideriamo il seguente esempio illustrativo. Esempio. Il magazziniere di una squadra di calcio dispone di 4 cassettoni per riporvi le divise dei 15 calciatori convocati per ogni partita di calcio. Determinare In quanti modi egli può suddividere le divise nei cassetti. Soluzione Innanzitutto, le divise, se anche contrassegnate da un nome, vanno considerate quali oggetti indistinguibili da ripartire nei 4 cassettoni potendo riporre in uno stesso cassettone 1, 2, 3,… fino a tutte le 15 divise: in quest’ultimo caso gli altri tre cassettoni rimarrebbero vuoti. Pertanto, si tratta di sistemare in ogni modo possibile le k = 15 divise negli n = 4 cassettoni, A, B, C, D, come illustrato nella tabella sottostante A B C D Totale 1 5
Applicando la formula, si ha
SLIDE 13 - Altro esempio di partizioni ordinate Esempio. Un reparto ospedaliero si articola in due sale. Sei allievi infermieri devono essere assegnati tre in una e tre nell’altra sala. Determinare in quanti modi ciò può avvenire. Soluzione Si tratta di un tipico esempio di ripartizione ordinata, infatti se tre infermieri dei sei vengono assegnati ad una sala, conseguentemente i rimanenti tre saranno assegnati all’altra e ciò deve verificarsi in ogni modo possibile prescindendo ovviamente dall’ordine di scelta. Si hanno, pertanto, le seguenti modalità di assegnazione Nel caso ci dovessero essere tre sale alle quali assegnare equamente i 6 allievi, allora le assegnazioni sarebbero
SLIDE 14 - Osservazioni conclusive La difficoltà maggiore che incontrano gli studenti nel risolvere esercizi di calcolo combinatorio è il riconoscere la tipologia che ricorre fra permutazioni, disposizioni e combinazioni, semplici o con ripetizioni. Per superare tale difficoltà è bene che lo studente sappia rilevare dal contesto del problema la risposta alle seguenti due domande -gli elementi dell’insieme in causa sono presenti nei raggruppamenti una sola volta o più di una volta? -si prescinde dall’ordine con il quale un elemento è presente nei raggruppamenti oppure bisogna tenerne conto? Saper rispondere a queste due domande è di fondamentale importanza per comprendere quale formula utilizzare. Riepilogo delle formule di uso nel Calcolo Combinatorio. TIPOLOGIA FORMULA RIPETIZION I
ORDINE
Disposizioni semplici
NO SI
Disposizioni SI SI Permutazioni semplici
NO SI
Permutazioni SI SI Combinazioni semplici
NO NO
