Scarica Calcolo numerico, UNIFI e più Appunti in PDF di Calcolo Numerico solo su Docsity!
NORME DI VETTORI E DI MATRICI il concetto di norma è una generalizzazione del concetto di “lunghezza” di un vettore x ∈ Rn^ o di una matrice a ∈ Rnxn. Una norma vettoriale è una funzione da Rn^ in R: x → IIxII. La norma associa ad ogni vettore x ∈ Rn^ un numero. CASI PARTICOLARI DI NORME:
norma 1 :‖ x ‖ 1 =∑
i = 1 n
|^ x^ i |
norma 2 : ‖ x ‖ 2 =
√ (^) i∑ = 1 n
|^ x^ i |
2
=√ x
T x
norma ∞ :‖ x ‖ ∞ = max
i = 1 ,.. , n
|^ x^ i |
ERRORI ASSOLUTO E RELATIVO (x=valore esatto e x = sua approssimazione) Errore assoluto :^ e^ A = |x – x |, errore relativo :^ e^ R = e (^) A
| x |
=
| x − x |
| x |
,| x | ≠ 0 (si possono
scrivere anche con le norme). L’errore assoluto è influenzato dall’ordine di grandezza del dato, l’errore relativo non e influenzato dall’ordine di grandezza del dato. NORMA MATRICIALE una norma matriciale è una funzione da Rnxn^ → R: A → IIAII. Associa ad ogni matrice A ∈ Rnxn^ un numero IIAII. Ad ogni norma vettoriale è possibile associare una “corrispondente” norma
matriciale ‖ A ‖=
¿ x ∈ R n , x ≠ 0
‖Ax ‖
‖x ‖
norma 1 :‖ A ‖ 1 = max
j = 1 ,.. , n ∑ i = 1 n
|^ a^ ij|
norma 2 :‖ A ‖ 2 =√ max i = 1 ,… , n ❑ i ( A T A ) (^) (significa che si fa prima il prodotto tra le matrici, poi si trovano gli autovalori della matrice ottenuta (ATA-) con il prodotto e infine si fa la radice dell’autovalore più grande)
norma ∞ :‖ A ‖ ∞ = max
i = 1 ,.. , n
j = 1 n
|^ a^ ij|
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI REALI IN VIRGOLA MOBILE NORMALIZZATA (v.m.n) ± 0.a 1 a 2 …am βb, a1 0, m ≤ ∞ a 1 , a 2 ,…am : cifre del sistema di numerazione, è la mantissa b : numero intero in base β, è la caratteristica RAPPRESENTAZIONE IN MACCHINA DI NUMERI REALI I numeri reali di macchina hanno mantisse e caratteristiche rappresentabili esattamente con i bits a disposizione. Il limite sulla caratteristica delimita l’ordine di grandezza dei dati. n = bits a disposizione per la rappresentazione della caratteristica b, escluso il segno. Allora L ≤ b ≤ U , dove L = −(βn^ − 1), U = βn^ – 1, se b < L, underflow se b > U, overflow. L’insieme dei numeri di macchina è F:(β, m, L, U) Il limite sulla mantissa caratterizza la “precisione” con la quale l’elaboratore lavora. Sia x 0 un numero reale tale che la sua rappresentazione in v.m.n. richiede più di m cifre di mantissa, in questo caso x viene approssimato cioè viene sostituito da un numero reale ad esso “vicino” che è chiamato fl(x) ( floating di x ) la determinazione di fl(x) può avvenire mediante: troncamento : fl(x) = ±0.a1a2... am βb^ oppure arrotondamento : fl(x) = ±0.a1a2…am βb^ se am+1 < β/ oppure ±0.a1a2...(am + 1) βb^ se am+1 ≥ β/ ERRORI NELLA RAPPRESENTAZIONE Queste norme sono equivalenti:
‖ x ‖ ∞ ≤ ‖x ‖ 1 ≤ n ‖x ‖∞
‖ x ‖ ∞ ≤ ‖x ‖ 2 ≤ √ n ‖x ‖∞
1
√^ n^
‖x ‖ 1 ≤ ‖x ‖
2
≤ ‖ x ‖ 1
L’errore assoluto e (^) A = |x –fl(x)| dipende dalla caratteristica cioè dall’ordine di grandezza di x. L’errore relativo e (^) R = e (^) A
| x |
= | x − fl ( x )|
| x |
,| x | ≠ 0 non dipende dalla caratteristica ma dipende
dalla mantissa, da indicazioni sulla accuratezza (o precisione) con cui il dato è approssimato. PRECISIONE DI MACCHINA È la limitazione superiore all’errore relativo commesso nel rappresentare un numero x 0 in macchina: | x − fl ( x )|
| x |
≤ ε (^) m con x ∈ R, x 0. Se si opera per troncamento : ε (^) m = β1-m. Se si opera per arrotondamento :^ ε^ m = 1 2 β1-m. La conoscenza di^ ε^ m è fondamentale per valutare i risultati e scegliere le tolleranze. ε (^) m è la più piccola potenza della base β che viene “sentita” in macchina se sommata a 1. precisione semplice : β = 2, 32 bit disponibili per la rappresentazione: 1 bit per il segno della mantissa, 1 bit per il segno della caratteristica, n = 7, m = 23. precisione doppia : β = 2, 64 bit disponibili per la rappresentazione: 1 bit per il segno della mantissa, 1 bit per il segno della caratteristica, n = 10, m = 52. ARITMETICA FINITA Le 4 operazioni effettuate su numeri di macchina non producono necessariamente un numero di macchina, il risultato deve essere trasformato nel suo floating. Per x e y, numeri di macchina: x + y si scrive x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y)); x − y si scrive x ⊖ y = fl(fl(x) − fl(y)); x × y si scrive x ⊗ y = fl(fl(x) × fl(y)); x/y si scrive x ⊘ y = fl(fl(x)/fl(y)). L’errore relativo introdotto dalle quattro operazioni aritmetiche di macchina non supera la precisione di macchina: |(^ x^ +^ y^ )−(^ x^ ⊕^ y^ )|
| x + y |
≤ ε (^) m , |(^ x^ −^ y^ )−(^ x^ ⊖^ y^ )|
| x − y |
≤ ε (^) m , |( x × y )−( x ⊗ y )|
| x × y |
≤ ε (^) m , |( x / y )−( x ⊘ y )|
| x / y |
≤ ε (^) m Le operazioni di macchina non soddisfano tutte le proprietà delle quattro operazioni aritmetiche: vale la proprietà commutativa, non vale la proprietà associativa e non vale la proprietà distributiva SOMMA ALGEBRICA DI DUE NUMERI DI MACCHINA:
- si trasforma il numero con caratteristica minore in modo che i due numeri abbiano la stessa caratteristica (uno perde la forma v.m.n.)
- si sommano le mantisse (lasciando invariate le caratteristiche)
- si ricava il floating del risultato (si rinormalizza il numero troncando o arrotondando se necessario) PRODOTTO/DIVISIONE DI DUE NUMERI DI MACCHINA:
- si esegue il prodotto/divisione delle mantisse e si sommano/sottraggono le caratteristiche
- si ricava il floating del risultato (si rinormalizza il numero troncando o arrotondando se necessario) ALGORITMO È una sequenza finita di istruzioni assegnate in modo non ambiguo la cui esecuzione consente di passare da una situazione iniziale, i dati, ad una finale, i risultati, in un tempo finito. Un algoritmo deve possedere dei requisiti fondamentali: generalità (adatto a risolvere una classe di problemi) e ottimalità (rispetto al tempo, al numero di operazioni, alla stabilità…). Un algoritmo è stabile se, realizzato in aritmetica di precisione finita, restituisce i risultati accurati nei limiti della precisione con cui lavora. METODO DI BISEZIONE
3) |xk – xk-1| ≤ τ1|xk|+ τ2, ε (^) m ≤ τ1, τ2 << 1 -> controllo misto sulla distanza tra due iterate successive INTERPOLAZIONE È una tecnica usata quando i dati sono esatti, si cerca una funzione che passa per i punti assegnati. Dati (xi , yi), i=0,..,n (n+1 punti). Xi sono i nodi a due a due distinti cioè^ x^ i ≠^ x^ j se^ i^ ≠^ j^. Il problema dell’interpolazione consiste nel determinare una funzione g ∈ g t.c. g(xi) = yi , i = 0,... , n. Il polinomio interpolante è costruito per approssimare la funzione data e semplificare calcoli. INTERPOLAZIONE POLINOMIALE Si tratta di determinare un polinomio di grado al più n tale che P (^) n ( x (^) i )= y (^) i , i = 0 ,.. , n P ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +..+ a (^) n x n
. Il problema consiste nel risolvere un sistema lineare nelle incognite a 0 , a 1 ,.. , a (^) n. { a 0 + a 1 x 0 + ⋯ + a (^) n x (^0) n = y (^0) a 0 + a 1 x 1 + ⋯ + a (^) n x (^1) n = y (^1) ……… a 0 + a 1 x (^) n + ⋯ + a (^) n x (^) n n = y (^) n -> sistema di n+1 equazioni in n+ incognite la matrice dei coefficienti del precedente sistema è la matrice di Vandermonde V = ( 1 x 0 x (^0) 2 .... x (^0) n ⋮ …… ⋮ 1 x (^) n x (^) n 2 .... x (^) n n (^) ) se det(V)0( x (^) i ≠ x (^) j ) la matrice non è singolare,
det ( V )= ∏
i , j = 0 ,.. , n i > j ( x (^) i − x (^) j ) Esistenza e unicità : se i nodi x (^) i sono a due a due distinti, x (^) i ≠ x (^) j se i ≠ j , allora il polinomio interpolante di grado al più n esiste ed è unico FORMULAZIONE DI LAGRANGE DEL POLINOMIO INTERPOLANTE assegnati (xi , yi), i = 0,... , n si definiscono le basi di lagrange l 0 ( x ) , l 1 ( x ) ,... l (^) n ( x ) tali che l (^) j ( x ) è un polinomio di grado n, l (^) j ( x )= { 1 se i = j 0 altrimenti Il polinomio di Lagrange l (^) j ( x )ha la forma: l (^) j ( x )= (^ x^ −^ x^0 ) (^ x^ −^ x^1 )^ ∙^ ∙^ ∙^ (^ x^ −^ x^ j − 1 ) (^ x^ −^ x^ j + 1 )^ ∙^ ∙^ ∙^ (^ x^ −^ x^ n ) ( x (^) j − x 0 )( x (^) j − x 1 ) ∙ ∙ ∙ ( x (^) j − x (^) j − 1 )( x (^) j − x (^) j + 1 ) ∙ ∙ ∙ ( x (^) j − x (^) n ) P (^) n ( x (^) i )= l 0 ( x ) y (^) o + l 1 ( x ) y 1 + ….+ l (^) n ( x ) y (^) n Vantaggi : non è necessario risolvere sistemi lineari, se y (^) i =0 si può evitare il calcolo di l (^) i ( x ), i polinomi dipendono solo dai nodi. Svantaggio : aggiungere nodi costringe ad aggiornare le funzioni fondamentali l (^) i ( x ) già costruite e ad aggiungerne di nuove. FORMULAZIONE DI NEWTON DEL POLINOMIO INTERPOLANTE Permette di aggiungere dati in modo molto conveniente. Assegnati (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), …, (xn, yn) la rappresentazione di newton ha la forma P (^) n ( x )= A 0 + A (^1) ( x − x (^0) ) + ….+ A (^) n ( x − x (^0) ) ( x − x (^1) ) ∙ ∙ ∙ (^) ( x − x (^) n − 1 ) Gli scalari^ A^0 ,^ A^1 ,..^ ,^ A^ n si possono calcolare usando le differenze divise (DD). Le DD sono quantità definite mediante formule di ricorrenza, la DD di ciascun grado dipende da quella di grado inferiore, sono associate ad una funzione y=f(x) tale che yi=f(xi).
DD di ordine 0 relativa a x i : f [ x i ]= f ( x i )= y i
DD di ordine 1 relativa a x i , x i + 1 : f [ x i , x i + 1 ]=
f [ x i + 1 ]− f [ x i ]
x (^) i + 1 − x (^) i
y (^) i + 1 − y (^) i x (^) i + 1 − x (^) i
DD di ordine 2 relativa a x i , x i + 1 , x i + 2 : f [ x i , x i + 1 , x i + 2 ]=
f [ x i + 1 , x i + 2 ]− f [ x i , x i + 1 ]
x (^) i + 2 − x (^) i
DD di ordine n relativa a x 0 ,…. , x n : f [ x 0 ,… , x n ]=
f [ x 1 , x n ]− f [ x 0 , x n ]
x (^) n − x (^0) A 0 = f[ x 0 ] = y 0 , DD di ordine 0 relativa a x 0 ; A 1 = f[ x 0 , x 1 ], DD di ordine 1 relativa a x 0 , x 1 ; A 2 = f[ x 0 , x 1 , x 2 ] DD di ordine 2 relativa a x 0 , x 1 , x (^2) L’ordine dei nodi non influisce sul polinomio, inoltre, possiamo aggiungere punti e sfruttare i conti già fatti e aggiungendo solo quelli per i punti nuovi. ERRORE DI INTERPOLAZIONE Si stima l’errore commesso nell’approssimazione con il polinomio interpolante in punti diversi dai nodi xi. L’ errore di interpolazione in x ∈ (a, b), x xi ∀i è: En( x ) = f( x ) − pn( x ) l’errore En si può scrivere nella forma En ( x )= (^ x^ −^ x^0 ) (^ x^ −^ x^1 )^ ∙^ ∙^ ∙^ (^ x^ −^ x^ n ) ( n + 1 )! f ( n + 1 ) (^) ( ξ ) ξ ∈ ¿ a , b ¿ Fissato n, se (b−a) → 0 allora |En( x )| → 0. Al contrario, fissato [a,b] non è assicurato che l’errore En( x ) tenda a zero all’aumentare di n. FUNZIONI SPLINES Assegnati l’intervallo [a, b] ed i nodi Z 0 , Z 1 ,.., Zm+1 dove a=Z 0 1: si approssimano i dati con un polinomio di grado k: y = P ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +..+ a (^) k x k . SI LAVORA SUL VETTORE DEVIAZIONE (o vettore errore) d = ( y 1 − P (^) ( x (^1) ) , y 2 − P (^) ( x (^2) ) ,… , y (^) n − P (^) ( x (^) n ) ). Per determinare la retta o il polinomio che “meglio approssima” i dati si determina la retta o il polinomio che minimizza la distanza dell’approssimante dai dati (si minimizza la norma). Il polinomio di migliore approssimazione ai minimi quadrati è quel polinomio che minimizza il quadrato della norma 2 del vettore deviazione. RETTA DI MIGLIORE APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI
Si divide l’intervallo di integrazione [a, b] in m sottointervalli di ampiezza uguale h¿ b − a m e indichiamo con x0 < x1 < · · · xm i punti della partizione. x0 = a, xi = a+ih, xm = a + m ( b − a m ) = b,^ x^ i + 1 −^ x^ i =^ h^ ∀i
Scelta una formula di quadratura, applichiamo tale formula ad ogni integrale ∫
x (^) i x (^) i + 1 f ( x ) dx
