CALCOLO NUMERICO
Cos’è?
L'analisi numerica (de0a anche calcolo numerico o calcolo scien3fico) è una branca della matema3ca applicata che
risolve i modelli prodo; dall'analisi matema3ca alle scomposizioni finite normalmente pra3cabili, coinvolgendo il
conce0o di approssimazione.
Quali possono essere campi a cui può essere applicata?
Campi applica3vi: calcolo stru0urale, studi di fluidodinamica, meteorologia, studi di economia e finanza.
Perché lo si usa(obie:vo)?
Si usa perché non è sempre facile determinare un valore numerico che dovrebbe rappresentare la soluzione
(ricorrendo a delle soluzioni approssimate), essendo la maggior parte dei problemi matema3ci non risolubili
anali3camente presentando un vasto numero di incognite che pur risolubili in valore elementari, richiederebbero
molto tempo (che si cerca di ridurlo al minimo possibile).
I metodi numerici infa; si pongono l'obie;vo di approssimare la soluzione del problema al contorno dato (che
naturalmente deve essere ben posto) con una sua approssimazione opportunamente (univocamente) definita e
costruibile con l'ausilio di un elaboratore ele0ronico.
Su quali tecniche si basa?
La determinazione di soluzioni approssimate si basa su due di
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fferen3 tecniche:
- discre2zzazione (processo di approssimazione di un problema con3nuo o di una funzione con3nua a0raverso
l'u3lizzo di metodi e algoritmi numerici);
- approssimazioni successive (metodi itera3vi; algoritmi u3lizza3 per approssimare soluzioni di problemi matema3ci
a0raverso una serie di iterazioni ripetute. Ques3 metodi sono par3colarmente u3li quando non è possibile o0enere
una soluzione esa0a in modo dire0o o quando il calcolo di una soluzione esa0a richiede un tempo o una complessità
computazionale eccessivi).
Calcolo di pigreco con il metodo Montecarlo: COD.1
Si tra0a di un metodo di calcolo fondato su procedimen3 di 3po probabilis3co. Il nome deriva dall’estrazione di
numeri casuali ed è stato realizzato durante il proge0o Manha0an per la realizzazione della bomba atomica. Consiste
nel rappresentare la soluzione di un problema come un parametro cara0eris3co di una data popolazione e nello
s3mare il valore del parametro analizzando un campione della popolazione, o0enuto generando numeri casuali.
Campi applica3vi: sta3s3ca, l'analisi numerica e descrizione di fenomeni di 3po probabilis3co.
Il metodo si basa sulla probabilitàP che un punto scelto a caso all’interno del quadrato si trovi all’interno del cerchio.
L'applicazione del metodo Monte Carlo consiste nel generare una "pioggia" di pun3 all'interno del quadrato e
contare quan3 di essi cadono nel cerchio. Per un numero sufficientemente grande di pun3, il rapporto tra il numero
di pun3 nel cerchio e il numero N di pun3 "lancia3", tende al rapporto tra le aree, ossia: pigreco= nr.pun3 nel
cerchio/ nr. pun3 lancia3.
Determinazione degli zeri di una funzione con il metodo di bisezione: COD.2
In analisi numerica il metodo di bisezione (o algoritmo dicotomico) è il metodo numerico più semplice per trovare le
radici di una funzione. La sua efficienza è scarsa e presenta lo svantaggio di richiedere ipotesi par3colarmente
restri;ve. Ha però il notevole pregio di essere stabile in ogni occasione e quindi di garan3re sempre la buona riuscita
dell'operazione.
La procedura di ricerca di una soluzione approssimata si divide in due fasi: la separazione delle radici e il calcolo delle
soluzioni approssimate entro i limi3 di precisione richies3.
La separazione delle radici può essere effe0uata in due modi: a0raverso un'analisi grafica o in modo anali3co.
Nell'analisi grafica, si esamina sommariamente il grafico della funzione per individuare gli intervalli in cui avvengono
le intersezioni con l'asse delle ascisse ed è possibile considerare la funzione come la somma o la differenza di due
funzioni più semplici, e l'equazione originale viene riscri0a come l'uguaglianza tra queste due funzioni. L'intersezione
tra le due funzioni rappresenta le ascisse delle radici cercate. Nell'analisi anali3ca, si sfru0ano le proprietà delle
funzioni con3nue e delle derivate. Se viene trovato un intervallo [a, b] in cui la funzione cambia segno ma la sua
derivata prima man3ene lo stesso segno, allora nell'intervallo considerato esiste una sola radice della funzione, e
quindi [a, b] rappresenta un intervallo di separazione.
Uno dei metodi di risoluzione numerica più comuni è il metodo di bisezione.
