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Calcolo delle probabilita'
A. Introduzione
Ilcalcolo della probabilita' e' ormai una delle branche piu' importanti della matematica,
soprattutto per le sue molteplici applicazioni che vanno dalla fisica quantistica, alla termodinamica, alle assicurazioni eccetera... Qui ne vedremo un breve sunto a livello di programma per un liceo scientifico. Svilupperemo prima il calcolo combinatorio per poter parlare di casi possibili, passeremo poi a studiare il concetto di probabilita' con le relative proprieta' e quindi ne vedremo un'applicazione nella teoria dei giochi; infine vedremo alcune interessanti distribuzioni di probabilita' che ci permetteranno di risolvere dei problemi che sembrano impossibili.
B. Calcolo combinatorio
Ilcalcolo combinatorio si occupa di come possiamo combinare fra loro piu'oggetti; magari
e' un poco noioso, ma ci permettera' di considerare i vari casi possibili che si possono presentare nel disporre degli oggetti. E' essenziale per poter sviluppare poi il calcolo delle probabilita'. Svilupperemo poi dei metodi compatti per rappresentare delle formule piuttosto estese: Permutazioni Disposizioni Combinazioni Coefficienti binomiali
1. Permutazioni
Se hai un insieme di oggetti, ad esempio delle figurine, in quanti modi puoi metterle una di seguito all'altra? Se hai dei libri in quanti modi puoi ordinarli su uno scaffale? Oppure in quanti modi puoi metterti a studiare le tre materie dove pensi che domani sarai interrogato?
Parliamo quindi dipermutazioni:
Permutazioni semplici Fattoriale di un numero Permutazioni con ripetizione
a) Permutazioni semplici
Procediamo su un esempio: Domani sei a rischio di essere interrogato in tre materie: italiano, matematica e inglese: essendo la fine del quadrimestre ed avendo tre ore di tempo decidi di studiare ogni materia per 1 ora; in quanti modi puoi "permutare" le materie? In pratica puoi fare: Prima ora Seconda ora Terza ora Italiano Inglese Matematica Italiano Matematica Inglese Inglese Italiano Matematica Matematica Italiano Inglese Inglese Matematica Italiano Matematica Inglese Italiano
Come vedi hai 6 possibilita'. Noi vogliamo trovare il numero di permutazioni possibili senza dover fare tutta una tabella, anche perche' finche' si tratta di 3 oggetti e' abbastanza semplice, ma se volessi sapere in quanti modi diversi posso permutare i 90 numeri della tombola mi troverei nei pasticci.
Proviamo a risolvere questo problema senza fare la tabella:
Quanti numeri diversi di 5 cifre posso formare con le cifre 1,2,3,4,5?
Allora nel numero che potro' fare, la cifra 1 potra' essere al primo posto, oppure al secondo posto, oppure al terzo posto, oppure al quarto posto, oppure al quinto posto; cioe' per la cifra 1 ho 5 possibilita'. Per la cifra 2 (avendo gia' messo la cifra 1) invece ho solo 4 possibilita' perche' un posto e' gia' occupato dalla cifra 1. Per la cifra 3 mi restano tre possibilita' perche' due posti sono gia' occupati dalla cifra 1 e dalla cifra
Per la cifra 4 mi restano due possibilita' perche' tre posti sono gia' occupati dalla cifra 1, dalla cifra 2 e dalla cifra 3. Per la cifra 5 ho solo una possibilita' perche' quattro posti sono gia' occupati dalle cifre 1, 2, 3 e 4 e il 5 va nel posto che resta vuoto. Quindi: per la cifra 1→ 5 possibilita' per la cifra 2→ 4 possibilita' per la cifra 3→ 3 possibilita' per la cifra 4 →2 possibilita' per la cifra 5 →1 possibilita' cioe': Possibilità = 5·4·3·2·1 = 120
Con le 5 cifre posso scrivere 120 numeri diversi.
Riprendiamo l'esercizio delle materie da studiare visto prima. Comincio da italiano:
Italiano posso studiarlo la prima ora , oppure la seconda ora oppure la terza.
Inglese posso studiarlo in una delle due ore in cui non studio italiano.
Matematica posso studiarla nell'ora in cui non studio ne' italiano ne' inglese.
Quindi: Italiano → 3 possibilita' Inglese → 2 possibilita' Matematica → 1 possibilita'
Possibilita' = 3·2·1 = 6
In generale: Il numero di permutazioni semplici su n oggetti Pn e' dato dal prodotto del numero n per tutti i suoi antecedenti Pn = n·(n-1)·(n-2)· ..... ·3·2·
Perantecedenti di un numero si intendono i numeri che lo precedono nella successione naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,........ ad esempio gli antecedenti di 6 sono i numeri 1,2,3,4,
ad esempio la n che compare al primo posto e' la prima o la seconda o la terza?); quindi per 7 oggetti avrei:
P 7 = 7! Mentre per i tre oggetti uguali (le n) avrei:
P 3 = 3! Quindi i possibili anagrammi saranno:
8 0
Approfondimento (Scheda n. B1)
Scheda n. B1: Permutazioni con oggetti ripetuti: Facciamo un esempio con 4 oggetti di cui 3 uguali: a b b b Se fossero oggetti diversi, le permutazioni sarebbero P 4 = 4! = 24 e precisamente (per fartelo vedere bene coloro diversamente le lettere b): a b b b b a b b b b a b b b b a a b b b b a b b b b a b b b b a a b b b b a b b b b a b b b b a a b b b b a b b b b a b b b b a a b b b b a b b b b a b b b b a a b b b b a b b b b a b b b b a Osserva che in ogni colonna ci sono le 6 permutazioni per i tre colori della lettera b (P 3 = 3! = 6)
Nella prima colonna la a e' al primo posto e permutiamo le tre b Nella seconda colonna la a e' al secondo posto e permutiamo le tre b Nella terza colonna la a e' al terzo posto e permutiamo le tre b Nella quarta colonna la a e' al quarto posto e permutiamo le tre b
Ma se non ho i colori, le lettere b sono indistinguibili tra loro e pertanto ogni colonna diventa un termine singolo: a b b b b a b b b b a b b b b a. Allora per avere le permutazioni su 4 oggetti di cui 3 identici dovro' fare le permutazioni su 4 oggetti e dividerle per le permutazioni su tre oggetti:
Per fare i calcoli piu' velocemente osserva che vale:
cioe' nelle frazioni con fattoriali posso sempre considerare come nelle'espressione sopra e semplificare l'ultimo fattoriale (useremo spesso questa proprieta').
Per completare vediamo anche il caso in cui gli oggetti identici siano di tipi diversi, come ad esempio l'anagramma della parola "matematica". Ci sono due m , due t e tre a , quindi:
, ,
Notare nella P il ; dopo il numero globale degli oggetti e la , fra i numeri di oggetti uguali
Quindi la formula generale per le permutazioni su n oggetti di cui k 1 ,k 2 ,.....,kh uguali sara':
, ,……, 1 2 ,....
- Disposizioni
Le disposizioni su n oggetti sono tutte le coppie, terne, quaterne, k-uple ordinate che puoi formare con quegli oggetti. Ordinate vuole dire che ad esempio la coppia (1,2) e' diversa dalla coppia (2,1) In pratica puoi dire che usi le disposizioni quando conta l'ordine in cui consideri gli oggetti Distinguiamo fra: Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione
a) Disposizioni semplici
Le disposizioni semplici su n oggetti sono i numeri delle coppie ordinate Dn;2, terne
ordinate Dn;3, quaterne ordinate Dn;4,...,k-uple ordinate Dn;k che posso formare con n oggetti. Per trovare la formula procediamo con ordine, ad esempio su 5 oggetti:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 Se considero gli elementi uno ad uno, allora ho 5 possibilita':
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 D5;1 = 5
Se considero le coppie ordinate , allora ad ogni elemento precedente ne devo aggiungere 4 (uno alla volta):
a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 4 a 1 a 5 a 2 a 1 a 2 a 3 a 2 a 4 a 2 a 5 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 a 4 a 3 a 5 a 4 a 1 a 4 a 2 a 4 a 3 a 4 a 5 a 5 a 1 a 5 a 2 a 5 a 3 a 5 a 4
cioe':
D5;2 = 5·
Se poi voglio le terne ordinate, ogni coppia mi generera' tre possibili terne (mi restano tre numeri perche' due sono gia' nella coppia):
D5;3 = 5·4· Cosi' se voglio le quaterne ordinate ad ogni terna, potro' aggiungere 2 oggetti diversi perche' 3 sono gia' nelle terne:
D5;4 = 5·4·3· Concludendo, se voglio le cinquine ordinate ad ogni quaterna, potro' aggiungere solo 1 oggetto perche' 4 sono gia' nelle quaterne:
D5;5 = 5·4·3·2·
Da notare che le disposizioni semplici di 5 oggetti presi 5 a 5 corrispondono alle permutazioni su 5 oggetti: D5;5 = P 5 = 5! = 5·4·3·2· Le permutazioni sono le disposizioni che posso fare considerando di prendere tutti gli oggetti.
D'3;2 = 9
Vediamo di trovare la formula per le disposizioni con ripetizione di classe 3 (terne ordinate) su 5 oggetti D'5; Per il primo posto nella terna ho 5 possibilita': uno qualunque dei 5 numeri puo' essere al primo posto; anche per il secondo posto nella terna ho 5 possibilita'; uno qualunque dei 5 numeri puo' essere al secondo posto ed anche per il terzo posto nella terna ho 5 possibilita'; uno qualunque dei 5 numeri puo' essere al terzo posto. Quindi raccogliendo: D'5;3 = 5·5·5 = 5^3 = 125
In generale: le disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k saranno:
D'n;k = nk
Come esercizio, calcoliamo il numero di colonne che dovrei giocare per essere sicuro di vincere nella schedina del totocalcio.
Nota che nelle disposizioni con ripetizione le k-uple possono essere anche di dimensione maggiore di n, cioe' con 3 oggetti posso fare anche cinquine, sestine,....; basta poter riestrarre l'oggetto.
Sono disposizioni con ripetizione di 3 oggetti (1,x,2) presi 13 a 13:
D'3;13 = = 1594323 Quindi, se vuoi giocare tutte le colonne possibili, devi giocare 1594323 colonne.
- Combinazioni
Le combinazioni su n oggetti sono tutte le coppie, terne, quaterne,... k-uple non ordinate che puoi formare con quegli oggetti. Non ordinate vuole dire che ad esempio la coppia (1,2) e la coppia (2,1) sono la stessa coppia. In pratica puoi dire che usi le combinazioni quando non conta l'ordine in cui consideri gli oggetti. Distinguiamo fra: Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione
a) Combinazioni semplici
Partiamo da un esempio pratico: troviamo tutte le terne non ordinate che posso formare con i 4 oggetti (disposizioni semplici di 4 oggetti presi 3 a 3):
a b c d Prima troviamo le disposizioni semplici (cioe' le terne ordinate) poi togliamo l'ordine:
a b c a b d a c d b c d a c b a d b a d c b d c b a c b a d c a d c b d c a b d a b d a c d b c b c a b d a c d a c d b c b a d b a d c a d c b
Come fare le tabelle rapidamente (Scheda n. B2 )
Scheda n. B2 : Come fare le tabelle rapidamente Per fare le tabelle in modo veloce ad esempio nella tabella precedente prendo tre gruppi di lettere (su 4), cioe' considero in ordine alfabetico 3 della 4 lettere possibili: abc abd acd e bcd Poi, nel primo gruppo, comincio dalla lettera a e quindi ottengo abc ed acb poi metto la a al centro bac cab poi metto la a in fondo bca cba Anche nel secondo gruppo abd comincio dalla lettera a e quindi ottengo abd ed adb poi metto la a al centro bad dab poi metto la a in fondo bda dba e cosi' via di seguito per gli altri gruppi.
Ogni colonna contiene la stessa terna ordinata in modo diverso; quindi, se considero le combinazioni, ogni colonna mi corrisponde ad una sola terna, cioe':
C4;3 = 4 e precisamente le 4 combinazioni sono:
a b c a b d a c d b c d In pratica per trovare le combinazioni (che sono non ordinate) devo prendere le disposizioni (che sono ordinate) e dividerle per le permutazioni (che danno l'ordine), cioe':
... 1
Generalizziamo e ricaviamo la formula generale: 1... 1
Come formula e' un po' scomoda, cerchiamo di scriverla in modo diverso (legge dei tre fattoriali): 1... 1
Moltiplico sopra e sotto per (n-k)! : 1... 1
ma il prodotto: n·(n-1)·... ·(n-k+1) ·(n-k)! corrisponde ad n! cioe' il prodotto di n per tutti i suoi antecedenti, infatti (n-k)! e' il prodotto di tutti gli antecedenti di (n-k+1); quindi ottengo:
Inoltre siccome dovremo usare spesso questa espressione, la indicheremo in breve con il simbolo:
Termine che sara' chiamatocoefficiente binomiale
Quindi fai attenzione perche' potrai trovare tre notazioni diverse: 1... 1
a) Relazioni fra coefficienti binomiali e potenza di un binomio
Cerchiamo di capire il significato dei coefficienti binomiali; ad esempio iniziamo a vedere quelli per le combinazioni di due oggetti: 2 1
Calcoliamo: 2 1
2 2 Ricordando la relazione:
2 1
2 1 2 1
2 1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 0 1 Ricordati che 0! = 1 Vediamo anche quelli per le combinazioni per 3 oggetti:
Calcoliamo:
1 2 Ricordando la relazione:
1 1 1
2 1 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 2 1 0 Ricordati che 0! = 1 Se osservi questi numeri hanno qualcosa di familiare, e precisamente, a meno del primo termine, sono i coefficienti dello sviluppo del quadrato di un binomio e del cubo di un binomio. Proviamo allora ad aggiungere al primo posto le combinazioni di di 2 e 3 oggetti di classe zero: 2 0
Adesso vedi che le combinazioni corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio.
Ad esempio per le combinazioni su 4 oggetti avremo:
Infatti la potenza quarta del binomio e': (a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 Dai un'occhiata (Scheda n. B3) all'applicazione delle combinazioni semplici per determinare l'insieme delle parti e guarda questo triangolo di Tartaglia.
Da qui il nome di coefficiente binomiale per la scrittura:
Esempio: Calcolare (a+b)^5
0 1 2 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5
Scheda n. B3:Approfondimento sul numero degli elementi della potenza di un insieme (e sua relazione con il triangolo di Tartaglia) Non solo gli elementi della potenza di un insieme sono pari a 2 n^ ma corrispondono anche alla riga del triangolo di Tartaglia corrispondente al numero degli elementi. Infatti, consideriamo ad esempio la riga del triangolo di Tartaglia della potenza 4, essa vale: 1 4 6 4 1 Allora l'insieme potenza di un insieme con 4 elementi e' composto dai seguenti elementi: 1 insieme con 0 elementi (insieme vuoto 4 insiemi con 1 elemento 6 insiemi con 2 elementi 4 insiemi con 3 elementi 1 insieme con 4 elementi (l'insieme improprio) e la somma di tutti quanti vale: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 Come corollario ne deriva che la somma degli elementi di ogni riga del triangolo di Tartaglia e' una potenza del 2
Vediamone l'esempio su un insieme di 4 oggetti: A = { 1, 2, 3, 4} Allora: P(A) = { ø, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 2}, { 1, 3}, { 1, 4}, { 2, 3}, { 2, 4}, { 3, 4}, { 1, 2, 3}, { 1, 2, 4}, { 1, 3, 4}, { 2, 3, 4}, { 1, 2, 3, 4} }
Cerchiamo di capire il perche': siccome negli insiemi non conta l' ordine, cioe' {a,b}={b,a} allora per trovare il numero di insiemi che posso formare con un insieme ad esempio di 4 elementi devo considerare le combinazioni semplici di quattro elementi e precisamente:
Combinazioni di classe 0 0
1 ø
Combinazioni di classe 1 1
Combinazioni di classe 2 2
Combinazioni di classe 3 1 { 1, 2, 3}, { 1, 2, 4}, { 1, 3, 4}, { 2, 3, 4}
Combinazioni di classe 4 1 { 1, 2, 3, 4}
Ma abbiamo visto nel calcolo combinatorio che le combinazioni su n oggetti non sono altro che i coefficienti dello sviluppo del binomio, cioe' i termini della riga corrispondente del triangolo di Tartaglia, quindi abbiamo una stretta corrispondenza fra righe del triangolo di Tartaglia ed elementi dell' insieme potenza di un insieme.
c) Formula di Newton
Se ora volessimo calcolare: (a+b)^8 = potremmo sempre calcolarlo in ordine facendo tutte le potenze precedenti, ma pensa che noia se dovessi calcolare ad esempio:
(a+b)^20 = ci vorrebbero ore! Un grande Matematico, Newton, ha trovato il modo per calcolare la potenza senza calcolare tutte le potenze precedenti: il metodo e' un po' laborioso ma, visto il tempo che ci fa risparmiare, ne vale certo la pena. Vediamolo assieme, passaggio per passaggio, sei pronto? Proviamo a calcolare:
(a+b)^8 = Prima di tutto osserviamo che il primo termine del risultato sara':
1a^8 per il secondo termine, consideriamo il primo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del primo termine:
1 e l'esponente della potenza di a nel primo termine:
8 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato.
Essendo il primo termine devo dividere per 1 il risultato e':
(1·8)/1= Allora il secondo termine sara': 8a^7 b Proseguendo faccio sempre lo stesso. Per il terzo termine, consideriamo il secondo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del secondo termine:
8 e l'esponente della potenza di a nel secondo termine:
7 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato.
Essendo il secondo termine, devo dividere per 2 ; il risultato e':
(8·7)/2= Allora il terzo termine sara': 28a^6 b^2 Per il quarto termine, consideriamo il terzo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del terzo termine: 28 e l'esponente della potenza di a nel terzo termine:
6 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato. Essendo il terzo termine, devo dividere per: 3 Il risultato e':
(28·6)/3= Allora il quarto termine sara':
56a^5 b^3 Per il quinto termine, consideriamo il quarto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del quarto termine:
56 e l'esponente della potenza di a nel quarto termine: 5 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato essendo il quarto termine devo dividere per: 4 Il risultato e': (56·5)/4= Allora il quinto termine sara': 70a^4 b^4 Per il sesto termine, consideriamo il quinto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del quinto termine: 70 e l'esponente della potenza di a nel quinto termine: 4 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato. Essendo il quinto termine devo dividere per: 5 Il risultato e': (70·4)/5= Allora il sesto termine sara':
56a^3 b^5 Per il settimo termine, consideriamo il sesto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del sesto termine: 56 e l'esponente della potenza di a nel sesto termine:
3 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato. Essendo il sesto termine devo dividere per:
6 Il risultato e':
(56·3)/6= Allora il settimo termine sara':
28a^2 b^6 Per l'ottavo termine, consideriamo il settimo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del settimo termine:
28 e l'esponente della potenza di a nel settimo termine:
2 e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato. Essendo il settimo termine devo dividere per:
7 Il risultato e':
(28·2)/7= Allora l'ottavo termine sara':
8a^1 b^7 Per il nono termine, consideriamo l'ottavo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del settimo termine:
8 e l'esponente della potenza di a nell'ottavo termine:
- Sostituisco 0:
Calcoliamo: 10 0 Applico la relazione:
10 0
10 0 10 0
10 1 10 1 Ricordati che 0! = 1
- Sostituisco 1:
Calcoliamo: 10 1 Applico la relazione:
10 1
10 1 10 1
10 9 1 9 10 Ricordati che 1! = 1
- Sostituisco 2:
Calcoliamo: 10 2 Applico la relazione:
10 2
10 2 10 2
10 9 8 2 1 8
- Sostituisco 3:
Calcoliamo: 10
Applico la relazione:
10 10 10
10 9 8 2 1
10 9 8 2 120
- Sostituisco 4:
Calcoliamo: 10
Applico la relazione:
10 10 10
10 9 8 2 1
10 9 8 2 10 210
- Sostituisco 5:
Calcoliamo: 10 Applico la relazione:
10 10 10
10 9 8 2 1
10 9 8 2 2 2 2
- Sostituisco 6:
- Sostituisco 7:
- Sostituisco 8:
- Sostituisco 9:
- Sostituisco 10:
Dopo il sesto termine non calcolo piu' il coefficiente binomiale perche' si ripete (il triangolo di Tartaglia e' simmetrico)
Ottengo quindi lo sviluppo: (a+b)^10 = a^10 + 10 a^9 b + 45 a^8 b^2 + 120 a^7 b^3 + 210 a^6 b^4 + 252 a^5 b^5 + 210 a^4 b^6 + 120 a^3 b^7 + 45 a^2 b^8 + 10 a b^9 + b^10
d) Legge delle classi complementari
Vediamo ora alcune proprieta' dei coefficienti binomiali; talvolta queste proprieta' vengono date come domanda all'esame di maturita' per il liceo scientifico, forse per vedere se lo studente e' capace di calcoli. Se frequenti il quinto liceo scientifico ti consiglio di studiare molto bene questa pagina e le due successive. Naturalmente nel compito invece di n puoi trovare n-1, n+1, n-2, n+2,... ed invece di k puoi trovare k-1, k+1, k-2, k+2,..
Questa si chiamalegge delle classi complementari perche' il numero sotto e' la classe della combinazione (si dice combinazione di n elementi di classe k) ed e' complementare perche' k ed n-k sono complementari rispetto ad n (cioe' la loro somma vale n). E' questa legge che ci garantisce che il triangolo di Tartaglia e' simmetrico.
Dobiamo dimostrare che e' valida l'uguaglianza:
Sviluppo il secondo termine e faccio vedere che e' uguale al primo:
Ma l'ultimo termine e' lo sviluppo di:
Come volevamo.
C. Probabilita' di un evento
Ora possiamo iniziare la teoria della probabilita': grosso modo possiamo distinguere tre teorie diverse: la probabilita' classica, la teoria frequentista (o probabilita' statistica) e la probabilita' soggettiva. Vedremo di superare i loro limiti considerando poi la definizione assiomatica di probabilita' che comprende le altre definizioni come casi particolari.
Per seguire l'argomento e' necessario conoscere bene la teoria degli insiemi
Nel biennio ed in parecchie scuole anche del triennio e' sufficiente limitare il calcolo delle probabilita' alla probabilita' classica con qualche semplice cenno alla frequentista ed alla soggettiva;in tal caso puoi saltare la probabilita' assiomatica in altre invece nel triennio e' richiesta la probabilita' assiomatica considerando le altre probabilita' come casi particolari; in questo caso devi fare tutto il capitolo sulle 4 probabilita'.
Premettiamo anche alcune nozioni comuni a tutti i tipi di probabilita'.
Introduzione; concetto di evento Spazio delle probabilita' ed eventi Operazioni sugli eventi Probabilita' classica Probabilita' statistica (o frequentista) Probabilita' soggettiva Definizione assiomatica di probabilita' Teoremi
- Introduzione; concetto di evento
Introduciamo il concetto di evento:
Chiameremoevento il verificarsi di un certo insieme di condizioni derivate da un
esperimento:
Esperimento: lancio una volta un dado Evento: ottengo il numero 6
Parleremo dievento certo se l'evento si verifica sempre:
Esperimento: sopra il mio tavolo lascio libera una matita in aria Evento: essa cade sul
tavolo
Parleremo dievento impossibile se l'evento non si verifica mai:
Esperimento: sopra il mio tavolo lascio libera una matita in aria Evento: essa sale fino al
soffitto
Parleremo dievento aleatorio se l'evento puo' verificarsi oppure no:
Esperimento: lancio una volta un dado Evento: esce il numero 1
Diviene quindi naturale assegnare all'evento aleatorio un numero che esprima la quantita' di possibilita' del verificarsi dell'evento stesso:
p = P(E)
p e' la probabilita' che si verifichi l'evento E. Esempio: se E e' l'evento uscita del numero 1 nel lancio di un dado, avendo il dado 6 facce sara': p = P(E) = 1/6.
- Spazio delle probabilita' ed eventi
Chiameremoprova una singola esecuzione di un dato esperimento.
Da una prova si ottiene unrisultato elementare.
Chiameremo universo o spazio delle probabilita' S l'insieme di tutti i possibili risultati
elementari di un esperimento. Ad esempio l'universo per il lancio di un dado, chiamando le singole facce con il loro punteggio e': S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Si diceevento E un qualsiasi sottoinsieme dello spazio delle probabilita' S:
E S Cioe' un evento e' un qualunque sottoinsieme dello spazio delle probabilita'. Esempio: Esperimento: lanciare una volta un dado Evento: ottenere un numero pari L'evento e' il sottoinsieme E = { 2, 4, 6 }
Dalle definizioni deriva che l'insieme di tutti gli eventi corrisponde all'insieme potenza dell'universo
Parleremo dievento certo se E coincide con S
Esempio: Esperimento: lanciare una volta un dado Evento: ottenere un numero minore di 7 E' un evento certo perche' otterro' uno dei numeri 1,2,3,4,5,6 che sono tutti inferiori a 7.
Parleremo dievento impossibile se E coincide con l' insieme vuoto Ø
Esempio: Esperimento: lanciare una volta un dado Evento: ottenere un numero maggiore di 7 E' un evento impossibile perche' otterro' uno dei numeri 1,2,3,4,5,6 e nessuno e' maggiore di 7
Come vedi esiste una stretta analogia fra gli insiemi e gli eventi: ad esempio lo spazio delle probabilita' puo essere considerato il corrispondente dell'insieme universo; diviene quindi naturale applicare agli eventi le operazioni e la terminologia propria della teoria degli insiemi.
- Operazioni sugli eventi
Consideriamo due eventi E 1 ed E 2 appartenenti ad una medesima prova.
Chiamiamoevento somma di E 1 ed E 2 l'evento:
E 3 = E 1 ∪ E 2 od anche E 3 = E 1 + E 2
che risulta dal verificarsi dialmeno uno dei due eventi E 1 ed E 2
Almeno uno significa: o si verifica il primo evento o si verifica il secondo evento o si verificano entrambi gli eventi. Infatti si tratta dell'operazione di unione fra insiemi.
Useremo preferibilmente l'unione se parleremo di eventi come insiemi, mentre useremo la somma se parleremo di eventi per trovarne la probabilita'.
