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CALCOLO DELLE PRIMITIVE
GIOVANNI TAGLIALATELA
Indice
- Definizione e propriet`a delle Primitive 1
- Integrazione per parti 2
- Integrazione per sostituzione 4
- Integrazione delle funzioni razionali 5
- Integrazione delle funzioni razionali (caso generale) 9
- Integrali riconducibili all’integrazione di una funzione razionale mediante sostituzione 10
- Esempi 12
- Esercizi 14
- Soluzioni degli esercizi proposti 14
- Definizione e propriet`a delle Primitive
Definizione 1.1. Sia X ⊆ R e f : X → R. Diremo che F : X → R `e una primitiva di f se
(1) F e continua in X, (2) esiste Y ⊂ X formato solo da punti isolati, tale che Fe derivabile in X \ Y e risulta
F
′ (x) = f (x) , per ogni x ∈ X \ Y.
Esempio 1 (Integrali immediati). Ogni tavola di derivate pu`o essere letta al contrario, e dar luogo ad una tavola
di primitive.
Funzione Primitiva Funzione Primitiva 1 x e x e x
x
x 2
a x a
x
log a
x
2 x
3
sen x − cos x
x n , n ∈ N
x n+
n + 1
cos x sen x
x α , α 6 = − 1
x
α+
α + 1
cos^2 x
tan x
x
log |x|
sen^2 x
− cot x
1 − x^2
arcsen(x) oppure − arccos x
1 + x^2
arctan(x) oppure − arccot(x)
Si noti che arcsen(x) e − arccos x, pur essendo diverse, sono entrambe primitive della stessa funzione.
Teorema 1 (Propriet`a delle primitive). Sia f : I → R, I intervallo di R.
(1) Se F (x) e una primitiva di f (x), allora, per ogni c ∈ R, la funzione F (x) + ce una primitiva di f (x). (2) Se F (x) e G(x) sono due primitive di f (x), allora F (x) − G(x) e costante su I. (3) Sia x 0 ∈ I e y 0 ∈ R. Se fe dotata di primitiva in I, allora esiste un’unica primitiva F (x) di f che vale y 0 in x 0.
Definizione 1.2. L’integrale indefinito di f `e l’insieme delle primitive di f. Lo si indica con ∫
f (x) dx.
Ultima modifica: 12 Dicembre 2014. 1
2 GIOVANNI TAGLIALATELA
Esempio 2. Determinaiamo la primitiva della funzione sen x che passa per l’origine.
L’integrale indefinito di sen x e l’insieme delle funzioni del tipo − cos x + C, con C ∈ R. Affinche tale funzione
valga 0 in 0, scegliamo C = 1. La funzione x 7 → 1 − cos x `e la primitiva di sen x, che passa per l’origine.
Esempio 3. Determinaiamo la primitiva della funzione x 2 che passa per il punto di coordinate (1, 2).
L’integrale indefinito di x
2 `e l’insieme delle funzioni del tipo
x 3
- C, con C ∈ R. Affinch`e tale funzione valga 2
per x = 1, determiniamo C in modo che
1 3
+ C = 2
ovvero C =
. La funzione x 7 →
x 3
3
`e la primitiva di x 2 , che passa per il punto di coordinate (1, 2).
I due Teoremi seguenti sono di facile verifica.
Teorema 2 (Linearit`a dell’integrale). Siano f, g : I → R, F una primitiva di f , G una primitiva di g. Allora λ F
e una primitiva di λ f , e F + Ge una primitiva di f + g.
Teorema 3. Sia f : I → R, F una primitiva di f , e siano α, β ∈ R, con α 6 = 0.
Allora
α
F (αx + β) `e una primitiva di f (αx + β).
Esempio 4. Integrale indefinito di un polinomio: ∫
akx k
ak
k + 1
x k+
a 1
2
x 2
Esempio 5.
∫
sen x + cos x dx = sen x − cos x + C , ∫
e 2 x dx =
e 2 x
x − 1
dx = log |x − 1 | + C , ∫
tan 2 x dx =
1 + tan 2 x − 1 dx = tan x − x + C ,
∫ √ 3 x + 2 dx =
(3 x + 2) 1 / 2 dx =
(3 x + 2) 3 / 2
∫ dx
(2 x + 3)^2
2 x + 3
+ C ,
1 − x
x
dx =
x
− 1 dx = log |x| − x + C.
Esercizio 1. Quale tra le due funzioni
1
2
(x − 1) 2 e
x 2
− x
`e una primitiva della funzione x − 1?
- Integrazione per parti
Dalla formula di derivazione del prodotto, si ha:
Proposizione 2.1. Siano f e g due funzioni derivabili, si ha:
f (x) g ′ (x) dx = f (x) g(x) −
f ′ (x) g(x) dx.
Oppure, in modo equivalente:
Proposizione 2.2. Sia F una primitiva di f e g derivabile:
∫
f (x) g(x) dx = F (x) g(x) −
F (x) g ′ (x) dx.
4 GIOVANNI TAGLIALATELA
Esempio 10. Calcolo di
log(x) dx.
Siccome log(x) = 1 · log(x), usiamo la (2.1) considerando
f (x) = log(x) , f ′ (x) =
x
g(x) = x , g ′ (x) = 1 ,
si ha: ∫
log(x) dx = x log(x) −
x
x
dx = x log(x) −
dx = x log(x) − x + C.
Osservazione 2.1. Con lo stesso metodo `e possibile calcolare le primitive delle funzioni loga x, arcsen(x), arccos(x),
arctan(x), arccot(x),...
Esercizio 3. Calcolare ( log(x) − 1
dx.
- Integrazione per sostituzione
Dalla formula di derivazione delle funzioni composte si ottiene:
f
g(x)
g ′ (x) dx =
f (y) dy
y=g(x)
Osservazione 3.1.
F una primitiva di f ⇐⇒
F ◦ g una primitiva di (f ◦ g) · g
′
F una primitiva di f ⇐⇒ F ◦ g una primitiva di (f ◦ g) · g ′
f
g(x)
dx =
f (y)
d
dy
g
− 1 (y) dy
y=g(x)
Osservazione 3.2.
H `e una primitiva di f ◦ g
⇐⇒ H `e una primitiva di (f g − 1 ′ ) ◦ g
H e una primitiva di f ◦ g ⇐⇒ He una primitiva di (f g − 1 ′ ) ◦ g
Esempio 11. Calcolo di
sen x cos x dx.
Primo metodo. ∫
sen x cos x dx =
sen x(sen x) ′ dx =
sen 2 x + C.
Secondo metodo. ∫
sen x cos x dx = −
(cos x) ′ cos x dx = −
cos 2 x + C.
Terzo metodo. ∫
sen x cos x dx =
sen(2x) dx = −
cos(2x) + C.
Grazie alla formula di duplicazione del coseno
cos(2x) = cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sen 2 x ,
si vede che gli integrali sono gli stessi.
CALCOLO DELLE PRIMITIVE 5
Esempio 12. Calcolo di
sen
3 x dx.
Primo metodo. ∫
sen 3 x dx =
sen x(1 − cos 2 x) dx =
sen x − cos 2 x sen x dx
sen x dx −
cos 2 x sen x dx = − cos x +
cos 2 x(cos x) ′ dx
sen x dx −
cos 2 x sen x dx = − cos x +
cos 3 x + C.
Secondo metodo (simile, ma pi`u immediato). ∫
sen 3 x dx =
sen x(1 − cos 2 x) dx ,
sostituendo cos x = t, in modo che − sen x dx = dt, si ha:
∫
sen 3 x dx =
sen x(1 − cos 2 x) dx = −
(1 − t 2 ) dt = −t +
t^3
3
cos 3 x + C.
Esempio 13 (Casi particolari). Gli integrali seguenti si ottengono con la sostituzione y = f (x): ∫
f α (x) f ′ (x) dx =
α + 1
f α+ (x) + C (α 6 = −1) ,
∫ f ′(x)
f (x)
dx = log
∣f (x)
∣ + C ,
sen
[
f (x)
]
f ′ (x) dx = − cos
[
f (x)
]
+ C ,
cos
[
f (x)
]
f ′ (x) dx = sen
[
f (x)
]
+ C ,
f ′(x)
cos^2
[
f (x)
] (^) dx = tang
[
f (x)
]
+ C ,
Ad esempio, si ha: ∫ f ′ (x)
f (x)
dx
f (x)=y
(∫^
y
dy
y=f (x)
log |y|
y=f (x)
= log
∣f (x)
(3.1) ∣^ ,
f α (x) f ′ (x) dx
f (x)=y
y α dy
y=f (x)
yα+
α + 1
y=f (x)
f α+1(x)
α + 1
Esempio 14. Calcolo di
tan x dx. Si ha:
∫
tan x dx =
sen x
cos x
dx = −
(cos x)′
cos x
dx = − log | cos x| + C.
Esercizio 4. Calcolare
cot x dx , (2)
2 x √ 1 − 4 x^
dx , (3)
sen 2 x cos x
sen^3 x + 2 dx.
- Integrazione delle funzioni razionali
Una funzione razionale `e un quoziente di polinomi: f (x) =
P (x)
Q(x)
, con P e Q polinomi.
Se il grado del numeratore `e maggiore del grado del denominatore, tramite una divisione possiamo trovare due
polinomi P 1 e R con grado(R) < grado(Q) per cui
P (x) = P 1 (x) Q(x) + R(x).
Dunque:
P (x)
Q(x)
P 1 (x)Q(x) + R(x)
Q(x)
= P 1 (x) +
R(x)
Q(x)
possiamo quindi ricondurci al caso in cui il numeratore ha grado strettamente inferiore al grado del denominatore.
CALCOLO DELLE PRIMITIVE 7
Scegliendo, t = 4 x − 3
47 , abbiamo
x =
47 t + 3
4
dx =
dt
quindi
x − 2
2 x^2 − 3 x + 7
dx =
8 x − 16
(4 x − 3)^2 + 47
dx =
47 t + 3
4
47 t^2 + 47
dt =
47 t − 5
t^2 + 1
dt.
Applicando la (4.1) √ 47
94
47 t − 5
t^2 + 1
dt =
log(t 2
arctan(t) + C ,
ripristinando la variabile x:
∫ x − 2
2 x^2 − 3 x + 7
dx =
log
[(
4 x − 3 √ 47
]
arctan
4 x − 3 √ 47
+ C.
Secondo metodo. Cerchiamo α, β, K ∈ R in modo che posto x = αt + β si abbia:
2 x 2 − 3 x + 7 = K(t 2
Si ha:
2 x 2 − 3 x + 7 = 2 (αt + β) 2 − 3 (αt + β) + 7 = 2α 2 t 2
- α(4β − 3)t + 2β 2 − 3 β + 7.
Scegliamo dapprima β in modo da far s`ı che il termine di grado 1 si annulli:
4 β − 3 = 0
ovvero β =
. Fissato β scegliamo α in modo che il coefficiente di grado 2 sia uguale al coefficiente di grado 0:
2 α 2 = 2β 2 − 3 β + 7
quindi
α =
2 β^2 − 3 β + 7
2
La sostituzione cercata `e dunque
x =
47 t + 3
4
e quindi si ha:
x − 2
2 x^2 − 3 x + 7
dx =
47 t + 3
4
47 t + 3
4
47 t + 3
4
dt =
47 t − 5
t^2 + 1
dt
e quindi si procede come nel caso precedente.
Si noti che la sostituzione usata in entrambi i casi `e
t =
(2 x 2 − 3 x + 7) ′ √ −∆
Terzo metodo. Mostriamo dapprima che
mx^2 + nx + p
dx =
arctan
2 m x + n √ −∆
+ C.
dove 2 m x + n `e la derivata di mx 2
- nx + p, e ∆ = n 2 − 4 mp `e il discriminante. Derivando la funzione a secondo membro ( 2 √ −∆
arctan
2 m x + n √ −∆
2 m x + n √ −∆
) 2 ·^
2 m √ −∆
4 m
−∆
4 m 2 x 2
m x^2 + n x + q
8 GIOVANNI TAGLIALATELA
Cerchiamo di ricostruire la derivata del denominatore. Dal momento che
(2 x 2 − 3 x + 7) ′ = 4 x − 3
possiamo scrivere
x − 2
2 x^2 − 3 x + 7
· (4 x) − 2
2 x^2 − 3 x + 7
· (4 x − 3 + 3) − 2
2 x^2 − 3 x + 7
· (2 x 2 − 3 x + 7) ′ −
2 x^2 − 3 x + 7
quindi
∫ x − 2
2 x^2 − 3 x + 7
dx =
(2 x^2 − 3 x + 7)′
2 x^2 − 3 x + 7
dx −
2 x^2 − 3 x + 7
dx
e, usando la (3.1) e la (4.2):
∫ x − 2
2 x^2 − 3 x + 7
dx =
log(2 x 2 − 3 x + 7) −
arctan
4 x − 3 √ 47
+ C.
Esercizio 5. Calcolare
dx
2 x^2 + 1
dx
ax^2 + 1
(a 6 = 0) , (3)
dx
x^2 + b
(b 6 = 0) , (4)
x − 2
x^2 + x + 2
dx.
II caso: ∆ = 0. Possiamo usare uno dei primi due metodi usati nel caso ∆ < 0.
Esempio 15. Calcolo di
x − 1
4 x^2 − 12 x + 9
dx. Si ha:
4 x 2 − 12 x + 9 = (2x − 3) 2 .
Posto y = 2x − 3:
x − 1
4 x^2 − 12 x + 9
dx =
y + 3
2
y^2
dy
2
y + 1
y^2
dy + C
log |y| −
y
log | 2 x − 3 | −
2 x − 3
+ C.
III caso: ∆ > 0. Se il discriminante `e positivo, il polinomio ammette radici reali, quindi esistono x 1 , x 2 ∈ R tali
che:
mx 2
- nx + p = m(x − x 1 )(x − x 2 ).
Cerchiamo A e B tali che:
ax + b
mx^2 + nx + p
A
x − x 1
B
x − x 2
quindi ∫ ax + b
mx^2 + nx + p
dx =
A
x − x 1
dx +
B
x − x 2
dx = A log |x − x 1 | + B log |x − x 2 | + C.
Esempio 16. Calcolo di
x
x^2 − 1
dx. Cerchiamo A e B tali che:
x
x^2 − 1
A
x − 1
B
x + 1
(A + B)x + (A − B)
x^2 − 1
Identificando i due polinomi a numeratore: { A + B = 1
A − B = 0
da cui: A = B =
. Otteniamo quindi
∫ x
x^2 − 1
dx
x − 1
dx
x + 1
log |x − 1 | +
log |x + 1| + C =
log |x 2 − 1 | + C.
10 GIOVANNI TAGLIALATELA
quindi ∫ x^3 + 1
x^2 + 1
dx =
x −
x
x^2 + 1
x^2 + 1
dx =
x^2
2
log(x 2
Esempio 18. Calcolo di
x 3
x^4 + 2x^2 + 2
dx. Osserviamo che
∫ x 3
x^4 + 2x^2 + 2
dx =
x 2
x^4 + 2x^2 + 2
2 x dx ,
risulta quindi utile la sostituzione t = x
2 (dt = 2x dx):
x 2
x^4 + 2x^2 + 2
2 x dx =
t + 1
t^2 + 2t + 2
dt =
(t 2
t^2 + 2t + 2
dt
log(t 2
log(x 4
Si poteva anche osservare da subito che il numeratore della frazione da integrare `e
della derivata del denomi-
natore,...
Esempio 19. Per il calcolo di
x 2 − 1
(x + 3)^4 (x^2 − 4 x + 8)^2
dx, la formula di Hermite ci assicura che esistono costanti
a, b, c, d, e, f, g, h, i tali che ∫ x 2 − 1
(x + 3)^4 (x^2 − 4 x + 8)^2
dx =
∫ [^
a
x + 3
bx + c
x^2 − 4 x + 8
d
dx
ex 4
(x + 3)^3 (x^2 − 4 x + 8)
)]
dx.
Una volta determinate le costanti, basta osservare che: ∫ a
x + 3
dx = a log |x + 3| + C ,
∫ bx + c
x^2 − 4 x + 8
dx =
b
2
log(x
2 − 4 x + 8) +
b + c
2
arctan
x − 1
+ C
d
dx
ex^4 + f x^3 + gx^2 + h + i
(x + 3)^3 (x^2 − 4 x + 8)
dx =
ex^4 + f x^3 + gx^2 + h + i
(x + 3)^3 (x^2 − 4 x + 8)
+ C.
- Integrali riconducibili all’integrazione di una funzione razionale mediante sostituzione
Indichiamo con R(·) un generica funzione razionale.
- Calcolo di
R(e
x ) dx. Per calcolare
R(e
x ) dx, si usa y = e
x
x = log y, dx =
y
dy
- Calcolo di
R(sen x, cos x, tan x, cot x) dx. Per calcolare
R(sen x, cos x, tan x, cot x) dx, ricordando le for-
mule parametriche:
sen x =
2 tan
x
2
1 + tan^2
x
2
cos x =
1 − tan 2 x 2
1 + tan^2
x
2
tan x =
2 tan
x
2
1 − tan^2
x
2
cot x =
1 − tan 2 x 2
2 tan
x
2
si usa y = tan
x
2
, da cui dy =
1 + tan 2 x 2
dx e quindi dx =
2 dy
1 + y^2
- Calcolo di
R(x,
ax + b ) dx. Per calcolare
R(x,
ax + b ) dx, si usa y =
ax + b , da cui x =
y 2 − b
a
e
dx =
a
y dy.
Esempio 20. Calcolo di
x
2 x − 3 − 2
x − 2
dx. Posto y =
x − 2 , da cui x = y 2
∫ x
2 x − 3 − 2
x − 2
dx = 2
y(y 2
2 y^2 − 2 y + 1
dy
[
y 2
y +
log | 2 y 2 − 2 y + 1| +
arctan(2 y − 1) + C
]
CALCOLO DELLE PRIMITIVE 11
x
2
x − 2 +
log
∣ 2 x − 3 − 2
x − 2
arctan
x − 2 − 1
+ C.
- Calcolo di
R(x,
ax^2 + bx + c ) dx, a > 0. Per calcolare
R
x,
ax^2 + bx + c
dx, a > 0, si usa:
a(y − x) 2 = ax 2
Difatti si ha x =
ay 2 − c
2 ay + b
ax 2
a(ay 2
(2ay + b)^2
Esempio 21. Calcolo di
1 + 2x^2 dx. Posto 2(y − x) 2 = 1 + 2x 2 , di modo che x =
y −
2 y
e dx =
2 y^2
dy, si ha:
1 + 2x^2 dx =
y −
y −
2 y
2 y^2
dy =
y +
4 y
2 y^2
dy
y 2
16 y^2
log y
x
2
1 + 2x^2 +
log
2 x +
1 + 2x^2
+ C.
- Calcolo di
R(x,
ax^2 + bx + c ) dx, a < 0.
Osservazione 6.1.
ax^2 + bx + c con a < 0 `e definita su un intervallo se, e solo se, b 2 − 4 ac > 0.
Per calcolare
R
x,
ax^2 + bx + c
dx con a < 0, siano x 1 < x 2 le radici di ax 2
y =
x − x 1
x 2 − x
(
oppure y =
x 2 − x
x − x 1
. Difatti si ha x =
x 1 + y 2 x 2
1 + y^2
ax
2
b 2 − 4 ac
−a
y 2
(y^2 + 1)^2
Esempio 22. Calcolo di
dx √ x − x^2
. Posto y =
1 − x
x
x =
1 + y^2
, dx = −
2 y dy
(1 + y^2 )^2
, dunque:
x − x^2 =
1 + y^2
(1 + y^2 )^2
y^2
(1 + y^2 )^2
y
1 + y^2 ∫ dx √ x − x^2
1 + y 2
y
y dy
(1 + y^2 )^2
dy
1 + y^2
= −2 arctan y + C = −2 arctan
1 − x
x
+ C.
Esercizio 6. Se, nell’esempio precedente, si usasse la sostituzione t =
d
dx
(x − x 2 ), ovvero t = 1 − 2 x, x =
1 − t
2
e
dx = −
dt, si otterrebbe
dx √ x − x^2
t − 1
2
t − 1
2
dt = −
dt √ 1 − t^2
= arccos(t) = arccos(1 − 2 x) + C.
Quale `e la soluzione corretta?
CALCOLO DELLE PRIMITIVE 13
Primo Metodo (prima si integra per parti, poi si fa la sostituzione).
Applichiamo la formula d’integrazione per parti con f (x) = log(x + 2) e g
′ (x) =
1 + x , tenuto conto che g(x) = 2
3
(1 + x)^3 : ∫ √ 1 + x log(x + 2) dx =
(1 + x)^3 log(x + 2) −
(1 + x)^3
x + 2
dx.
Usiamo la sostituzione y =
1 + x , da cui x = y 2 − 1 e dx = 2y dy: ∫ √ (1 + x)^3
x + 2
dx = 2
y 4
y^2 + 1
dy.
L’ultimo integrale e l’integrale di una funzione razionale, e il grado del polinomio al numeratoree maggiore del
grado del polinomio a denominatore, occorre fare la divisione:
y 4 y 2
- 1 −y 4 −y 2 y 2 − 1 // −y 2
y 2 1 // 1
da cui y 4 = (y 2 − 1)(y 2
y^2 + 1
dy =
(y^2 − 1)(y^2 + 1) + 1
y^2 + 1
dy =
y 2 − 1 +
y^2 + 1
dy =
y 3 − y + arctan(y) + C.
Si ha dunque: ∫ √ (1 + x)^3
x + 2
dx =
(1 + x)^3 − 2
1 + x + 2 arctan
1 + x
+ C ,
e quindi:
∫ √ 1 + x log(x + 2) dx =
(1 + x)^3 log(x + 2) −
(1 + x)^3
1 + x −
arctan
1 + x
+ C.
Secondo Metodo (prima si fa la sostituzione, poi si integra per parti).
Usiamo la sostituzione y =
1 + x , da cui x = y 2 − 1 e dx = 2y dy: ∫ √ 1 + x log(x + 2) dx = 2
y 2 log(y 2
Usiamo la formula d’integrazione per parti, con f (y) = log(y 2
y 2 log(y 2
y 3 log(y 2
y 4
y^2 + 1
dy
y 3 log(y 2
y 3
y −
arctan(y) + C ,
dove si `e usato l’integrale di
y^4
y^2 + 1
calcolato precedentemente. Sostituendo y =
1 + x , si ottiene nuovamente
l’integrale cercato.
Esempio 26. Calcolo di
x
x −
x
dx.
Primo metodo: due sostituzioni. Usiamo prima la sostituzione y =
x , da cui x = y 2 e dx = 2y dy: ∫ 1 −
x
x −
x
dx = 2
1 − y
y^2 − y
y dy.
Usiamo poi la sostituzione u =
1 − y , da cui y = 1 − u 2 e dy = − 2 u du:
∫ 1 −
x
x −
x
dx =
1 − u
(1 − u^2 )^2 − (1 − u^2 )
4 u(u
2 − 1) du = 4
1 − u
u
du
u
− 1 du = 4 log |u| − 4 u + C
14 GIOVANNI TAGLIALATELA
= 4 log
1 − y − 4
1 − y + C
= 4 log
x − 4
x + C = 2 log
x
x + C.
Si noti che la funzione da integrare `e definita solo per x ∈ ]0, 1[, quindi y ∈ ]0, 1[ e u ∈ ]0, 1[.
Secondo metodo: una sostituzione. Usiamo la sostituzione u =
x , da cui
x = 1 − u 2 , x = (1 − u 2 ) 2 e
dx = 4u(u 2 − 1) du: ∫ 1 −
x
x −
x
dx =
1 − u
(1 − u^2 )^2 − (1 − u^2 )
4 u(u 2 − 1) du = 4
1 − u
u
du
u
− 1 du = 4 log |u| − 4 u + C
= 4 log
x − 4
x + C = 2 log
x
x + C.
- Esercizi
Esercizio 7. Calcolare i seguenti integrali indefiniti
2 x 4
3 x^2 + 3
dx ; (2)
x^3
3 + 3x
dx ; (3)
arcsen(x) dx.
Esercizio 8. Calcolare i seguenti integrali definiti
0
2 x^2 − 2 x + 1
2 x^2 − 3 x − 2
dx ; (2)
∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx ; (3)
1
(x + 1)
log(x 2 ) − 1
dx ; (4)
1
log
x
x
dx ;
0
e
√ 4 −x dx ; (6)
∫ π 2
π 3
sen x
cos(2x)
dx ; (7)
0
x
arctan(x)
dx.
- Soluzioni degli esercizi proposti
Soluzione dell’esercizio 1. Le due funzioni sono entrambe primitive della stessa funzione. Si noti che le due funzioni
differiscono per una costante.
Soluzione dell’esercizio 2. Oltre ai due metodi usati per il calcolo dell’integrale di sen 2 (x), `e possibile ricondursi al
calcolo gi`a fatto nell’esempio 9: ∫
cos 2 x dx =
1 − sen 2 x dx = x −
x −
sen(2x)
+ C =
x +
sen(2x)
+ C.
Soluzione dell’esercizio 3. Integriamo per parti, considerando
log(x)− 1
log(x)− 1
(si integra 1, si deriva ( log(x) − 1
log(x) − 1
dx = x
log(x) − 1
x
log(x) − 1
x
dx = x
log(x) − 1
log(x) − 1 dx.
Siccome
log(x) dx = x log(x) − x + C (cf. Esempio 10), si ha:
log(x) − 1
dx = x
log(x) − 1
− 2(x log(x) − x) + 2x + C = x log
2 x − 4 x log(x) + 5x + C.
Soluzione dell’esercizio 4. (1) Si ha: ∫
cot x dx =
cos x
sen x
dx =
(sen x)′
sen x
dx = log | sen x| + C.
(2) Sia 2 x = y, quindi x = log 2 y e dx =
log 2
dy
y
si ha:
∫ 2 x √ 1 − 4 x^
dx =
log 2
y √ 1 − y^2
dy
y
log 2
dy √ 1 − y^2
log 2
arcsen y + C =
log 2
arcsen 2 x
16 GIOVANNI TAGLIALATELA
Soluzione dell’esercizio 7.
(1) Dividendo x 4 per x 2
- 1: x 4 x 2 1 −x 4 −x 2 x 2 − 1 // // −x 2
// // x 2 1 // // 1
quindi: x 4 = (x 2 − 1)(x 2
3 x^2 + 3
dx =
x 4
x^2 + 1
dx =
(x 2 − 1)(x 2
x^2 + 1
dx =
x
2 − 1 +
x^2 + 1
dx
[
x^3
3
− x + arctan(x)
]
+ C =
x 3 −
x +
arctan(x) + C.
(2) Sostituendo y =
x , x = y 2 , dx = 2y dy: ∫ 2
x^3
3 + 3x
dx = 2
2 y 3
3 + 3y^2
y dy =
y 4
1 + y^2
dy.
Usando il risultato dell’integrale precedente:
∫ 2
x^3
3 + 3x
dx =
[
y^3
3
− y + arctan y
]
+ C =
[
x^3
3
x + arctan
x
]
+ C.
(3) Osservando che:
arcsen(x) = 1 · arcsen(x) =
d
dx
x · arcsen(x) ,
integrando per parti, otteniamo: ∫
arcsen(x) dx =
d
dx
x · arcsen(x) dx = x · arcsen(x) −
x √ 1 − x^2
dx.
L’integrale di
x √ 1 − x^2
si ottiene osservando che il numeratore `e (a meno di un fattore) la derivata dell’argomento
della radice, e quindi riconducibile ad un integrale del tipo
f α (x)f ′ (x) dx (cf. (3.2)):
∫ x √ 1 − x^2
dx = −
(1 − x 2 ) ′ √ 1 − x^2
dx = −
(1 − x 2 ) − 1 / 2 (1 − x 2 ) ′ dx
= −(1 − x 2 ) 1 / 2 = −
1 − x^2.
Un metodo equivalente per calcolare l’integrale di
x √ 1 − x^2
consiste nell’usare la sostituzione t = 1 − x
2 , da cui
dt = − 2 x dx, quindi: ∫ x √ 1 − x^2
dx = −
t
dt = −
t − 1 / 2 dt = −
t = −
1 − x^2.
In definitiva: (^) ∫
arcsen(x) dx = x · arcsen(x) +
1 − x^2 + C.
Soluzione dell’esercizio 8.
(1) Per calcolare la primitiva della funzione x 7 →
2 x^2 − 2 x + 1
2 x^2 − 3 x − 2
, scomponiamola in elementi semplici. Innanzi-
tutto osserviamo che il grado del polinomio a numeratore `e uguale al grado del polinomio a denominatore e quindi
occorre fare la divisione con resto:
2 x 2 − 2 x 1 2 x 2 − 3 x − 2 − 2 x 2 3 x 2 1 // x 3
da cui:
2 x 2 − 2 x + 1 = 1 · (2 x 2 − 3 x − 2) + x + 3 ,
quindi:
∫ 2 x 2 − 2 x + 1
2 x^2 − 3 x − 2
dx =
x + 3
2 x^2 − 3 x − 2
dx.
CALCOLO DELLE PRIMITIVE 17
Osserviamo che le radici del trinomio 2 x 2 − 3 x − 2 sono 2 e −
, cerchiamo dunque a e b per cui
x + 3
2 x^2 − 3 x − 2
a
x − 2
b
x +
Siccome
a
x − 2
b
x +
a
x +
(x − 2)
x +
2(a + b)x + a − 4 b
2 x^2 − 3 x − 2
affinch´e si abbia la decomposizione cercata, a e b devono verificare il sistema: { 2(a + b) = 1
a − 4 b = 3
da cui si ricava facilmente a = 1 e b = −
. Si ha quindi:
∫ 2 x 2 − 2 x + 1
2 x^2 − 3 x − 2
dx =
x − 2
b
x +
dx = log |x − 2 | −
log
∣x^ +
∣ +^ C
dunque:
∫ (^1)
0
2 x 2 − 2 x + 1
2 x^2 − 3 x − 2
dx = 1 −
log
− log 2 +
log
log 3 − log 2.
(2) Integriamo per parti (integriamo e x e deriviamo sen x) ∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx =
[
e x sen x
]π/ 2 0
∫ (^) π/ 2
0
e x cos x dx
Integriamo una seconda volta per parti (integriamo e x e deriviamo cos x)
∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx =
[
e x sen x − e x cos x
]π/ 2 0
∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx,
da cui, portando
∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx al primo membro otteniamo
∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx =
[
e x sen x − e x cos x
]π/ 2 0 = e π/ 2
da cui
∫ (^) π/ 2
0
e x sen x dx =
e π/ 2
2
(3) Integriamo per parti, ∫ (^2)
1
(x + 1)
log(x 2 ) − 1
dx =
x^2
2
log(x 2 ) − 1
2
1
1
x^2
2
x
dx
x 2
log(x
2 ) − 1
2
1
1
x + 2 dx =
x 2
log(x
2 ) − 1
2
1
x 2
2
1
2 log 2 − 1
= 8 log 2 − 6.
Nota: La primitiva della funzione x 7 → (x + 1)
log(x 2 ) − 1
`e la funzione x 7 → x 2 log(x) + 2x log(x) − x 2 − 3 x.
(4) Usiamo il cambio di variabili:
x = t. Si ha t 2 = x da cui dx = 2t dt: ∫ log
x
x
dx =
2 t
log(1 + t)
t
dt = 2
log(1 + t) dt.
Usiamo un secondo cambio di variabili t + 1 = u: ∫
log(1 + t) dt =
log u du.
CALCOLO DELLE PRIMITIVE 19
e finalmente:
∫ π 2
π 3
sen x
cos(2x)
dx = −
log
log
(7) Calcoliamo una primitiva di x
arctan(x)
. Integrando per parti:
f (x) =
arctan(x)
f ′ (x) =
2 arctan(x)
1 + x^2
g ′ (x) = x g(x) =
x^2
2
si ha: (^) ∫
x
arctan(x)
dx =
x^2
2
arctan(x)
x^2
1 + x^2
arctan(x) dx.
Ora
x 2
1 + x^2
1 + x^2
, dunque:
x^2
1 + x^2
arctan(x) dx =
arctan(x) dx −
1 + x^2
arctan(x) dx.
Integriamo per parti il primo integrale:
f (x) = arctan(x) f ′ (x) =
1 + x^2
g ′ (x) = 1 g(x) = x ,
e si ha: (^) ∫
arctan(x) dx = x arctan(x) −
x
1 + x^2
= x arctan(x) −
log(1 + x 2 ) + C.
Tenuto conto del fatto che
arctan(x)
1 + x^2
, il secondo integrale di (9.1) `e
∫ 1
1 + x^2
arctan(x) dx =
arctan(x)
+ C.
Infine, si ha: ∫
x
arctan(x)
dx =
x 2
2
arctan(x)
− x arctan(x) +
log(1 + x 2 ) + C,
dunque, ricordando che arctan 1 =
π
4
, otteniamo:
0
x
arctan(x)
dx =
π 2
π
4
log 2.
