scriviamo i coefficienti del polinomio in un vettore in modo ordinato p=[] individuiamo in che intervallo vogliamo valutare il polinomi x=x1: distanza: x y=polyval(p, x) valuta il polinomio p nell’intervallo x pd=polyder (p,n) derivata n del polinomio p

Norme

vettoriali y=norm(v) norma euclidea, norma 2 norm(v,2) radice della sommatoria dei quadrati degli elementi norm (v, inf) norma infinito modulo massimo del vettore(restituisce l’elemento più grande in valore assoluto) norm(v, 1) norma uno sommatoria del modulo dei suoi elementi matriciali norma infinito : massima somma degli elementi per riga norma 1: massiama somma degli elementi per colonna norma 2: l’autovalore massimo della matrice semidefinita positiva della matrice A’*A, spettrale matrice di permutazione, una matrice ottenuta permutando le righe della matrice identita. matrice di hessemberg superiore: matrice con tutti elementi nulli sotto la dig- 1 matrice di valdermonde è una matrice che mette a ultima colonna 1, alla n-1 x e alla n-2 3 x^2, fino x^n… x: vettore A=vander(x) matrice di hilbert: matrice mal condizionata formata dai reciproci delle posizioni dei valori nella matrice hilb(n) genera la matrice di Hilbert Hn di ordine n;

CONDIZIONAMENTO

K(A)= || A|| ||A-^1 || se K(A) è circa = 1, allora il sistema è ben condizionato cond(A,1) fornisce il numero di condizionamento in norma 1 del sistema Ax = b; (cond(A)) cond(A,inf) fornisce il numero di condizionamento in norma infinito del sistema Ax = b;

RISOLUZIONE

se A è diagonale , allora xi= bi/ aii se A è triangolare superiore :metodo di sostituzione all’indietro se A è triangolare inferiore : metodo di sostituzione in avanti se A non ha una forma particolare: metodo di Gauss

metodo di sostituzione in avanti

function x = avanti(A,b) n = length(b); x = zeros(n,1); x(1) = b(1)/A(1,1); for i = 2:n s = A(i,1:i-1)*x(1:i-1); x(i) = (b(i)-s)/A(i,i); end

metodo di sostituzione all’indietro

function x = indietro(A,b) n = length(b); x = zeros(n,1); x(n) = b(n)/A(n,n); for i = n-1:-1: s = A(i,i+1:n)*x(i+1:n) L.x(i) = (b(i)-s)/A(i,i); end

Metodo di eliminazione di Gauss

risoluzione di sistemi di tipo Ax=b, si adopera quando A non ha una forma particolare(diagonale, triangolare, simmetrica,…) nel caso in cui akk è diverso da 0; quindi quando non ci sono scambi:

FATTORIZZAZIONE

A=LU

si esegue nel caso in cui non sono previsti scambi di riga il metodo di gauss L = matrice triang inf dei moltipolicatori con diag unitaria U= matrice triang sup del sistema equivalente al sistema di partenza agg all’algoritmo di gauss a posto del metodo della sostituzione : L = tril(A,-1)+eye(n); U = triu(A);

PA =LU

Si esegue in caso di scambi P matrice di permutazione app: risoluzione sistemi lienari Ax=b, Pax=Pb, LUx=Pb : sistema tra Ly=Pb Ux=y risoluzione di più sistemi lineari : sistema tra Ly=Pbi Uxi =y determinate det(P)det(A)=det(L)det(U) det(L)=1, det(P)=(-1)s^ con s n di interazioni: =(-1)sdet(U inversa (PA)-^1 = (LU)-^1 A-^1 = L-^1 U-^1 P

PIVOTING PARZIALE

caso in cui akk è molto piccolo e viene sostituito anche se è diverso da zero in modo da non generare errore

x = A\b : calcola la soluzione x di Ax = b con il metodo delle eliminazioni di Gauss con

pivoting parziale. Se la matrice A non soddisfa nessuna delle caratteristiche previste (triang,diag...), allora viene calcolata la fattorizzazione PA = LU

[L,U,P] = lu(A) :calcola i fattori L, U, e P della fattorizzazione PA = LU di A.

det(A) : determinante di A inv(A) : inversa di A function x = gauss noscambi(A,b) n = length(b); for k = 1:n- 1 for i = k+1:n A(i,k) = A(i,k)/A(k,k); for j = k+1:n A(i,j) = A(i,j)-A(i,k)A(k,j); end b(i) = b(i)-A(i,k)b(k); end end %metodo di sostituzione all’indietro x = zeros(n,1); x(n) = b(n)/A(n,n); for i = n-1:-1: x(i) = (b(i)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); end