Calcolo delle probabilità
:
lancio delle monete
Es.A) lancio di una moneta
1
( ) 0,5 50%
2
P Testa = = =
Si definisce probabilità di un evento “complesso” a partire dalla probabilità degli eventi semplici che lo
compongono, se questi sono indip
e
ndenti:
( ) ( ) ( )
P A e B P A P B
= ⋅
Es.B) lancio di due monete: la probabilità che la prima moneta sia Testa è:
1
( ) 0,5 50%
2
P T = = =
La probabilità che la seconda moneta sia Testa è:
1
( ) 0,5 50%
2
P T = = =
La probabilità che entrambe siano testa è:
1 1 1
( ) ( ) ( ) 0,25 25%
2 2 4
P T e T P T P T= ⋅ = ⋅ = = =
Es.C) lancio di 5 monete: la probabilità che tutte e 5 siano Testa è:
5
11111 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,03125 3%
2 2 2 2 2 2 32
P T e T e T e T e T P T P T P T P T P T= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ≅ ≅
Es.D) lancio di 5 monete: la probabilità che le prime 2 siano Testa e le ultime 3 siano Croce:
5
11111 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,03125 3%
2 2 2 2 2 2 32
P T e T e C e C e C P T P T P C P C P C= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ≅ ≅
Es.E) lancio di 2 monete: la probabilità che una sia T e una C
(non importa quale delle due monete sia Testa e quale Croce)
è:
2
2
1
. 1 2 ( , ) 2
(1 1 ) 0,5 50%
. . 2 ( . ) 2 2 4
n casi favorevoli combin classe k su n oggetti T C
P T e C n casi possibili disp con rip classe k posiz monete su n oggetti
= =
= = = = = =
= =
Es.F) lancio di 5 monete: la probabilità che 1 sia T e 4 siano C
(non importa quali siano Testa e quali Croce)
, è:
5
5
1
. 1 5 . 5
(1 4 ) 0,16 16%
. . 5 2 . 2 32
combin classe k su n ogg
P T e C disp con rip classe k su n ogg
= =
= = = ≅ ≅
= =
Es.G) lancio di 5 monete: la probabilità che 2 siano T e 3 siano C
(non importa quali siano Testa e quali Croce)
, è:
5
5
2
. 2, 5 10
(2 3 ) 0,31 31%
. . 5, 2 2 32
comb k n
P T e C disp con rip k n
= =
= = = ≅ ≅
= =
N.B.1: si osservi che la somma delle probabilità di tutti i casi possibili deve essere 1
(1=100%): in tabella è riportato il caso del lancio di cinque monete.
N.B.2: si osservino i coefficienti binomiali della riga 5 nel triangolo di tartaglia la cui somma è
pari alla quinta potenza di due
N.B.3: i casi favorevoli potrebbero esse visti anche come i possibili anagrammi della parola
TTCCC che sono
5!
2!3!
quantità che corrisponde a
5
2
(5 )
P T
1 32 0,03
=
5
0
=1
(4 1 )
P T e C
5 32 0,16
=
5
1
=5
(3 2 )
P T e C
10 32 0,31
=
5
2
=10
(2 3 )
P T e C
10 32 0,31
=
5
3
=10
(1 4 )
P T e C
5 32 0,16
=
5
4
=5
(5 )
P C
1 32 0,03
=
5
5
=1
Totale:
32 32 1
=
2
5
=32
