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R ETI IN REGIME SINUSOIDALE.
1 Proprietà delle funzioni sinusoidali isofrequenziali nella forma coseno.
Nel funzionamento in regime alternato sinusoidale isofrequenziale le tensioni e le correnti della rete sono tutte funzioni sinusoidali con la stessa pulsazione ω , di queste funzioni nel seguito si userà soltanto la forma coseno. Questo comporta che la forma seno verrà trasformata avvalendosi della eq.1.1.
1.1 ± sen ( ω t + α)=cos( ω t + αm π/ 2 )
Tratteremo quindi sempre funzioni del tipo indicato nella eq.1.2, con la forma precisata nella Fig.1.1, in cui FM^ prende il nome di valore massimo,^ α^ prende il nome di fase iniziale
(spostamento dell’origine dell’asse ω t rispetto al massimo positivo della cosinusoide) e la
pulsazione ω è legata al periodo T ed alla frequenza f come è indicato ancora nella eq.1.2.
1.2 f ( t )= FM cos( ω t + α) ω = 2 π / T = 2 π f
ω T
FM
0 ω t
α
Fig.1.1 Funzione alternata sinusoidale nella forma coseno ⇒ FM cos ( ω t + α ).
Si definisce valore medio Fm della funzione f ( t ) la quantità indicata nella eq.1.3,
mentre si chiama valore efficace F la quantità indicata nella eq.1.4 e fattore di forma il rapporto precisato nella eq.1.5.
1.3 M
T m f t dt Vm V T
F 0 , 636
0
T f t dt T
F
0
M
VM 0 , 707 V
m
f (^) F
F
K
Il valore efficace ha un preciso significato energetico: se, ad esempio, f ( t ) è una
corrente allora il valore efficace è quella corrente continua F che in un periodo dà luogo in
un resistore alla stessa energia che viene dissipata per effetto della corrente f ( t ) (come
dimostra la eq.1.6 per la tensione vale la frase duale).
1.6 = ∫
T RF T R f t dt 0
Il fattore K^ f è un indice della forma d'onda della grandezza alternata nel senso messo
in evidenza, per confronto, dalla Fig.1.2.
T V (^) M
t
V^ T M
t
V^ T M
T/
t
Kf = 1 Kf = 1.11 (^) Kf = 4/ 2 =2,
Fig.1.2 Fattori di forma per alcune funzioni alternate.
2 Modalità di rappresentazione delle funzioni coseno e seno.
2.1 Forma esponenziale con un fasore rotante.
Consideriamo nel piano dei numeri complessi con asse reale Re ed immaginario Im una
circonferenza di raggio FM e su di essa un punto P individuato dall’angolo al centro α , si
veda la Fig.2.1.
FM
F α Re
Im P
Fig.2.1 Il fasore F.
Il numero complesso F che individua P nel piano complesso è indicato nella eq.2.1. Se ora il punto P ruota sulla circonferenza, a partire dalla posizione iniziale individuata da
F , con velocità angolare ω allora la sua posizione è individuata dal numero complesso F *
indicato nella eq.2.2.
2.1 F = FM cosα + jFMsen α= FMej^ α
2.2 Forma cosinusoidale con due fasori controrotanti.
Questa rappresentazione, dovuta ad Eulero, è illustrata nella Fig.2.4a. Si consideri nel piano complesso la circonferenza di raggio FM / 2 e su questa i punti P / + e P − individuati dai due
fasori indicati nella eq. 2.7.
2.7 (cos sen ) 2 2
α α j α
F
e
F
F +^ = M^ j = M + (cos sen ) 2 2
α α j α
F
e
F
F −= M^ − j = M −
2.8 F +^ + F −= FM cosα= FM ( ej α^ + e − j α)/ 2 = FMChj α
P+
P-
α
Re
Im
FM/
Re
Im
FM/
ω
ω
F+
F-
a) b)
Fig 2.4 Rappresentazione con due fasori controrotanti di una funzione cosinusoidale
Si può constatare che la somma dei due fasori individua una cosinusoide di ampiezza F M , come è evidenziato nella eq.2.8. La stessa relazione individua poi anche il legame tra la
funzione cosinusoidale e la funzione coseno iperbolico.
Se ora i punti P + e P − ruotano sulla circonferenza con velocità angolare± ω, si veda
la Fig.2.4b, allora la somma dei due fasori rappresentativi della posizione di tali punti fornisce la funzione cosinusoidale oggetto di studio, come è indicato nella eq.2.9.
2.9 F +^ ej ω^ t + F − e − j ω t = FMCh [ j (ω t +α)]= FM cos(ω t + α)
In conclusione questo tipo di rappresentazione evita di introdurre l’operatore Re di proiezione sull’asse reale mediante l’introduzione di due fasori controruotanti di ampiezza pari a metà del valore massimo della cosinusoide. La rappresentazione con un solo fasore rotante viene privilegiata nella analisi delle reti a regime, quella con due fasori controrotanti nella analisi dei segnali. E’ possibile a questo punto verificare che nel caso della forma seno
f ( t )= FM sen ( ω t + α) e di rappresentazione con un solo fasore rotante si sarebbe dovuto
considerare la proiezione del fasore rotante Fej^ ω t^ sull’asse immaginario Im, mentre nel caso di rappresentazione con due fasori controrotanti si sarebbe trovato che
F M sen( ω t + α)= FMSh [ j ( ω t + α)]/ j.
Nel seguito, come gia detto, si adopererà la forma coseno.
3 Le operazioni con le funzioni sinusoidali e l’analisi delle reti elettriche
Nello studio delle reti elettriche in regime alternato sinusoidale le principali operazioni da compiere sono quelle di combinazione lineare e di derivazione: entrambe queste operazioni, come viene nel seguito dimostrato, sono di semplice esecuzione avvalendosi della rappresentazione mediante la proiezione sull’asse reale di un fasore rotante. Nella eq.3.1 si evidenzia che la combinazione lineare di più funzioni cosinusoidali si
valuta mediante la combinazione lineare F dei rispettivi fasori rappresentativi Fk dato che
gli operatori Re di proiezione e di somma ∑ sono tra loro invertibili.
3.1 [^ jt ]
k k
k k
jt jt k k k k
f t Ak FMk t AFe e AF Fe
( ) cos(ω α ) Re( ω) Re ω =Re^ ω
In particolare la cosinusoide somma di più cosinusoidi f ( t )= f 1 ( t )+ f 2 ( t )=Re[( F 1 + F 2 ) ej^ ω^ t ]è rappresentata da un fasore che è la somma dei fasori
rappresentativi delle singole cosinusoidi, si veda la Fig.3.1.
Re
Im
F 1
F 2
F
ω ω
f 1 (t) f 2 (t)^ f(t) = f 1 (t) + f 2 (t) Fig.3.1. Fasore somma
Nella eq.3.2 si evidenzia il fatto che la derivata di una cosinusoide è ancora una cosinusoide il cui fasore rappresentativo si ottiene moltiplicando quello della cosinusoide di
partenza per j ω , si veda la Fig. 3.2 (a questo punto è anche chiaro il risultato della derivata
di una combinazione lineare di cosinusoidi). Il risultato conseguito dipende dal fatto che anche l’operatore p derivata e l’operatore di proiezione Re sono tra loro invertibili.
Re( ) Re( )
cos( ) ( ) cos( / 2 ) jt j t
M M M j Fe pFe
pF t F sen t F t
ω ω^ ω
ω
jωF
pf(t) (^) f(t) Re
Im
F
Fig 3.2. Derivata di una cosinusoide
In merito ai "valori asintotici" della impedenza dei bipoli ideali (per l'ammettenza
valgono proposizioni duali), si può notare che per ω →∞ l'induttore si comporta come un
circuito aperto (impedenza al limite infinita), mentre il condensatore si comporta come un
corto circuito (impedenza al limite nulla), mentre per ω → 0 avviene il contrario. Il resistore
mantiene, invece, il suo comportamento qualunque sia il valore di ω , nel senso che la sua
impedenza ed ammettenza è indipendente dalla frequenza. Quanto all'effetto della connessione si nota che bipoli ideali in serie sono percorsi dalla stessa corrente e la tensione totale sulla serie dei bipoli è la somma delle tensioni sui singoli elementi. Ne consegue che l’impedenza di una serie di bipoli è la somma delle impedenze. Nel caso di connessione parallelo vale la frase duale. Fate queste precisazioni si constata che le reti R , L , C in regime alternato sinusoidale sono rappresentabili con il “circuito simbolico” in cui in luogo dei valori istantanei delle correnti e delle tensioni compaiono i corrispondenti fasori ed in luogo delle resistenze, induttanze e capacità le corrispondenti impedenze o le ammettenze a seconda della comodità di calcolo. Nella Fig.4.1 sono rappresentate due tipiche reti simboliche con le convenzioni di misura delle grandezze istantanee di lato rappresentate tramite i fasori (per le misure in tale regime si impiegano voltmetri ed amperometri a valore istantaneo, per i quali è essenziale rispettare il coordinamento della inserzione del voltmetro e dell’amperometro; è anche comune l'uso di strumenti a valore efficace ed in tal caso la misura è indipendente dalla modalità di inserzione dello strumento in relazione alla natura della operazione che lo strumento stesso è chiamato a compiere).
VC VL VR
V
I
C L^ R
I C
I L
I G
I
V
C
L
G
a) b)
Fig.4.1 Tipiche reti simboliche.
Per le due reti di Fig.4.1 l'impedenza e l'ammettenza simbolica sono rispettivamente quelle indicate nella eq.4.1 e 4.2, tra loro duali.
C
LC
R j C
R j L j C
Z R j L
L
LC
G j j L
Y G j C
Nel caso di reti che presentano un unico ingresso, come nella Fig.4.1 , la soluzione della rete prevedi i seguenti passaggi: si rappresenta l’ingresso con corrente/tensione con il corrispondente fasore, si calcola l’impedenza/ammettenza della rete ai morsetti dell’ingresso, si calcola il fasore risposta della rete tensione/corrente moltiplicando l’impedenza/ammettenza per il fasore d’ingresso; si torna nel dominio del tempo proiettando il fasore rotante dell’uscita sull’asse reale. Si nota che, grazie al teorema di sovrapposizione, la procedura ora indicata consente risultati del tutto generali.
I j V j Y j V j Z j I j it v t
vt it V j I j Y j Z j → = →
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
5 Funzioni di rete.
Consideriamo una rete normale passiva costituita da bipoli R , L , C ed evidenziamo in questa rete due coppie di morsetti una di ingresso AA ' ed una di uscita BB ' e convenzioni di misura per le tensioni e le correnti a queste due porte, si veda ad esempio la Fig.5.1.
A
A’
B
B’
R L
VA C VB
I A I B
Fig 5.1 Convenzioni di misura alle due porte della rete
Le funzioni di rete sono quelle evidenziate nella Tab.5.1, esse ci consentono di valutare:
- tramite l'impedenza la risposta in tensione alla porta di ingresso VA ad un generatore di corrente I (^) A collegato alla porta di ingresso: VA = ZIA ;
- tramite l'ammettenza la risposta in corrente della rete alla porta di ingresso I (^) A ad un generatore di tensione V (^) A collegato alla porta di ingresso: I (^) A = YVA ;
- tramite l'impedenza di trasferimento la risposta in tensione alla porta di uscita VB per effetto di un generatore di corrente alla porta di ingresso: VB = ZtIA ;
- tramite l'ammettenza di trasferimento la risposta in corente alla porta di uscita per effetto di un generatore di tensione alla porta di ingresso: I (^) B = YtVA ;
- tramite il guadagno in corrente la risposta in corrente alla porta di uscita per effetto di un generatore alla porta di ingresso: I (^) B = GIIA.
- tramite il guadagno in tensione la risposta in tensione alla porta di uscita per effetto di un generatore di tensione alla porta di ingresso: VB = GVVA ;
- L'impedenza (l'ammettenza) si presenta sempre come un rapporto tra due polinomi (con numeratore indicato nel seguito come N ( s ) e denominatore indicato come D ( s )). Dal momento che il comportamento asintotico di una rete è resistivo (si veda la rete di Fig.5.2a), induttivo (come.nel caso della Fig.5.1) o capacitivo (si veda la Fig.5.2b) tra il grado n *del polinomio al numeratore e quello d * del polinomio al denominatore di Z deve esistere una delle seguenti relazioni: n * = d *se la rete è asintoticamente resistiva, n * = d *+ 1 se la rete è asintoticamente induttiva e n * = d *− 1 se la rete è asintoticamente capacitiva.
R 1 C 1
C 2
A R^2 L^1
A’
C 1
C 2
L 1
R 1
R 2
A
A’ a) b)
Fig.5.2 a) Esempio di rete asintoticamente resistiva. b) Esempio di rete asintoticamente capacitiva.
- Considerate le n *radici del numeratore (e cioè della equazione N ( s )= 0 , zeri della impedenza, indicate nel seguito come zk ) e le d * radici del denominatore (e cioè della equazione D ( s )= 0 , poli della impedenza, indicate nel seguito come p (^) j ), supposte tra loro distinte, l'impedenza può esser trascritta come è indicato nella eq.5. (i poli della impedenza sono gli zeri della ammettenza e viceversa). La risposta in frequenza della rete (e cioè il comportamento della tensione/corrente ai morsetti di ingresso al variare della pulsazione della corrente/tensione impressa, a parità di ampiezza dell'ingresso) e, come si vedrà nel seguito, il comportamento transitorio della rete per effetto di un ingresso variabile nel tempo dipende dai poli e dagli zeri che vengono rappresentati in diagrammi del tipo in Fig.5.3 (dove i poli vengono convenzionalmente indicati con una croce e gli zeri con un piccolo cerchio). Lo studio della risposta in frequenza delle reti e le relative applicazioni sono demandate ai corsi pertinenti l'uso dei segnali elettrici.
1
1 s p s p Y s
s z s z g Ds
N s Z s d
n (^) = − −
Z s
Y s =
- Verrà nel seguito mostrato a proposito dei transitori che le reti R , L , C sono "stabili" e cioè una volta spostate da una condizione di equilibrio tornano ad essa se cessano le cause perturbative, questa proprietà è connessa al fatto che poli e zeri di tali reti si trovano nel semipiano sinistro del piano complesso e quindi sono numeri reali negativi oppure sono complessi coniugati con parte reale negativa.
Im
Re
Fig.5.3 Posizione dei poli (⊗) e degli zeri ( ) per la rete R,L,C.o
6 Energetica delle reti in regime alternato sinusoidale isofrequenziale.
Supponiamo di aver calcolato (o misurato) per la pulsazione ω di nostro interesse l'impedenza ai morsetti di ingresso di una rete nella forma indicata nella eq.6.1 e di averne quindi individuato la parte reale R (resistenza) ed il coefficiente X (reattanza) dell'unità immaginaria (misurate in [Ω ] ). Quest'ultima, si veda la Tab.4.1, sarà positiva se la rete ha
comportamento induttivo (cioè è equivalente ad un resistore ed un induttore in serie) e negativa se la rete ha comportamento capacitivo (cioè è equivalente ad un resistore ed un condensatore in serie). Potremo ora disegnare il "triangolo dell'impedenza" che, nella ipotesi di reattanza positiva, assume l'aspetto indicato in Fig.6.1a. A questo punto l'ammettenza è quella indicata nella eq.6.2 dove G è la conduttanza della ammettenza e B la suscettanza (misurate in [ S ]). ed il relativo triangolo è precisato
nella Fig.6.1b (in base a quanto evidenziato nella Tab.4.1 ad una reattanza positiva corrisponde una suscettanza negativa e viceversa).
6.1 R jX Ze j^ ϕ I
V
Z = = ± = ± Z = R^2 + X^2
R
X
tg ϕ=±
6.2 Ye j^ ϕ Z
X
j Z
R
G jB V Z
I
Y = = = m = 2 − 2 = m
G B
Z
Y = = +
Z(ω) jX(ω)
R(ω) (^) Re
Im
Y(ω)
-jB(ω)
G(ω)
Re
Im
a) b)
Fig.6.1 a) Triangolo della impedenza per reattanza positiva. b) Triangolo della ammettenza per suscettanza negativa.
Se ora la tensione applicata alla rete è del tipo indicato nella eq.6.3a ne consegue, in base alla eq.6.2, che la corrente assorbita è quella indicata nella eq.6.3b, dove I (^) M = YVM.
e di una logica atta a realizzare le operazioni implicite nella eq.6.5. Lo strumento di misura dell'energia è il contatore: si tratta di un wattmetro (quindi con equipaggio voltmetrico ed amperometrico) integratore che opera in conformità della eq.6.6. Si chiama potenza apparente A = VM IM / 2 = VI (e la si misura in voltampere [ VA ] ) la
massima oscillazione della potenza istantanea attorno al valore medio, si veda la Fig.6.2 e la eq.6.4. Si tratta di una grandezza di notevole significato ingegneristico se si pensa ai costi di realizzazione (e di gestione durante il ciclo di vita) di una rete industriale. Infatti il dimensionamento dell'isolamento elettrico della rete industriale deve esser commisurato al valore efficace della tensione, mentre il dimensionamento dei conduttori di adduzione della corrente deve esser commisurato (per ragioni di riscaldamento) al valore efficace della corrente: se ne conclude che la potenza apparente è un indice dell'impegno necessario per la costruzione e la gestione del sistema energetico. La eq.6.4 può esser poi elaborata come è indicato nella eq.6.7. Dal momento che
P = A cos ϕ, se definiamo "potenza reattiva" Q = ± A sen ϕ (misurata in voltampere reattivi
[VAR], con segno positivo per reti a comportamento induttivo e negativo per reti a comportamento capacitivo) la 6.7 porta alla eq.6.8 ed alla eq.6.9, che stabilisce il legame tra potenza attiva, reattiva ed apparente.
6.7 p ( t )= P + A cos[ 2 ( ω t + α)m ϕ)]= P + A cos ϕcos[ 2 ( ω t + α)]± Asen ϕ sen [ 2 ( ω t + α)]
6.8 p ( t )= P + P cos( 2 ω t + α)+ Q sen( 2 ω t + α)
6.9 A = P^2 + Q^2 P = A cos ϕ Q =± A sen ϕ
Le tre potenze P , Q , A possono esser meglio rappresentate avvalendosi della nozione di
"potenza complessa" nel seguito precisata.
Siano V , I (si veda la eq.6.10 e la Fig.6.4) i fasori rappresentativi della tensione e della corrente di una rete alla porta di ingresso, si chiama potenza complessa, si veda la eq.6.11, il semiprodotto del fasore tensione per il coniugato I * del fasore corrente. Si può constatare che la potenza complessa ha per parte reale la potenza attiva della rete e per coefficiente dell'unità immaginaria la potenza reattiva (positiva per rete di tipo induttivo). La potenza complessa si rappresenta nel piano complesso con il "triangolo delle potenze", si veda la Fig.6.5, particolarmente adatto ad evidenziare la natura energetica della rete tramite il segno della potenza reattiva. Nel seguito, allo scopo di evidenziare il segno di Q, si assumerà
Q=VIsen ϕ (si veda ad esempio eq.6.11).
6.10 V = VM ej^ α I = YV = YVM ej (α^ mϕ^ )= IMej (αm^ ϕ) I *= IM e − j (α^ m^ ϕ)
VI *
A = e P jQ V (^) M IM j = ±ϕ = ± 2
Questo triangolo, inoltre, evidenzia il fatto che l'onere costruttivo (e di gestione), espresso dalla potenza apparente A , è minimo se, a pari potenza attiva P (quella utile per le trasformazioni energetiche), è nulla la potenza reattiva Q (di qui il provvedimento di
"rifasamento" delle reti industriali discusso nel seguito).
V
I
Π
Fig.6.4 Fasori alla porta di una rete.
A
jQ
P Re
Im
A
-jQ
P
Re
Im
a) b)
Fig.6.5 Il triangolo della potenza complessa: a) per reti induttive A^ =^ P + jQ e b) per reti capacitive A = P − jQ.
Allo scopo di fissare le idee commentiamo ora la potenza istantanea per il caso di reti a comportamento "puro" e cioè resistive, induttive o capacitive.
Se Z = R la rete si comporta come un resistore, i fasori rappresentativi di tensione e corrente sono del tipo indicato in Fig.6.6a. I valori istantanei di tensione corrente ai morsetti sono esprimibili come è indicato nella eq.6.12, mentre la potenza istantanea è esprimibile come è indicato nella eq.6.13 ed è rappresentato nella Fig.6.6b.
6.12 v ( t )= VM cos( ω t ) i ( t )= IM cos( ω t ) VM = RIM
6.13 cos( 2 ) cos( 2 ) 2 2
( ) ()() cos^2 ( ) t P P t
V I V I
p t = vtit = VMIM ω t = M M + M M ω = + ω
V
Re
Im (^) I
v(t)
i(t)
p(t)
ωt
P
A
a) b)
Fig.6.6 a) Il diagramma dei fasori di una rete resistiva. b) La potenza istantanea di una rete resistiva.
V
Re
Im I
v(t) i(t)
p(t)
ωt
a) b)
Fig.6.8 a) Fasori per una rete capacitiva pura. b) Potenza istantanea per una rete capacitiva pura.
6.16 v ( t )= VM cos( ω t ) ) 2
() cos(
i t = IM ω t +
C
I
V M XCIM M
ω
6.17 ) sin( 2 ) 2
) cos( 2 2
cos( 2 2
( ) ()() t Q t Q t
V I
p t vtit M M ω π ω π = = ω + = + =−
7 Procedimento di Boucherot e rifasamento.
Supponiamo di conoscere per tutti i lati della rete (avendo impiegato convenzioni di misura coordinate per la tensione e la corrente, in particolare la convenzione degli utilizzatori) i fasori
Vk , I k rappresentativi della tensione e della corrente. Sicuramente i fasori tensione soddisfano
le LKT ed i fasori corrente le LKC ma altrettanto è vero anche per i coniugati I (^) k * dei fasori
corrente dato che per essi sono ordinatamente cambiate di segno tutte le parti immaginarie. In base allora al teorema di Tellegen deve valere la eq.7.1 dove la sommatoria è estesa a tutti i lati della rete. Ne consegue che la somma algebrica di tutte le potenze attive e di tutte le potenze reattive dei lati di rete sono nulle (solo la prima di tali frasi è giustificabile con il principio di conservazione dell'energia), come è indicato nella eq.7.2.
l
k k l
k k l
Vk I A ( P jQ ) 0
l
Pk 0 ∑ ± =
l
Qk 0
Per le reti (si pensi alle analogie) vale quindi la conservazione sia della potenza attiva, sia della potenza reattiva e questo consente di individuare la soluzione delle reti stesse per via energetica, mediante il così detto "procedimento di Boucherot", senza l'uso dei numeri complessi. Supponiamo infatti di conoscere il senso secondo cui fluiscono le potenze e di suddividere la rete oggetto di studio in sezioni successive in cui racchiudiamo lati percorsi dalla stessa corrente o sottoposti alla stessa tensione, si veda, per fissare le idee, la Fig.7.1. Se per una sezione, ad esempio la sezione 1 , conosciamo la potenza complessa assorbita dal bipolo B ed il modulo del fasore tensione o del fasore corrente è possibile ricavare tutte le
rimanenti grandezze di rete ed in particolare le potenze erogate dal generatore tramite la conservazione delle potenze.
V 4 V 3
V 2
V 1
I 4 I 3 I 2 I 1
X 4
B 3
R 4
G 3
C
B
Fig.7.1 Calcolo di una rete con il procedimento di Boucherot.
Infatti se, ad esempio, sono noti P 1 (^) , Q 1 , V 1 M allora I (^) 1 M = 2 A 1 / V 1 M con A 1 (^) = P 12 + Q 12. Nella sezione 2 si ha I (^) 1 M = I 2 M , P 2 (^) = P 1 , Q 2 (^) = Q 1 − XCI 22 , allora V (^) 2 M = 2 A 2 / I 2 M. Nella sezione 3 si ha V 3 (^) M = V 2 M , P 3 (^) = P 2 + G 3 V 32 M / 2 , Q 3 (^) = Q 2 + B 3 V 32 M / 2 allora 2 3
2 A 3 (^) = P 3 + Q e I (^) 3 M = 2 A 3 / V 3 M Nella sezione 4 si ha I (^) 4 M = I 3 M , P 4 (^) = P 3 + R 4 I 42 M / 2 , Q 4 (^) = Q 3 + X 4 I 42 M / 2 allora 2 4
2 A 4 (^) = P 4 + Q e V (^) 4 M = 2 A 4 / I 4 M
Viceversa se fossero note le condizioni alla porta 4 , dove è disposto il generatore, sempre con lo stesso procedimento si sarebbero ricavate le condizioni alla porta 1 dove è disposto il bipolo utilizzatore questa volta sottraendo le potenze sezione per sezione. Il procedimento di Boucherot rende particolarmente agevole il calcolo, tipicamente industriale, del "rifasamento". In effetti il produttore di energia elettrica, allo scopo di limitare la potenza apparente (che è indice, come prima detto, del costo di realizzazione e di gestione di una rete di distribuzione) a parità di potenza attiva (quella utile per le trasformazioni energetiche) impone agli utenti (tramite adeguata penale sulla tariffa di fornitura) che il fattore
di potenza delle reti utilizzatrici sia convenientemente alto ( cos ϕ *> 0 , 9 ).
Nel caso di cos ϕ < cos ϕ* gli utenti evitano la penale introducendo a monte della
propria rete Π una batteria di condensatori di capacità C adeguata, si veda la Fig.7.2. In effetti l'utente conosce lo stato energetico nella sezione 2 perché ricava la potenza attiva e quella reattiva (normalmente di tipo induttivo) che gli è necessaria come somma delle potenze attive e reattive dei carichi e conosce anche, si veda la Fig.7.3, la situazione energetica da realizzare nella sezione 1 perché è noto il fattore di potenza imposto dal fornitore dell'energia. Ne consegue allora la potenza reattiva QC della batteria di condensatori e la capacità C della
batteria come è indicato nella eq.7.3.
7.3 QC = Q 2 − Q 1 = BCV 12 M / 2 = ω CV 12 M / 2
