cinematica - focardi, Appunti di Meccanica

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4- Equazione vettoriale del moto: traiettoria € legge oraria. (p.s0 tempo varia Con continuità (t); Coratteristicne del moto ; posizioni di P_a t e trat, la distara diminuisce con AT IF)

0 per At-=0 ; l'equazione vettoriale del moro 6 FPC) xaeXxC6) Può essere rappresentato. con le funzioni Scolari f 95900 fandamento in coordinare cartesiane) =PTRAIETORIA = insieme dere posizioni occupate da P rel sco moro. [modalità di percarriimento di r_nel tempo J Rappresentazione intrinseco. (descrizione del moto risperto aio. traiettoria) è Ps. Rettificniamo la curva, che diventa. composta. da infinitesimi segmenti. N =origine, + verso. Ad ogni Psi fa SO corrispondere un numero reale S (-ascissa curvilineo) il cui modulo di AP Cungreza arco di curua). INT4e] Ti segro difende delta posizione di P_(se a dro sxdia). In coordinate cartesiane, per T=T(9), si hanno le equazioni x=x(5) Scalari fi:3 Tequazione della. traiettoria in forma poramerria ] . I moto di Psi god. descrivere conoscendo : x=X(S) T=f8) —» traiettoria Hoto competamente descritto dal 959 è S=SC) —» legge crstia sistemo. Sapre Ri 2 a 2- vettore velocità (p. su Si considerano dee istarm t et'(= At) tsti, Ar=0T. Pe P'sposizni intet, FU) e TY) «venosi posizione rispetto aiorigine Ai=#)-# 4 Lrapporro spostamento - duranto av] = é un'informazione media di quanto È sucesso nei moro \ al o pi "eno si ga,pero, Se il corpo Si È mosse in modo fettilineo © Curvilineo, 0 se (G ropidità 6 uniforme © variabile. VELOCITÀ MEDIA. ettore che dipende Sio dalle posizioni iniziale e fingie e Dal tempo ci percorrenza (non importa il percorso) Fim = fA+ 60) - 7 TA D * la descrizione È più accurata quando si socia il Comportamento di Tm quando At>0 Cimive) sr VELOCITÀ ISTANTANEA. T= lim im= lim ST, i éla derfvata del vettore posizione rispetto altempo: VO) - dT@) s>o ars0 Ar de 3- Rappresentazione intrinseca della velocità (o. 35) Espressione formale cre esplicita le coratteristicne di U Si Na con la rappresentazione intrinseca celo traiettoria b£sso P' Due porri Pe P', individuori da S e S'=Stas. AT= PA, Si considera sé e.illimire per As>0. TI uetore he direzione dela SScANTE e UarsO COncarde con Quello Sito Came positivo. Assume direzione tangente allo. curva in P_e modulo unitario. = versace Tangante cia curva orienta dti, sr. af z o 2 ds Cost si poò Sconilire ii legame della URIociTÀ con Le equasioNI dello. tIemtoria e con la legge oraria: di = E ds 9 sl GL + "la udecità È tangente ola iraietterio., il modulo € daro da Ga (ergo coinide con 3% ti queto di GL. Us? I Sé la parve scolare deva velccità. rispetto ad. #ieltcità scalare La rafpresamToRItne inirinsesa. dara terocità. 6 Usvsde =SGL Hom= successione di ssosramenti infinitesimi dî=YdE. Se conosco il modulo della velocità, posso otengre 0 te ra SpASIO. percorso integrando . 7) at -f vede Tk, 4 =istonti inigiaie/anote1. 4a da Lo spazio non € negativo, È nullo ge il corpo € famo. Na Ti AS Sa-Su = I Vsch) de NI & dt :f ds difrererra può essere rulla (tipo ardara-ritomo). d ha * u- Rappresenrazione cartesiana della. verocità Accelerogione cemmipera. (ano Y0n) 3? Gin È presente in ogni moto di traiettoria. non rettilinea. Ii modulo dell'aceterozione si può esprimere in vari modi, in particolare, in componenti cartesiane si ra BISI ; gere le componenti inrinseche si pui Scriuere come al= of +0% 3. Ciassificanione di moti elementori 1:80, Queste relazioni permettono di dassificore i moti SU taiettoria. nota =» permettono di separare COSTE: È ln l'aspetto cinemarico dauo. Taieteria.. Fissando la legge oraria, si hanno 2 classi di moro: JU costante [w=6= costante = ve 1 =» moti uniformi 2 aL costante Ca, =$-costante= ao ] > moti uniformemame accelerati A livello di traiettoria, ci sono due Moù samplici “mot rettilinei (p_>oo) nei mobi GNIfarmi , V (vettore) non È necessarIAMENTE cosrante e Qgni moti circolari Cp = coStorre) moto cre avviene su una traiettoria Curva é accererato. B-Hoti con $ = costante Ricerca. di SU) Con derivato. nora. + infegrore indeRnito s=f dt +C. Tn caso in cui Sscegrante = sia Sw fu de+C = vo fat+ C = Vot+C. Ti wiore di C si determina dalla Conescenza dell'Oscisso Curtilinaa, s05S(t) DI C0NS2OD si ha SU)-SCte) = Us (tte) = SU) = Volt-Te) +90. Se Co=0, Atora prende La tre della LEGGE ORARIA =» S=Ust+Ss . Da qui si Ceguce che i punto margriare. pencorre arcni di traiettoria. diuguare lunghesa intempi ugoair. lo Stesso fisultaro si Ottiene cen ia sspArmDRIONe Celle variabili: usando la. definizione gi differenze, si ha s SeroCt-fo)t\ d$= Vogt. Tntegrando i gue memori SPArOTAMENTE + Sose fdt vofae 50 9- Hoti con. $= costante So In ques» dos È = 00 . separando ie Uariabili $ e ©, siha dé: aodt. Selgo to=0 e integro; onengo , Vs Qot +55 =» [0992 Con Cui us ario nei tempo e 005 ess Strito. come Bo 0ottvo. Anche Qui Si Separare le Gasionili e ottengo ($=aut dt +vode » fas fat db+fuodk = Gs feat + vo fale Stadt tt 4% Questa. E La. legg2 Otoria. dei moti con aL cosuante. Estendando alcoso to#0, si ottiene V=Qolt-t0)+ Vo Eliminando © dai sistema, e dmotando Vo a t=ts (us), si attiene Sti cecità votr-t9 "So *- 4200 (8-89 Li +20,(S-S6) 0- Hot rettilinei Moto rettilinso Uniforme =» traiettoria. rettilineo, Ls coscante jlegge crovia: xG)= lot txo; Y non combia ner tempo Horo rettilineo Unifornemente accsieraro = $= costante: Oo => Ar cost; legge Crotta. : x(#)=tat'+Uttxo. L'eqposione che espirme co. difendonza temporale divs é dia da xc)saostivo TrW-astiw] Hoto circolare uniformemente Vorio Ve Varia linearmente nei tempo; la Igge oraria. ha la segsente forma: SH = Lao (ta) +uol-t9)+00, 0 l'ancioga — B(H) =10e (+-t9)" + Vo (tto) +60. 2 R R L 2 L’accelerozione ha sia componente tangemiare (modulo cosrante) che normale (modulo variabile) Grande angolari = nuo grancese cinemariche. Se rocigine cel Sistema di assi cartesiani coincide con il cemro Cella. circonferema, # NA Modulo costanre .. fer un mov» circolare generico si può scrivere TW 21) 7. dove fmzdeea f=6k. furore L ol piano cel moro. AU € la velocità angolare, caraiterizzo. la rapidità gi variazione CrotaRIONS) nei tempo del versore di ?. @U) ha uerso di K se lavariosione di © rerrintervano gi tempo è positiva = rocazione infinitesima di È) in senso ontiororio ; ha verso apposto dif se la variazione è negariva. Crotozione antioraria). Modulo e rss di © CambISNO Con il tempo, la ginesione é Lal piano del moto. lL'atelemzioe angolare € (4) » SO. DO RL BR (Loi piano). di può essae scritto. in funaione dele granderse angolari : de al 3 d (700 Lia dI, e quindi G=% “7 + (0*7). Con l'origine cel sistema di assi sia nei cento dt dt cella circonferema, l'equanione è Gea rt ut (d=-0*7 per ilm.cu). I due termini delle relazioni di 6. Sono ortogonali fra loro > -40°7 Ccamipero) è il componente Gn, quindi ax} (Lat) è il comporente Gi. Meocità. e acccIeRRSIONE ANGOIAFI possono essere estese Onche a traiettorie non circolari. hei m.c.u., in Cui è as costante, > è costante ni tempo ed é daro da @=o%f. In quesco caso, A nulla, quindi ina Gsdn=@ xa Periodicità. dei moto circotare uniforme =» f, i, à si ripetono periodi camente uguali a Sé steSSI COPo aver ruotato di am. Ti m.c.u. € infatti un Moto periodico in cui, fartendo dA un istante ©, le gve coratteristiche si riperono 40 gni T (periodo). ghi Moto UnIFOMME Su troiettoria chiuso. € periodico. Si chiama feriodico , di periodo T, un motw la qui equasione vettoriaio f=f() è tole che We,intero n risulti È (++NT)=fG). Ti=nT sono periodi Cei MOTO) il periodo fon camentale di UN MOTO il Valore più picoio di T per cui lequasione è soddisfatta. 11 periodo del m.cu è UE Passando da t o t+T, iUarori dere funzioni trigonometricne non Compiano, perché ® varia di oT=t2r. Anche ki \egge oraria é pericdica,, Ci Sono Gime due grandene, legare a T, cne caraiteriono il moto fgricaico: frequenza + Ds i + numero di pe riodi contenuti nen'unità gi tempo Coiri Fatti); puisazione — cdo «2TT 9 "o —» coincide con il MOAUIO della UeIocità. Angolane (costante) Sio fer il M.c.U., Ma quesco non fa Lalidità gremie. Equazioni differenziali Nei MOTO. circolare Uniforme = resaioie di proporsionalivà. tra AF SI pos scruere come 0% la. Ca-eoof, Che corrì It (SY spande ale equazioni LI CPEETO E OEYC) ey) che hanno Stessa StunUrO.: OF L03F =0, bpico esempio gr? are at 1 Eguaa: di EqQuaZIOE differeniale. Inportante ricordare che ilm.c.u. è una ssuragposisione gi moti remainei 42. Hoto osciliatorio armonico ffunco materiaie si mucue lungo una. retta. (asse x), Secondo ia iegge Oraria XL) “ACOSC%Watt Pa). A, costanti reai positive, cosron 1 isole. taiore © argomento dI cosmo Saro numeri puri Cadimensionani). A È l'ampiezza» max. UnIORE Gi xtt). L'argomento del Cosmo é fase (‘% fase iniziale percnè é a t=0). 000 é la pulsazione, ubi é UN NAV; 00 ha dimo oni inverse RI tempo, si misuro. in raa/s nel SI. La legge oraria é pericaica oncne int. Un cambiamento cera fase di Im deve comispondere a un infevallo t in T, si ha: Uwelt+T)+B]-[wor+f]=2n, dacui T-29. la traiettoria è rettilinea; la dista Wo 29 del corpo call'origine (centro di ccciliazione) € 01 più uguale ad A. Si può calcolare sio velocità. che accelerazione fer ogni valore dit . | Vx EX = 000 ASI (c0et + W) | l'accelerazione ha sempre Segno cppasro all'ampieaza.. URiocivi e accelerazione hanno andama 008 AcoS(1aet + fo) =- 105 x | © (eriogico di periodo T, seno Sfasare risretto olrampiezza x di U(u) e n (0). Ti modulo di v é Massimo in O € nullo dove il moto si inverte (A). Il modulo dell'accererazione è massimo negli estremi , perché il vettore velocità ha massima variazione (anche . nulla Wi). 10 ai tempo: A . «x sluva - Sie - dle d8 --Gàr , si ottime a=l-ré")G + (ar6+r0) de » G=0rUr + aglio ot de dt . e AK componence radiale + ar=0-r 9 CompOnANTE TraSUESAIe —® Ca "dò +16 = La rÒ) Ti modulo di è è lal=Vaf+03 . Le Componenti Sono g@neraimente Somma di più termini. le Uariszioni rel tempo dei 2 componenti di V coinvOIgOna il loro Modulo € ta. (oro direzione. 44. II problema. inverso della cinematica. Avendo informazioni Sperimentali sulla velocità. in to,t ; Si poò dererminare l'equazione Uugitoriate dei moto ? Si se ba U € noto in un Sufficiente numero di IStANTI rell'intentao TG) 8 noto inte DE =F (6-7 (to) si può esprimere Come Af=imAt. Basandosi Sui dati sperimentali, Af, si aperossime con 6) (t,-to). L'apprassimazione È migliore quando at & motto piccolo (Um #TG)); infami atolamo: net 79) Fe ME (tal - n] e Quindi si onice Tomato +2 FGosr. nad te fesso anche passare ai limite che, per definizione tende all'imegnole ai è: Jim L VICI ni VU) di t Ul e per un g@nerico t>t. (uariabile di integrosionre +1) T(A=T td Si de cina f dre) Si ottiene il uettore posIZIONE in Un istante garerico (7 (to) deve essere noco!.). rai Se invece conosciamo sperimentaimente il vettore acceleranione: si SB che G= d e dU=dat e,cm Stesso pocegimento di fr ma, si passa dar conoscere Glt) e U(t0) al conoscere VG): Ù _ tre.) im-ieo+ faenar - i) «f di) Do) (OS) 11 Se Gt) Cin ogni istante], FLre), VC) Cal'isranre iniziate] sono noti, si ottiene l'equazione vettoriale dei moto. Gli integrali di vettori cre sono in Queste Reisgioni si riconducono anche a incegraii di funzioni scarori : ul i Ù È è WA= Wx(0Î+Wy()f+W2(1) È ; integrando ottengo: {amar «fTwxcnî+ my Gna we Rat =Tfuncirat «fue dt +k ]we#)at' ® to fe a te =2i versori degli assi carvesiani sono costanti nei tempo (rispetto qua variabile di integrazione). Si ha ' x . . FU [ 1A (era rifai fato to do to Mi N t + IG) - Ue) SAU è J aenar= fata aj fayear+faar È È do 5. Moto co) accelerazione costance: i gravi T corpi in CAdUTA liver, Si MUOVONO con ACIEragRione Costante , diretta verticalmente verso il basso © accelerazione di gravità G. I corpi che si mugLEnE cen questa accelerazione si Chiamano gravi Esempio cli probotema inverso, con Gm=G- esc. Li t 1-10) +f gar evo +3 fat = +3 0-19) fo so n ' mf) +$ Genat = Fa afro gealar foster +19 Uta? 6 Si nota che VU e f-T6 SI ottengono Semmando due veltori Con stessa direzione di To e G: Stanno Sempe nei piono verticale che contiene lo. Traiettoria —* curva nun piano verticale rettilinea se To=0 (corpo cade da fermo) 0 se lo ha Stessa direaione di G (corpo lanciato verticalmente), antrimenti la traiettoria è una parabola Conviene usare Un sistema di coordinate cartesiane. Scegliendo 4 positivo verso l'alto, si scrive a=9=-9). Diciamo che in to=0 i punto sua narerigine (xosyo=20=0). X é l'anggio che Vo ferma con Xx. Con queste Condizioni, si hanno Le equazioni vettoriali per V ef: VA) “(vo cosa)? + (vo sina-gt)f FE) =(vo cosa)t? + [Wvosina)t = f9elj 13 “2. Leggi di trasformanione. di USIocità e Accelerazione Nave esce dal porco ; Quando era ferma, gii Orologi Gi bordo erano SEAII Sincronizza con quelli di terro., regoli per Mi Surare a IUNgnezza uguali. Si hanno que sistemi di riferimento , uno. fisso rispetto GI molo, lamro solidale con la meue, Passeggero = punto materiare —* comporcamento in base ai sitema. S:SISCEMa MN il MOIO | FU) sposizione; VV) =vetccità.; dla!) =acceietssione sono misurati nei 4 lai | i IMMAGINE riferimento SCS'). vale la risaie F+t'=R, R:00, Spoaio e tem É = S'sSisvema con la mae po Sano assoluti, Quindi: ‘407; Ut =velocità di trascinamento —» dipende dalla posizione dei punto mareriae ; in quiete considerando un punto P* sdicae con S'jla soa gercità in SE YU (i'=0). la velocità di un punco generico Pin S G a somma vettoriale cela VU’ in S' e dara Tr in S del punto P* solidale con S' istantaneamente coincideme con Pmobile. U=V + 0 —® legge di trasrormaaione classica della Velocità velocità. di Pin S ® V= (Ar ) ()s { i 0) ? Vas (SR de/S' \glocità di Pin Se VU = (a) | sd forca 0a esprimere la uelocità. di trascinamento nella forma ve VM +0) “[i-RM]-® dipende dal moto reisrivo dei due sistemi e dalla Gosiaione occupata dal punto mobite. all'istante congiderato. Liz mon 6 lassessa. in ogni posizione! C'é bisogno di chiarire il significato Fisico di @. Consideriamo due casi. O) =0 —® Ur è Indiperconte dalla posizione in ogni istante; futti i punti SoliGai con S' si mucvano rispento 1_f a $ conda Stessa delocità : Ur=Ve). S° compie un moto di trasiazione rispetto a S, can velocità ° A istantanea. UG). T' e S’ gono Sempre paraliei a sè scesi 14 D) W#0 —® Tr varia in base alla posizione , corispone alla. Somma. vettoriale della vencità in 0° e di Qu(7-M). Se 0 6 fissoin S sila ire@s(7-R). Rivedendo la riaziore VG) =@(1) « FE), sagpiamo che UG) é la uiocità di Un punto materiale cre sì mocve IN S di moto dircorare, cn CH Îu. angolare], Sulla circonferenza di a8se paralielo a @l) passante pe 0. S' € animato rispetto a Sdi un mote di rommaicne can velocità angolare du). Hotb di rotomasiazione —® comPOSIBIONE GI MOD di TMasiazione e gi ramosione. Uasse dove awiene la rotazione € il Ivogo cei punti solidari cen S°, VesVa. dr: Vita «Cim-RH1= moto ai 8 rispetto a S caratera zato da Vi e WU. Per l'accelerazione, invece, la comessicne tra di e d' è più compiessa: AG: + dr + Geo; Ar =AAenOZICre gi trascinamento, dipende dal Moto relativo dei sisuemI e da posizione del funto Materiale; Gee =Acelerozione di Corialis (complementare), dipende dallo Velocità. del punto in S' e ce solo se U'#0. (uegie due Accelerazioni Emo dare aa: Gr Ask (7-8) + Cox (7-B] —®è A: ssi od da) de /s at /S Geo 26 » V' 48. Moto relativo di trasiasiore rettilineo. @=0 =» moto reiaivo cei Sistemi coratterizzaro solo da Uli); s questo velmore è costante in direziore e verso i ha un movo di trosiazione rettilinea. Le terne diassi orrogorzii Te T* mantengono oriensaaione cosrame, quindi anche i foro versori (î,Î.k, ?f.k') sno parare ta Loco. Perché #30, sone Autti indipendenti doi tempo. Alloro si ha: a-o'+A TA=G3] da. Velocità e accelerazione nei moti nerativi In $, la posizione di Un Punto P aprerico è Tale-R)+R. Tn S' f' indico. la resisiore di P rispetto alorigire. Si iderrifica, È'«T-R, e ciò impiica due ipotesi: 4) Sposio ASSOLUTO > indipendente dal Sistema di riferimento Cirodare gli stessi risuitati) 2) tempo Assoluto »si USANO Gli SESSI Campioni di tempo indipendentemente doi sistema di riferimento Seo se queste inotasi Sono wide, Si pus erivere P'=7-R a) Derivate di vettori e sisvemi di riferimento Vettore ggnerico W in due sistemi di riferimento in moto restivo. Consideriamo ie rogpregantazioni cortesione: WET + Wiyf + ak e +vifawuek’. Valuriamo la agrivata di W rispetto Gi tempO in $, parendo dalla rappresentazione in S'. Si ha: (e (Er (Seiten (EL) (Gu) (0 e e ca en sc infatti, si ha (CHA a. QUI) sg (analogo per te arme componenti), quindi la ggrivora di w in S' € (IU), Per gii altri termini w (2)s Coerivato cei venzari). Passiamo avere due situazioni: “) versori Gi T' Nan cambiano la rotazione rispetto alla tema in S nei tempo; la derivata rispetto al tempo € nulla 2) versori di T' rustano nei tempo, le derivare sono espresse da: atm) TW; (IT) TA (AR) e. (ata. NOR (ge ) CHOLAIOE (Ci ) 0304) Esiste unveltore (oli) Con qui Si poò scrivere . per ogni versore, A). 4 * GU), quindi si poò scrivere we(dÎ) = È » Wxî" E Quindi Si offiene lo relaziore (AM) - dts at /S L) Trasformazioni della ueiocito Cibi] cla ar) ci Nel riferimerto S si na V (È kh: dt s * (E )s. Agpiicando la formula gereroie ai caso ii=r”, si ha: 16 17 +@*#'. Daro che #'=7-R si poò ancre gerivene < ra (9B) A ate -R); si S dimostroro Vsl'+Vr, dee G=(di Je (È), Va» (el iNamante Teslm+o Cir] = C) Trasforma sione delle accelerazioni 8 () (E + (GE) + (8), 70 (E) o am green (L) E] rit > =d'+0 4"; analogAmane @*(gi) 1%" ]r@rl'+0*(»#'). Associando i Vari temiAI ottengo S OPTA +(99), x (#-R)+ SR) + xx (7-R)]. Imponendo d'eg' =0, si individuano i mia di St, ae esina: Gr-Atax(7-@)+oxCox(7-8)], ave A:(dE) ,&=(A@) . Definito Gce (coriois)= 26 * I", 1a recsIO at /s de /S ne giunto. G=6'+ dr +60 0) Problema inverso mei moto unigiMmensIoNAleE vacceleroaione nota. in Fursiene della posizione: QL=F(s) Q=$ 2 $d$= $$ de =$ gs dt = É0S >IEd$=S ds, qppure Vsdvs= ar 0sS © vVav=G:0s. Ve Ss (variabili) sno ga at =) “ s rare, integrando SIVA: Sua -J fesras , da Cui v2=vi +2 IUS) ds. Si trova un'espressione per il Modulo v ds di vin Funzione di S: V=9(s), separando te variabili s e t (tenendo conto dello. cerinizione di v), si ha de=+0S-+05 €, integrando, si ha: t-te = +S Si vg se 9° s accelerazione noto. in Funaiore dello verocità : ar = fs) ta Ls) = a = oe ; separando le uoriopili Si hO dt = _AYs_, integrando gi ottiene t-a=/ de . Invertendo la relazione L£v9) \ FOIS tra te Us, si poò esprimere vs in funzione di & per poi possare alla aeferminaaione di SU). Si può scrivere vsds=ards=f(vs)ds Vs SsparondO le voriabil si ha ISIS -gs e, integrando, Si attiene S:Ss +f veds (CS) No LS)