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RADICE QUADRATA - ALGORITMO DI ERONE
Def. L’algoritmo di Erone è un procedimento che permette di calcolare la radice quadrata di un numero.
Procedimento Si sceglie un numero reale 𝑥 0 > 𝑘e si costruisca il rettangolo di area
𝑘 e dimensioni 𝑥 0 e.
Si calcola la media aritmetica di 𝑥 0 , (dimensioni del rettangolo) :
2 (𝑥^0 +^
e si costruisce il nuovo rettangolo di area 𝑘 e dimensioni 𝑥 0 e.
Il numero 𝑥 1 approssima il numero 𝑘 per eccesso, mentre
approssima per difetto :
Procedendo così le approssimazioni dei rettangoli forniranno approssimazioni della radice sempre più precise
RADICE QUADRATA METODO CATALDI
CALCOLO INTEGRALE - METODO MONTECARLO
Def. Il metodo Montecarlo è un procedimento che possiamo usare per il calcolo di πo per il calcolo dell’area sottesa da una curva.
CALCOLO DI πCON MONTECARLO Consideriamo una circonferenza di raggio 𝑟 = 1, inscritta in un quadrato di lato 𝑙 = 1 e area 𝐴 = 1.
Di questa figura consideriamo il primo quadrante: tutti i punti di coordinate con ascissa compresa tra [0; 1]e che distano a meno di 1 dall’origine, ovvero 𝑥^2 + 𝑦^2 < 1 descrivono l’area della semicirconferenza, mentre i punti che distano più di 1 dall’origine, ovvero 𝑥^2 + 𝑦^2 > 1, non appartengono all’area della semicirconferenza.
Se scegliamo casualmente i numeri all’interno del quadrato, il rapporto tra i punti che appartengono al quadrato di circonferenza e quelli che appartengono al quadrato saranno in egual rapporto delle due aree ( π 4 ) :
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑑𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 =^
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 =^
π 𝑟^2 (2𝑟)^2
π 4
METODI DI RICERCA ZERI DELLA FUNZIONE
TEOREMA DEGLI ZERI (BOLZANO) : 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → ℜ ,𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎
METODO DI BISEZIONE
E’ il metodo più semplice : si considera l’intervallo [𝑎, 𝑐] con 𝑐 punto medio fra 𝑎 e 𝑏, e si calcola il valore della funzione nei due estremi. Si controlla la concordanza di segno fra il punto medio e i due estremi per far valere il teorema di Bolzano:
- Se 𝑓(𝑐) · 𝑓(𝑎) < 0 allora proseguiamo la bisezione nell’intervallo [𝑎; 𝑐]
- Se 𝑓(𝑐) · 𝑓(𝑏) < 0allora proseguiamo la bisezione nell’intervallo [𝑐; 𝑏]
Si continua a dimezzare l’intervallo che contiene lo zero finchè non è minore della precisione che interessa.
METODO DELLE SECANTI - DELLA CORDA
Si considera l’intervallo [𝑥 0 , 𝑥!]e si definisce lo zero della retta secante passante per i punti
(𝑥 0 , 𝑦 0 ) e (𝑥 1 , 𝑦 1 ).
Utilizzando l'approssimazione della derivata della funzione, che viene calcolata come la retta per gli estremi dell’intervallo di studio (corde). Lo zero del punto secante diventa il nuovo estremo nei seguenti casi :
- Se 𝑓(𝑐) · 𝑓(𝑎) < 0 allora proseguiamo la bisezione nell’intervallo [𝑎; 𝑐]
- Se 𝑓(𝑐) · 𝑓(𝑏) < 0allora proseguiamo la bisezione nell’intervallo [𝑐; 𝑏]
Ci si avvicina al punto di zero sfruttando una approssimazione della derivata della funzione. Il nuovo punto - più vicino allo zero - è dato dall’intersezione della corda con l’asse x
Si continua a dimezzare l’intervallo che contiene lo zero finchè non è minore della precisione che interessa.
