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ESPERIMENTI CASUALI, EVENTI E PROBABILITA’
1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: a)lancio di un dado b)lancio di due dadi c)lancio di 3 dadi
a) Ω^ ={1,2,3,4,5,6}
b) Ω^ = {(1,1) (1,2) … (1,6)
c) Ω^ = {(1,1,1) (1,1,2) … (1,1,6)
SPAZIO CAMPIONARIO: Spazio degli eventi elementari
(Insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale) = Ω
2. Un esperimento casuale consiste nell’estrarre una pallina da un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5. Se si estrae una pallina contrassegnata con un numero dispari si lancia una moneta, mentre se si ottiene un numero pari si lancia un dado. a) Descrivere lo spazio campionario di tale esperimento b) Descrivere gli eventi A = “esce testa” e B = “si presentano solo numeri pari”
Possibili risultati: 1 2 3 4 5 Dispari: 1 3 5 T/C
Pari: 2 4 {1,2,…,6}
a) Ω^ = {(P 1 ,T) (P 3 ,T) (P 5 ,T)
(P 1 ,C) (P 3 ,C) (P 5 ,C)
(P 2 , 1) (P 2 ,2) (P 2 ,3) (P 2 , 4) (P 2 ,5) (P 2 ,6)
(P 4 , 1) (P 4 ,2) (P 4 ,3) (P 4 , 4) (P 4 ,5) (P 4 ,6)}
b) A = {(1,T), (3,T), (5,T)} CARDINALITA’ = 3
B = {(2,2), (2,4), (2,6)
CARDINALITA’ = 6
4. Un dado regolare viene lanciato tre volte. Determinare: a) la probabilità che i numeri ottenuti siano pari; b) la probabilità che la somma dei numeri ottenuti sia cinque.
a) P( ottenere^3 pariin 3 lanci)^ =P(^ P 1 ∩P 2 ∩P 3 )
= P ( P 1 ) ⋅P( P 2 ) ⋅P( P 3 ) perché gli eventi sono indipendenti
8
1 2
1 6
3 6
3 6
3 3 ^ =
= ⋅ ⋅ =
b) ( )
36
1 216
6 casipossibili
casifavorevoli P (^) ∑deinumerisia 5 = = =
5. Nel lancio di un dado sia A l’evento “esce un numero dispari”, B l’evento “esce un numero pari”. a) Gli eventi A e B sono incompatibili? b) Gli eventi A e B sono complementari? c) Gli eventi A e B sono indipendenti?
a) Definizione: Se due eventi A e B non possono verificarsi contemporaneamente (ossia se due insiemi sono disgiunti ), si dicono incompatibili e si
scrive: A ∩∩∩∩ B ==== φφφφ
Poiché A ∩ B=φ, non avendo i due insiemi alcun elemento in
comune: A e B sono INCOMPATIBILI.
b)
Definizione: A denota l’evento complementare di A , ossia
l’evento tale che:
A ∪∪∪∪ A ==== ΩΩΩΩ
A
B
A
A
6. Siano A e B due eventi in Ω tali che P( A) = 0 , 7
e P (A ∪ B) = 0 , 8. Determinare P(B) nel caso in cui:
a) A e B sono eventi incompatibili b) A e B sono eventi indipendenti
c) P( A|B) = 0 , 6
a) A e B sono incompatibili:
A ∩ B= φ e P( A∩B) =P( φ) = 0
P ( A∪B) =P( A) +P( B) −P( A∩B) = 0 , 8
P ( B) = 0 , 8 − 0 , 7 = 0 , 1
b) A e B sono eventi indipendenti: P (A ∩B) =P( A) ⋅P( B)
P ( A) P(B ) P( A) P( B)
P A B PA PB PA B = + − ⋅
∪ = + − ∩ =
P ( A∪B) = 0 , 8 = 0 , 7 +P( B) − 0 , 7 ⋅P( B)
0 , 1 =( 1 − 0 , 7 )P ( B)
3
1 0 , 3
0 , 1 P B = =
c)
Definizione: Dati due eventi A e B, con P ((((^ B ))))^ >>>> 0 , la probabilità di A condizionata a B (ossia condizionata dal fatto che si è verificato l’evento B) è:
(((( ))))
(((( )))) P^ ((((^ B ))))
P A B
P A|B
Da cui: P( A∩B) =P( B) ⋅P( A|B)
P (A ∪B) =P( A) +P( B) −P( B) ⋅P( A|B)
0 , 8 − 0 , 7 =P ( B)( 1 − 0 , 6 )da cui: ( )
4
1 P B =
7. Un gruppo di individui è stato classificato in base all’età:
classi di età 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70- frequenze 10 30 50 30 20 20 20
Se scegliamo a caso un individuo qual è la probabilità che abbia un’età inferiore ai 50 anni? E un’età non inferiore ai 20 anni ma inferiore ai 50 anni? E un’età non inferiore ai 60 anni?
Sia A l’evento “l’individuo ha meno di 50 anni”:
3
2 180
10 30 50 30 P A =
=
Sia B l’evento “l’individuo ha età non inferiore ai 60 anni”:
9
2 180
20 20 P B =
=
Sia C l’evento “l’individuo ha età non inferiore ai 20 anni ma inferiore ai 50 anni”:
18
11 180
30 50 30 P C =
=
9. Da un mazzo di 52 carte si estraggono con reinserimento due carte. Determinare: a) la probabilità che si estraggano due re; b) la probabilità di estrarre due re sapendo che sono uscite due figure.
a) ( ) 0 , 0059
169
1 13
1 13
1 52
4 52
4 P 2 re = ⋅ = ⋅ = =
b) Evento R = Re in entrambe le estrazioni Evento F = Figura in entrambe le estrazioni
P^ ( )F
P R PF
P R F P R|F = ∩ =
essendo R ∩F=R
2704
16 52
4 52
4 P R = ⋅ =
2704
144 52
12 52
12 P F = ⋅ =
144
16
2704
144
2704
16 P R|F = = =
E se le estrazioni sono senza reinserimento?
P ( )F
P R PF
P R F P R|F = ∩ =
essendo R ∩F=R
2652
12 51
3 52
4 P R = ⋅ =
2652
132 51
11 52
12 P F = ⋅ =
F R
F R
132
12
2652
132
2652
12
P R|F = = =
VARIABILI CASUALI
1. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri da 1 a 6, sia costruito in modo tale che la probabilità di ottenere un “6” è doppia rispetto a quella degli altri punteggi. Sia X la variabile casuale “punteggio ottenuto in un lancio di un dado”. Determinare: a) la legge di probabilità della variabile casuale X b) il valore atteso e la varianza della variabile casuale X.
X = “Punteggio ottenuto in un lancio di un dado”
P ( X= xi ) =p i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
P( X= 6 )= 2 p
a)
X i P^ (^ X=xi) 1 2 3 4 5 6 p p p p p 2p 7p
Deve essere: P( X x ) 1
6
i 1
∑ = i =
=
Quindi p + p + p + p + p + 2p = 7p =1 da cui 7
p =
La legge di probabilità della v.c. X è:
X (^) i 1 2 3 4 5 6 P ( Xi) 1/7^ 1/7^ 1/7^ 1/7^ 1/7^ 2/7^1
b)
( ) ( )
E X x PX x 1
6
i 1
i i
=
( ) [ ( )] ( )
VarX x EX P X x
2 2
2 2 2 2
6
x 1
i
2 i
=
3. Da un mazzo di 52 carte si estrae una carta. Determinare il valore atteso e la varianza della variabile casuale che assume valore 1 se la carta è di cuori e valore 0 se la carta estratta non è di cuori.
L’esperimento può portare a due soli risultati complementari: A = successo A = insuccesso Indichiamo con: p : probabilità di A q =(1-p): probabilità di A
Nel nostro caso: A = “la carta estratta è di cuori”
X P(X=x) 1 0
P(X=1)=13/52=0,25 (=p) P(X=0)=39/52=1-P(X=1)=0,75 (=1-p=q)
E ( X) = 1 ⋅ 0 , 25 = 0 , 25 =p ( ) ( ) ( ) 0 , 75 0 , 25 qp 0 , 1875
Var X 0 0 , 252 0 , 75 1 0 , 252 0 , 25 = ⋅ = =
Come sapevamo, essendo la variabile casuale descritta una v.c. di Bernoulli
4. Da un mazzo di 52 carte ne vengono estratte cinque con reinserimento. Si è interessati alla variabile X = “numero di carte di cuori ottenute nelle estrazioni”. Determinare: a) il valore atteso e la varianza della variabile X; b) la probabilità di estrarre tre carte di cuori; c) la probabilità di estrarre almeno tre carte di cuori; d) la probabilità di estrarre al più tre carte di cuori; e) la probabilità di non estrarre carte di cuori; f) la probabilità di estrarre almeno una carta di cuori.
Si consideri, come nell’esercizio precedente, un esperimento che può portare a due soli risultati complementari A (successo) e A (insuccesso) con probabilità rispettivamente p e q=1-p. Ovviamente p+q=
Supponiamo inoltre: a) di ripetere l’esperimento n volte (prove); b) che le n prove siano indipendenti; c) che la probabilità p rimanga costante da prova a prova.
X è una v.c. Binomiale (N° di successi in n estrazioni) di parametri n=5 e p=13/52=1/
a)
( ) 1 , 25 4
E X =np= 5 ⋅ =
( ) 16
Var X npq (^5) = ⋅ =
= = ⋅ ^ −
b) ( ) 0 , 0879 4
PX 3
3 5 3 ^ =
−
5. Una macchina produce pezzi difettosi con una probabilità pari a 0,4. Calcolare: a) la probabilità che su 6 pezzi prodotti il numero di pezzi difettosi sia un numero dispari; b) il valore atteso e la varianza della variabile che conta il numero di pezzi difettosi su 100 prodotti e di quella che li conta su 1000 pezzi prodotti; c) la probabilità che, su 100 pezzi prodotti, i pezzi difettosi siano in numero compreso tra 15 e 30 (estremi inclusi); d) il valore atteso e la varianza della variabile che conta la frequenza del numero di pezzi difettosi su 100 prodotti e di quella che la conta su 1000 pezzi prodotti; e) Qual è la probabilità che tale frequenza, su 100 pezzi prodotti, sia compresa tra 0,45 e 0,50? E che sia superiore a 0,55?
a) p = 0, n=
P ( X= 1 ∪X= 3 ∪X= 5 ) =P(X = 1 ) +P( X= 3 ) +P( X= 5 )
perché gli eventi sono INCOMPATIBILI: hanno intersezione nulla
dove X= n° pezzi difettosi su n prove
X~ Bi( n= 6 ,p= 0 , 4 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P dispari^153351
^ +
^ +
b)
X = n° pezzi difettosi su 100 Y = n° pezzi difettosi su 1000
X~ Bi( n= 100 ,p= 0 , 4 )
E ( X) =np= 100 ⋅ 0 , 4 = 40 Var ( X) =npq= 100 ⋅ 0 , 4 ⋅ 0 , 6 = 24
Y~ Bi( n= 1000 ,p= 0 , 4 )
E ( Y) =np= 1000 ⋅ 0 , 4 = 400 Var ( Y) =npq= 1000 ⋅ 0 , 4 ⋅ 0 , 6 = 240
c) n= P ( 15 ≤X≤ 30 ) =?
Consideriamo soddisfacente l’approssimazione di X ad una Normale poiché npq ≥ 5 :
X~ N (μ = 40 ,σ^2 = 24 )
P ( 5 , 10 Z 2 , 04 )
X 40
P
− ≤^ − ≤ −
Z ~ N( 0 , 1 )
