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FUNZIONI POLINOMIALI
Un polinomio è una somma non riducibile di monomi:
x y^2 2 + 12 xy + 36 − x z^2 2 è un polinomio nelle variabili x , y , z 2 2 12 36
x x y y
− + non è un polinomio
FUNZIONI POLINOMIALI
Una funzione R → Rè detta polinomiale se la variabile dipendente y è legata alla variabile indipendente
x da un polinomio P x( ) = a xn n + an − 1 x n^ −^1 + an − 2 x n−^2 + ...........+ a x 2 2 + a x 1 +a 0
Se P ( x ) è un polinomio di primo grado la funzione è detta lineare ed il grafico è rappresentato da una retta. Se P ( x ) è un polinomio di secondo grado la funzione è detta quadratica ed il grafico è rappresentato da una parabola.
DERIVATA
A una funzione f : D → I D, ⊆ R I, ⊆ Rcontinua in D è talvolta possibile associare una funzione f ’ detta
derivata prima di f. L’operatore derivata D gode delle seguenti proprietà:
D (^) ( cf (^) ( x (^) )) = cD (^) ( f (^) ( x (^) )) =cf '( x)
D (^) ( f ( x ) ± g ( x )) = D (^) ( f ( x )) ± D (^) ( g ( x )) = f ' ( x ) ±g '( x) D (^) ( f (^) ( x (^) ) ⋅ g (^) ( x (^) )) = D (^) ( f (^) ( x (^) )) g (^) ( x (^) ) + f (^) ( x (^) ) D (^) ( g (^) ( x (^) )) = f ' (^) ( x g) ( x (^) ) ±f (^) ( x g) '( x)
( ( )) ( ) ( ) ( ( ))
D D ' '
D
f x f^ x^ g^ x^ f^ x^ g^ x f x g x f x g x g x g x g x
=^ =
D (^) ( f (^) ( g ( x ))) = D (^) ( f (^) ( g ( x) (^) )) ⋅ D (^) ( g ( x )) =f ' (^) ( g ( x )) g '( x)
REGOLE DI DERIVAZIONE
D ( c )= 0
D ( x )= 1
( ) D x 2 = 2 x
( )
D
x x
( )
1 2 2
D x x x
D (^) ( x n^ ) =nxn −^1
D (^) ( ) ex =ex
D (^) ( ekx (^) )=kekx
D ln x x
D ln kx x
D sin( x )=cosx
D sin ( kx )=k coskx
D cos ( x )= −sinx
D cos ( kx )= −k sinkx
Calcolare la derivata della funzione f : x → x^4 − 3 x 2 + 4 x− 2
La funzione è polinomiale, per calcolare la derivata si devono utilizzare la proprietà D (^) ( cf ( x )) =cf '( x)
D (^) ( f (^) ( x (^) ) ± g (^) ( x (^) )) = D (^) ( f (^) ( x (^) )) ± D (^) ( g (^) ( x (^) )) = f ' (^) ( x (^) ) ± g '( x)e la regola di derivazione delle potenze
( ) D x n^ = nxn −^1. La derivata della funzione è : f ' = 4 x 4 1−^ − 3 2⋅ x2 1 −^ + 4 − 0 = 4 x 3 − 6 x+ 4
Calcolare la derivata della funzione (^3 3 22 )
f :x x x x (^) x
La funzione non è polinomiale ma si può trasformare in una somma di potenze
2 1 f :x → x^3 − x 3 + x −^2 − x−^4 ,
per calcolare la derivata si devono utilizzare la proprietà e la regola di derivazione del precedente esercizio
la derivata della funzione è : (^) ( )
2 1 1 1 1 5 ' 3 3 1^2 3 2 2 1^1 4 3 2 2 3 4 3 4
f x x x x x x x x
− −^ − − ^ −^ −^ − − −
2 3 3 4
x x x x x
Calcolare la derivata della funzione 2 2 f : x → 2 e x^ − e x^ +ex
La funzione è esponenziale per calcolare la derivata oltre alle proprietà dei precedenti esercizi anche
D (^) ( f (^) ( g (^) ( x (^) ))) = f ' (^) ( g (^) ( x (^) )) g '( x)e le regole di derivazione delle esponenziali: D (^) ( e x^ )= ex, D (^) ( e kx^ )=kekx
La derivata della funzione è : 2 2 f ' = 2 e x^ − 2 e x^ + 2 x e⋅ x
Calcolare la derivata della funzione (^) f : x → 2 ln x − 3ln 2 x + ln 3 x −lnx^4
La funzione è logaritmica, per calcolare la derivata si devono utilizzare le proprietà dei precedenti esercizi e
le regole di derivazione dei logaritmi D ln( x ) 1
x
= , D ln( kx ) 1
x
=. La derivata della funzione è :
2 1 3 4
2 1 1 1 2 ln 1 1 ln 1 ' 3 2 ln 4 6 4 6
x x f x x x x x x x x x x x x
Calcolare la derivata della funzione f : x → sin x − cos x + cos 2 x −sin x^2.
La funzione è goniometrica, per calcolare la derivata si devono utilizzare le proprietà dei precedenti esercizi
e le regole di derivazione delle funzioni goniometriche D sin( x )= cosx, D sin( kx )= k coskx,
D cos ( x )= − sinx, D cos( kx )= −k sinkx. La derivata della funzione è :
( ) ( ) 2 2
1 sin ' cos sin 2 cos 2 2 cos cos 2cos 2 2 cos 2 cos 2 cos
x f x x x x x x x x x x x
l teorema di Fermat sui punti stazionari è un teorema dell'analisi matematica, che prende il nome da Pierre de Fermat. Il teorema fornisce un metodo per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione derivabile, mostrando che ogni punto di estremo locale è un punto stazionario della funzione (cioè
F = x +^ − ⋅ x +^ + x + − x + k = x − x + x − x +k
Calcolare le primitive della funzione (^3 3 22 )
f :x x x x (^) x
La funzione non è polinomiale ma si può trasformare in una somma di potenze
2 1 f :x → x^3 − x 3 + x −^2 − x−^4 ,
per calcolare le primitive si devono utilizzare la proprietà e la regola di integrazione del precedente
esercizio:
2 1 1 1 5 3 (^1) 3 1 1 3 1 2 1 (^1 4 1 4 3 ) 3 1 2 2 1 1 4 5 3 1 1 3 4
F x x x x k x x x x k
- +^ − + −^ + − = − + − + = − − − + =
- (^) + − + − +
x x x x k x
Calcolare la derivata della funzione : 1 2 2
f x → e^ x −ex
per calcolare le primitive si devono utilizzare la proprietà e la regola di integrazione della funzione
esponenziale e dxx^ = e x+k
nx 1 x e dx e k n
. Le primitive della funzione sono: 2
F = e x^ − e x+k
Calcolare la derivata della funzione : sin cos 2
f x → x+ x, per calcolare le primitive si devono utilizzare la
proprietà e la regola di integrazione delle funzioni goniometriche (^) sin xdx = − cosx +k
sin nxdx cosnx k n
, cos xdx = sinx +k
cos nxdx sinnx k n
. Le primitive della funzione sono:
F = − cos x + 2sinx +k
La conoscenza della tabella degli integrali indefiniti immediati è fondamentale per affrontare problemi di calcolo integrale, ma, non esiste un metodo generale che consenta di determinare l’integrale indefinito di una funzione continua assegnata. Esistono metodi, efficaci per molte funzioni, ma non applicabili in ogni situazione. Essi servono per trasformare opportunamente la funzione integranda riconducendola a forme già note o più facilmente calcolabili.
Metodo di integrazione per scomposizione. Si scompone la funzione integranda nella somma algebrica di più funzioni le cui primitive siano note o facilmente calcolabili. Gli esempi precedenti si basano su questa tecnica.
Metodo di integrazione per sostituzione. Si effettua un cambiamento di variabile per poter applicare in maniera più semplice metodi di risoluzione già noti. Di solito si applica nel caso del prodotto di due funzioni in cui una delle due è legata alla derivata dell’altra o di una sua parte.
In generale , per calcolare ∫ f ( x dx) con il metodo di sostituzione:
- si pone x = g t( ), oppure t = g −^1 ( x), con g t( )invertibile e dotata di derivata g '( t (^) )continua e non nulla.
- si calcola il differenziale dx , oppure dt
- si sostituisce nell’integrale dato ottenendo un integrale nella variabile t
- se si riesce a calcolare questo integrale e si trova come risultato una espressione del tipo G t( )+ c, per
scrivere il risultato in funzione di x si sostituisce g −^1 ( x)al posto di t.
Metodo di integrazione per parti
Si basa sul seguente teorema
Date due funzioni f ( x )e g x( )derivabili, con derivata continua, in un intervallo [ a b, ] ,allora
∫ f^ (^ x)^ ⋅^ g^ '(^ x dx)^ =^ f^ (^ x)^ ⋅^ g x(^ )^ −^ ∫ f^ '(^ x)^ ⋅g x dx(^ ).
Calcolare le primitive della funzione
2
f : x → xex : ( )
x^2 xe dx = F x +k
Poiché D x 2 = 2 xsi può utilizzare la regola della sostituzione, posto 2
x = t → xdx = dt → xdx = dt
sostituendo nell’integrale si ottiene
xe x^ dx = e dtt^ = e dtt^ = et + k = e x +k
∫ f^ (^ x)^ ⋅^ g^ '(^ x dx)^ =^ f^ (^ x)^ ⋅^ g x(^ )^ −^ ∫f^ '(^ x)^ ⋅g x dx(^ )
Calcolare le primitive della funzione f : x → xex: xe dxx = F ( x )+k
Non vi è alcun legame in termini di derivate fra le due funzioni x → xe x → ex, non si può utilizzare la
regola della sostituzione, utilizzando la regola di integrazione per parti; posto f ( x ) = x → f ' ( x)= 1 ,
g ' ( x ) = ex → g ( x )= ex, applicando il teorema di integrazione per parti si
ottiene xe dxx^ = xe x^ − e dxx^ = xe x^ − e x+k
Calcolare le primitive della funzione : 1
x x
e f x e
: (^) ( ) 1
x x
e dx F x k e
Poiché D 1 2 1
x x x
e e e
si può utilizzare la regola della sostituzione, posto
x x x x x
e e t e dx dt dx dt e e
sostituendo nell’integrale si
ottiene (^2 2 2 2 ) 1
x x x
e dx dt dt t k e k e
Calcolare le primitive della funzione
ln^3 :
x f x x
ln^3 x dx F x k x
Poiché
D ln x x
= si può utilizzare la regola della sostituzione, posto
ln x t dx dt x
= → = sostituendo
nell’integrale si ottiene
3 ln (^3 1 4 1) ln 4 4 4
x (^) dx t dt t k x k x
Il valore dell’integrale definito è un numero e non dipende da x , variabile d’integrazione, quindi per
esempio ( ) ( )
b b a a ∫ f^ x dx^ =∫ f^ t dt.^ Per convenzione si pone :^ ( )^0
a a ∫ f^ x dx^ = e
( ) ( ) se
a b b a ∫ f^ x dx^ = −^ ∫ f^ x dx^ b^ >a.
Una fondamentale proprietà dell’integrale definito è quella di essere un operatore lineare, vale a dire: se
f ( x )e g x( ) sono funzioni continue in [ a b, ]allora
b b b a a a ∫ ^ f^ x^ +^ g x^ dx^ =^ ∫ f^ x dx^ +∫ g x dx
Se k è una costante e f ( x) è una funzione continua in [ a b, ]allora
b b a a ∫ k^ ⋅^ f^ x dx^ =^ k^ ⋅∫ f^ x
Valgono inoltre le seguenti proprietà:
se f ( x )è una funzione continua in un intervallo e a , b e c sono punti qualunque di tale intervallo si ha
c b c a a b ∫ f^ x dx^ =^ ∫ f^ x dx^ +∫ f^ x dx.
