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CONCETTI BASE DI STATISTICACONCETTI BASE DI STATISTICA^ DEFINIZIONIProbabilità • Un numero reale compreso tra 0 e 1, associato a un evento casuale.• Esso può essere correlato con la “frequenza relativa” o col “grado dicredibilità” con cui un evento avviene.• Per un alto grado di credibilità la probabilità è vicina al valore 1.• Da un punto di vista non completamente corretto la probabilità puòessere considerata come il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e ilnumero degli eventi possibili nelle medesime condizioni. Variabile aleatoria • Una variabile aleatoria è una variabile che può assumere qualsiasi valorein un determinato intervallo, e alla quale è associata una distribuzione diprobabilità (o densità di probabilità).• Una variabile aleatoria che può assumere solo valori isolati è detta. Una variabile aleatoria che può assumere tutti i variabile discreta valori entro un intervallo finito o infinito è detta
variabile continua.
Distribuzione di probabilità (di una variabile aleatoria) • Una funzione che definisce la probabilità che una variabile aleatoriadiscreta assuma un determinato valore (o che una variabile aleatoriacontinua assuma tutti i valori di un intervallo).• La probabilità che una variabile aleatoria possa assumere un qualsiasivalore tra quelli permessi è 1. Densità di probabilità • per una variabile discreta: una funzione che fornisce, per ogni valore x
i
di una variabile aleatoria discreta X, la probabilità p
che la variabilei^ aleatoria si uguale a x
.^ p^ = Pr(X = xii^
)i
-^ per una variabile continua: una funzione p(x) che fornisce, per ogniintervallo (x^ ↔^ x+dx) dei valori che può assumere una variabile aleatoriacontinua X, la probabilità dP che la variabile aleatoria assuma un valoreall'interno dell'intervallo.
dP = p(x) dx = Pr(x
≤^ X^ ≤^ x+dx)
-^ La densità di probabilità coincide con la derivata (quando esiste) dellafunzione di distribuzione
p(x) = dP(x)/dx
Media o Valore Atteso Per una variabile discreta: siano x
i valori assunti dalla variabilei^ aleatoria X con probabilità p
. Il valore atteso, se esiste, risulta:i la somma essendo estesa a tutti i valori x
che può assumere lai^ variabile X.Per^ una^ variabile^
continua:^ sia^ p(x)
la^ densità^ di^ probabilità associata alla variabile aleatoria X. Il valore atteso, se esiste,risulta: l'integrale essendo esteso a tutti gli intervalli che comprendono ipossibili valori assunti da X.
==μ xpXE )(^ ∑ ii^ i ==μ dxxpxXE )()( ∫ D^
Variabile aleatoria centrata Una variabile aleatoria il cui valore atteso sia nullo. Se la variabilealeatoria X ha un valore atteso uguale a
, la corrispondenteμ^ variabile aleatoria centrata è (X -
μ). Varianza La varianza di una variabile aleatoria, o di una distribuzione diprobabilità, è il valore atteso del quadrato della corrispondentevariabile centrata Deviazione standard La^ deviazione^ standard
di^ una^ variabile
aleatoria,^ o^ di^
una
distribuzione di probabilità, è la radice quadrata positiva dellavarianza
[^ ]{^ }^
222 ( ) [ ]
2
(^
XEXE
XEXEX
V^
σ [^
]{ }^ (^ )^ [^
(^22) ] 2
(^
XEXE
XEXEX
V^
Popolazione La totalità degli elementi in considerazione. Nel caso di una variabilealeatoria, la distribuzione di probabilità (densità di probabilità) definiscela popolazione di quella variabile. Frequenza Il numero di volte in cui un dato tipo di evento si avvera. Dal punto divista della misura : il numero di osservazioni che cadono in una specificaclasse. Distribuzione di frequenza La relazione empirica tra i valori di una caratteristica e la loro frequenza(frequenza^ relativa).^ In^ questi^ casi^ la^ distribuzione
può^ essere rappresentata in differenti modi, ad es. :•^ per mezzo di un istogramma•^ per mezzo di un grafico a barre•^ per mezzo di una tabella a due entrate
Valor medio o valore atteso Il valore atteso della variabile aleatoria z, rappresentato col simbolo μe detto anche valor medio di z, è dato daz^ La sua stima statistica è data dalla media aritmetica
dei valori z^ i assunti dalla variabile z di densità di probabilità p(z).
=≡μ dzzpzzE )()( z^ ∫^ n 1 = zz^ ∑ i n = i^1
La varianza della media aritmetica delle osservazioni, piuttosto chela varianza di una singola osservazione, è la misura appropriatadell'incertezza del risultato di una misurazione.La varianza della variabile z,
2 (z), deve essere accuratamenteσ distinta dalla varianza della media aritmetica .La varianza della media aritmetica di una serie di n osservazioniindipendenti^ zdellai^
grandezza^ rappresentata
dalla^ variabile aleatoria z è data daed è stimata dalla varianza sperimentale della media: Deviazione standard La deviazione standard è la radice quadrata positiva della varianza.
(^22) ( ) ( )^ nzz /σ=σ ( ) (^ )−∑−= n == i^ i zz nn zs zs n^1
2 21 )( 2 )^1 (
GRADI DI LIBERTA' E LIVELLI DI CONFIDENZAGRADI DI LIBERTA' E LIVELLI DI CONFIDENZA Il problema è di ottenere dalla stima y della grandezza misurata Y,e dalla sua incertezza u
(y), una^ incertezza espansa c
U^ = k^ u(y)p^ p^ c che definisca un intervallo y-U
≤^ Y^ ≤^ y+U tale che abbia una elevata^ probabilità
di^ copertura^ (o
un^ elevato^ livello
di
confidenza ) p. Si deve quindi determinare il fattore di copertura k
che genera unp intervallo intorno al risultato y della misurazione che ci si aspettacontenga una grande, specifica frazione p della distribuzione divalori^ che^ potrebbero
ragionevolmente^
essere^ attribuiti^ alla
grandezza Y da misurare.
