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CINEMATICA UNIDIMENSIONALE
Esercizio 1 La legge oraria del moto di una particella è data dalla equazione x = at^3 + bt^2 + ct dove le costanti a, b e c valgono: a = 1 m/s^3 b= - 8 m/s^2 c = 3 m/s Calcolare: a) la velocità istantanea della particella ad un generico istante t b) gli istanti t 1 e t 2 in cui la velocità istantanea è nulla c) l’accelerazione istantanea della particella negli istanti t 1 e t 2 d) lo spostamento totale della particella nell’intervallo di tempo tra t 1 e t 2
a) La velocità istantanea è data dalla derivata della posizione rispetto al tempo:
x = at^3 + bt^2 + ct v = dx/dt = 3at^2 + 2bt + c v = 3t^2 – 16t + 3 (m/s, se t è espresso in secondi)
b) Gli istanti in cui la velocità si annulla si possono ottenere risolvendo l’equazione:
3t^2 – 16t + 3 = 0
si ottiene:^1 2
t s t t s
^
c) L’accelerazione istantanea si ottiene come derivata temporale della velocità:
a = dv/dt = 6t – 16 (m/s^2 , se t è espresso in secondi)
Agli istanti t 1 e t 2 l’accelerazione vale: a(t 1 ) = – 14.8 m/s^2 a(t 2 ) = 14.8 m/s^2
d) Lo spostamento totale della particella si ottiene come differenza tra le coordinate della posizioni occupate dalla particella agli istanti t 1 e t 2
x = x(t 2 ) – x(t 1 ) = – 60.4 m
Un razzo viene sparato verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale v 0 = 80 m/s. Esso accelera verso l’alto con una accelerazione totale (comprensiva dell’accelerazione di gravità e dell’accelerazione impressa dai motori) a = 4m/s^2 fino a quando giunge ad una altezza h = 1000 m poi i motori si spengono e il razzo rimane soggetto solo più all’accelerazione di gravità. Calcolare: a) la massima altezza raggiunta dal razzo b) per quanto tempo il razzo risulta in movimento c) la velocità del razzo subito prima di toccare terra
a) Nella prima fase del moto l’accelerazione totale del razzo è 4 m/s^2 diretta verso l’alto. Si consideri come sistema di riferimento una retta y orientata verso l’alto, con origine a terra. Sia t= l’istante in cui il razzo viene lanciato (=> y 0 = y(t=0) = 0). L’equazione del moto è quindi:
y = v 0 t + ½ a t^2 [1]
Dalla [1], sapendo che il razzo è salito di un tratto y = h prima di spegnere i motori, si può ricavare la durata di questa prima fase del moto: at 12 + 2v 0 t 1 – 2h = 0
10 s
50 s nonaccettabile 4
a
v v 2ah t
2 0 0 1
Poiché a è costante, la velocità vh del razzo quando giunge nel punto y=h si può ottenere dalla relazione
v^2 = v 02 + 2a(y – y 0 )
vh^2 = v 02 + 2a(h – y 0 )
v (^) h v 02 2 ah 120 m/s
Nella seconda fase del moto il razzo continua a salire, ma il moto sarà “decelerato” in quanto l’accelerazione di gravità è rivolta verso il basso (dunque l’accelerazione è negativa e pari a –g, con g=9.8 ms-2). L’equazione del moto diventa:
y = h + vht – ½ g t^2 [2]
avendo posto yiniziale = h e viniziale = vh. Cioè i valori iniziali per questa seconda fase del moto corrispondono ai valori finali della fase precedente. Inoltre abbiamo implicitamente ridefinito l’istante iniziale t 0 =0, per semplicità. L’altezza massima raggiunta dal razzo, ymax, si può ottenere considerando che il razzo continuerà a salire finché la sua velocità, che inizialmente è vh, non sarà annullata a causa dell’accelerazione negativa. Successivamente il razzo cadrà a terra. Partiamo quindi dalla relazione
v^2 = viniziale^2 – 2g(y – yiniziale)
v^2 = vh^2 – 2g(y – h)
Un tram percorre in una città una linea chiusa lunga L = 14 km fermandosi 20 volte a distanze uguali (vedi figura. Si trascurino del tutto le due curve). Alla partenza da ogni fermata il tram accelera con accelerazione costante a+ = 1.2 m/s^2 fino a raggiungere la velocità di crociera v* = 36 km/h, quindi in vista della fermata successiva frena con una decelerazione a- = 1.5 m/s^2. Calcolare: a) il tempo T necessario per effettuare l’intero percorso (trascurando il tempo trascorso fermo alle fermate per caricare/scaricare i passeggeri); b) il minimo numero di vetture N che è necessario immettere sulla linea affinché un passeggero non debba aspettare alla fermata per più di t 0 = 4 minuti.
___________
a) Il tratto da percorrere tra due fermate vale:
d = L/20 = 700 m
Ogni volta il tempo di accelerazione t+ e lo spazio percorso in accelerazione s+ per arrivare alla velocità di crociera v* saranno rispettivamente (tenendo conto che la velocità iniziale è nulla alla partenza da una fermata):
v(t) = v 0 + at → v(t) = a+t ⇒ t+ = v*/a+ = 8.33 s
s(t) = v 0 t + 1 2 at
(^2) → s(t) = 1 2 a+t
(^2) ⇒ s+ = ½ a+ t+^2 = 41.63 m
dove v* = 36 km/h = 10 m/s.
Analogamente si trova che il tempo di decelerazione e lo spazio percorso in decelerazione saranno rispettivamente: t- = v/a- = 6.67 s s- = vt- ½ a- t-^2 = 33.37 m
Lo spazio percorso a velocità costante e il tempo impiegato a percorrerlo saranno di conseguenza:
sc = d s+ s- = 625 m tc = sc/v* = 62.5 s
Il tempo che intercorre tra due fermate è quindi t = tc + t+ + t- = 77.5 s e il tempo T necessario per effettuare l’intero percorso T = 20 t = 1550 s
b) Il numero di vetture che è necessario immettere sulla linea è pari all’arrotondamento all’intero superiore del rapporto tra il tempo di percorrenza e il tempo massimo di attesa (T 0 = 4 min = 240 s).
N = T/T 0 = 1550/240 = 6.458 N = 7
s+ sc s-
d
Un punto si muove lungo un asse orizzontale partendo dall’origine con accelerazione a = Av dove A = 0.2 s-1. Determinare: a) la legge oraria, assumendo che al tempo t = 0 la velocità valga v 0 = 2 m/s. b) la posizione e la velocità al tempo t 1 = 2 s.
Assumendo invece A = 4 s-1^ calcolare: c) il tempo impiegato dal punto per fermarsi d) la distanza percorsa prima di fermarsi. Si assuma che anche in questo secondo caso al tempo t = 0 la velocità valga v 0 = 2 m/s.
___________
a) Poiché l’accelerazione è la derivata temporale della velocità a = dv/dt, si può ottenere la velocità dalla relazione: dv dtAv
che è una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Risolvendo:
t
0
v
v
A dt v
dv
0
v v 0 eAt
Dalla velocità si può quindi ricavare la legge oraria ricordando che v = dx/dt, da cui:
dx v 0 eAtdt
t
0
At 0
x
0
dx v e dt e 1
A
v
x ^0 At x t 10 e 0.^2 t 1
(m, se t è espresso in s)
b) Al tempo t 1 = 2 s la posizione vale:
x tt 1 2 s 10 e 0.^4 1 = 4.92 m
mentre la velocità vale:
v tt 1 2 s 2 e^0.^4 = 2.98 m/s
c) La velocità in questo caso diventa v v 0 eAt 2 e^4 te si annulla per t =
d) La distanza percorsa vale
e 1
A
v x ^0 At = 0.5(e-4t1)
e dopo un tempo t = diventa: x( ) 0.5e 1 0.5m
Adt v
dv At v
v ln 0
^
Una barretta di altezza h si muove di moto armonico intorno ad un punto distante d da un supporto di altezza ℓ su cui è fissata una sorgente luminosa puntiforme S. Sapendo che il moto armonico ha ampiezza A e periodo T, determinare come varia nel tempo la lunghezza dell’ombra proiettata dalla sorgente luminosa. Quale sarà il moto dell’estremo dell’ombra?
L’equazione del moto della barretta è x = d + A sin (2t/T), immaginando per semplicità che la fase iniziale sia nulla.
In un istante generico x è la posizione della barretta, x’ la posizione dell’estremo della sua ombra e L=x’x è la lunghezza dell’ombra.
Dal disegno appare evidente che tg = ℓ/x’ = h/(x’x), quindi:
x′^ =
ℓ − h
x =
ℓd ℓ − h
ℓA
ℓ − h
sin(2πt/T)
Il moto dell’estremo dell’ombra è quindi armonico, attorno al punto a distanza ℓd/(ℓh) dal supporto della sorgente luminosa, dello stesso periodo del moto della barretta e di ampiezza ℓA/(ℓh).
La lunghezza dell’ombra è
L = x′^ − x =
hd ℓ − h
hA ℓ − h
sin(2πt/T)
Anche la lunghezza dell’ombra varia in modo armonico con ampiezza hA/(ℓh) attorno al valore hd/(ℓh) e con lo stesso periodo del moto della barretta.
d
S
x
h
x x'
ℓ
0
