Corso di Matematica e Statistica - A.A. 2020-2021
C.d.L. in Scienze Biologiche
Calcolo delle probabilit`a
Prof.ssa Laura Angeloni
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universit`a degli Studi di Perugia
Calcolo delle probabilit`a
Laura Angeloni 1
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Calcolo probabilità, Dispense di Matematica Generale
Appunti per calcolo delle probabilità
Tipologia: Dispense
2020/2021
1 / 80
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Corso di Matematica e Statistica - A.A. 2020-
C.d.L. in Scienze Biologiche
Calcolo delle probabilit`a
Prof.ssa Laura Angeloni [email protected] Dipartimento di Matematica e Informatica Universit`a degli Studi di Perugia
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Un esperimento si dice casuale o aleatorio quando esso pu`o essere ripetuto
quante volte si vuole ed il suo risultato dipende dal caso, ovvero non pu`o essere
previsto in modo univoco.
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Definiamo
. Evento elementare: il singolo risultato di un esperimento aleatorio.
. Spazio campionario (Ω) (o spazio degli eventi): l’insieme dei possibili
eventi elementari, cio`e l’insieme dei possibili risultati di un esperimento
aleatorio.
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Definiamo
. Evento elementare: il singolo risultato di un esperimento aleatorio.
. Spazio campionario (Ω) (o spazio degli eventi): l’insieme dei possibili
eventi elementari, cio`e l’insieme dei possibili risultati di un esperimento
aleatorio.
Esempi:
. lancio di una moneta: Ω = {T , C } . lancio di due monete: Ω = {TT , TC , CT , CC } . lancio di un dado: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . lancio di due dadi: Ω = {(1, 1), (1, 2),... , (6, 6)} . durata di una lampadina fino alla rottura: Ω = {x : x ≥ 0 }
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Definiamo
. Evento aleatorio: un qualsiasi insieme di eventi elementari, ovvero un
qualunque sottoinsieme di Ω.
Esempio: Lanciamo due monete e consideriamo l’evento: ”esce testa su almeno una delle due monete”. L’evento considerato e E = {(T , T ), (T , C ), (C , T )}. Esempio: Lanciamo due dadi e consideriamo l’evento: ”esce 1 sul primo dado”. L’evento consideratoe E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}.
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Poich´e gli eventi sono stati identificati con i sottoinsiemi dello spazio Ω, essi
possono essere collegati tra loro mediante le operazioni insiemistiche di unione,
intersezione e complementare.
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Poich´e gli eventi sono stati identificati con i sottoinsiemi dello spazio Ω, essi
possono essere collegati tra loro mediante le operazioni insiemistiche di unione,
intersezione e complementare.
Esempio: Nel lancio di un dado, consideriamo gli eventi A: ”esce un numero pari” B: ”esce un numero minore o uguale a 3” Risulta allora
. A = { 2 , 4 , 6 }, B = { 1 , 2 , 3 } . A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } (”esce un numero diverso da 5”)
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Poich´e gli eventi sono stati identificati con i sottoinsiemi dello spazio Ω, essi
possono essere collegati tra loro mediante le operazioni insiemistiche di unione,
intersezione e complementare.
Esempio: Nel lancio di un dado, consideriamo gli eventi A: ”esce un numero pari” B: ”esce un numero minore o uguale a 3” Risulta allora
. A = { 2 , 4 , 6 }, B = { 1 , 2 , 3 } . A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } (”esce un numero diverso da 5”) . A ∩ B =
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Poich´e gli eventi sono stati identificati con i sottoinsiemi dello spazio Ω, essi
possono essere collegati tra loro mediante le operazioni insiemistiche di unione,
intersezione e complementare.
Esempio: Nel lancio di un dado, consideriamo gli eventi A: ”esce un numero pari” B: ”esce un numero minore o uguale a 3” Risulta allora
. A = { 2 , 4 , 6 }, B = { 1 , 2 , 3 } . A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } (”esce un numero diverso da 5”) . A ∩ B = { 2 } (”esce il numero 2”) . Ac^ =
Calcolo delle probabilit`a
Eventi aleatori
Poich´e gli eventi sono stati identificati con i sottoinsiemi dello spazio Ω, essi
possono essere collegati tra loro mediante le operazioni insiemistiche di unione,
intersezione e complementare.
Esempio: Nel lancio di un dado, consideriamo gli eventi A: ”esce un numero pari” B: ”esce un numero minore o uguale a 3” Risulta allora
. A = { 2 , 4 , 6 }, B = { 1 , 2 , 3 } . A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } (”esce un numero diverso da 5”) . A ∩ B = { 2 } (”esce il numero 2”) . Ac^ ={1,3,5} (”esce un numero dispari”).
Calcolo delle probabilit`a
Frequenze
Sia E un evento relativo ad un esperimento aleatorio. Supponiamo di ripetere
l’esperimento N volte. Il numero di volte in cui, su N prove, si realizza l’evento
E si chiama frequenza assoluta (F (E )).
Il rapporto f (E ) := F^ N(E )si dice invece frequenza relativa. Risulta ovviamente
0 ≤ F (E ) ≤ N e 0 ≤ f (E ) ≤ 1.
La frequenza di un evento E varia al variare del numero N delle prove. Inoltre,
pur mantenendo fisso N , per lo stesso evento E e nelle stesse condizioni (ad
esempio, nel lancio di una moneta, eseguendo altri N lanci senza cambiare
moneta), le frequenze di ogni insieme di prove potrebbero risultare diverse.
Tuttavia l’esperienza mostra che, se il numero N di prove `e abbastanza grande,
i valori delle frequenze differiscono di poco l’uno dall’altro.
In altre parole, al crescere di N , f (E ) converge ad un valore (compreso tra 0 e
Calcolo delle probabilit`a
Frequenze
Sia E un evento relativo ad un esperimento aleatorio. Supponiamo di ripetere
l’esperimento N volte. Il numero di volte in cui, su N prove, si realizza l’evento
E si chiama frequenza assoluta (F (E )).
Il rapporto f (E ) := F^ N(E )si dice invece frequenza relativa. Risulta ovviamente
0 ≤ F (E ) ≤ N e 0 ≤ f (E ) ≤ 1.
La frequenza di un evento E varia al variare del numero N delle prove. Inoltre,
pur mantenendo fisso N , per lo stesso evento E e nelle stesse condizioni (ad
esempio, nel lancio di una moneta, eseguendo altri N lanci senza cambiare
moneta), le frequenze di ogni insieme di prove potrebbero risultare diverse.
Tuttavia l’esperienza mostra che, se il numero N di prove `e abbastanza grande,
i valori delle frequenze differiscono di poco l’uno dall’altro.
In altre parole, al crescere di N , f (E ) converge ad un valore (compreso tra 0 e
Legge dei grandi numeri: In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte
nelle stesse condizioni, un evento aleatorio si verifica con una frequenza relativa
che varia poco al variare del numero delle prove e le variazioni, in generale,
sono tanto piu piccole quanto piu grande `e il numero delle prove ripetute.
Calcolo delle probabilit`a
Probabilit`a
E’ possibile (a priori) associare ad un evento E un valore compreso tra 0 e 1
che consenta di prevedere la frequenza relativa dell’evento stesso in un gran
numero di prove?
Per quanto visto, `e ragionevole pensare che, per ogni evento E , esista un valore
P(E ), compreso tra 0 e 1, intorno al quale oscilla la frequenza di E , in un gran
numero di prove.
Calcolo delle probabilit`a
Probabilit`a
E’ possibile (a priori) associare ad un evento E un valore compreso tra 0 e 1
che consenta di prevedere la frequenza relativa dell’evento stesso in un gran
numero di prove?
Per quanto visto, `e ragionevole pensare che, per ogni evento E , esista un valore
P(E ), compreso tra 0 e 1, intorno al quale oscilla la frequenza di E , in un gran
numero di prove.
. La probabilitae una funzione a valori reali, definita sullo spazio di tutti i
possibili sottoinsiemi di Ω (eventi), tale che
1 P(Ω) = 1;
2 0 ≤ P(E ) ≤ 1 , per ogni E ⊂ Ω.
Calcolo delle probabilit`a