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Formule di Statistica - Schema - Statistica, Esercizi di Statistica

Università Politecnica delle Marche (UNIVPM)Statistica

Compattissimo riassunto con le principali formule necessarie in statistica

Tipologia: Esercizi

2011/2012

Caricato il 26/12/2012

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4.5

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U!𝑓!
!!!!𝐹!!!
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f𝜆𝑒!!"!𝑐𝑜𝑛!𝑥≥0!𝐸:!
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!!!F:1−𝑒!!"!Momenti:!tecnica!di!costruzione!
di!stimatori!dei!parametri!basata!sull'uguagliare!i!momenti!empirici!coi!
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stimatori!di!uno!stesso!parametro,!si!definisce!come!più!efficiente!
quello!che!ha!un!errore!quadratico!medio!minore!(efficienza!relativa).!
Se!entrambi!gli!stimatori!sono!corretti,!si!definisce!più!efficiente!quello!
a!varianza!minore.!Neyman5Pearson:!!quando!si!opera!un!test!
d'ipotesi!tra!due!ipote!semplici!H0:!!θ=θ0!e!H1:!!θ=θ1,!il!rapporto!
delle!funzioni!di!verosomiglianza!che!rigetta!H0!in!favore!di!H1!quando!
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più!potente.!Max5Ver:!Criterio!inventato!da!Fisher,!stabilisce!di!
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U(x;T(x))=𝛿!𝑙𝑜𝑔𝐿 𝑥;𝜃|𝜃=𝑇(𝑥)≡0.!Gli!smv!possono!essere!distorti!
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verifica!più!potente!a!livello!di!significatività!α!per!una!soglia!k.!Se!il!test!
è!il!più!potente!per!tutti!i!𝜃!𝜖⊝!!,!si!dice!che!è!quellouniformemente!
più!potente.!Max5Ver:!Criterio!inventato!da!Fisher,!stabilisce!di!
scegliere!come!stimatore!di!𝜃!la!statistica!T(X)!tale!che!𝐿𝑥;𝑇𝑥=
max 𝐿(𝑥;𝜃)!Tale!principio!stabilisce!di!scegliere!per!un!campione!x!
dato,!quel!valore!di!𝜃!per!cui!è!massima!la!probabilità!di!estrarre!
proprio!quell’x.!Poiché!il!logaritmo!è!una!funzione!monotona,!spesso!
anziché!il!massio!di!L(x;!𝜃)!si!preferisce!cercare!il!massimo!di!logL(x;!𝜃).!
Condizione!necessaria!di!massimo!è!l’anullarsi!della!derivata!di!log!
L(x;!𝜃)!coì!che!𝐿𝑥;𝑇𝑥=max 𝐿(𝑥;𝜃)!viene!tradotto!nell’equazione!
U(x;T(x))=𝛿!𝑙𝑜𝑔𝐿 𝑥;𝜃|𝜃=𝑇(𝑥)≡0.!Gli!smv!possono!essere!distorti!
(cioè!non!corretti).!D'altra!parte!essi!sono!asintoticamente!corretti.!Non!
conseguono!in!generale!il!limite!inferiore!per!la!varianza!stabilito!dal!
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(1conc,0equi)!–!Lorenz!Qi∟Pi!S=1/2(Qi+Qi^1)(Pi^Pi^1)!Smax:!(n^1)/2n!
R:S/Smax!Cramer5Rao:il!reciproco!della!matrice!informazione!di!
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Anteprima parziale del testo

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U 𝑓 !!!! 𝐹! !!!!! 𝐸!! !! 𝑉 (!!!)

! !" Bin^ 𝑓

! (^) 𝑞!!! (^) E:np V:npq Exp f𝜆𝑒!!"^ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≥ 0 𝐸:!! V (^) !!! F: 1 − 𝑒!!"^ Momenti : tecnica di costruzione di stimatori dei parametri basata sull'uguagliare i momenti empirici coi momenti teorici della corrispondente distribuzione. Gli stimatori ottenuti con il metodo dei momenti non sono necessariamente non distorti. Correttezza E(Tn)=𝜃 Consistenza :EQM:E[(𝑇𝑛 − 𝜃)!] Tra due stimatori di uno stesso parametro, si definisce come più efficiente quello che ha un errore quadratico medio minore (efficienza relativa). Se entrambi gli stimatori sono corretti, si definisce più efficiente quello a varianza minore. Neyman Pearson : quando si opera un test d'ipotesi tra due ipote semplici H0: θ=θ0 e H1: θ=θ1, il rapporto delle funzioni di verosomiglianza che rigetta H0 in favore di H1 quando Λ 𝑥 =! !((!!!!||!!)) ≤ 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑃(Λ(𝑥) ≤ 𝑘|𝐻! = 𝛼 rappresenta il test di verifica più potente a livello di significatività α per una soglia k. Se il test è il più potente per tutti i 𝜃!𝜖 ⊝! , si dice che è quellouniformemente più potente. Max Ver : Criterio inventato da Fisher, stabilisce di scegliere come stimatore di 𝜃 la statistica T(X) tale che 𝐿 𝑥; 𝑇 𝑥 = max 𝐿(𝑥; 𝜃) Tale principio stabilisce di scegliere per un campione x dato, quel valore di 𝜃 per cui è massima la probabilità di estrarre proprio quell’x. Poiché il logaritmo è una funzione monotona, spesso anziché il massio di L(x; 𝜃) si preferisce cercare il massimo di logL(x; 𝜃). Condizione necessaria di massimo è l’anullarsi della derivata di log L(x; 𝜃) coì che 𝐿 𝑥; 𝑇 𝑥 = max 𝐿(𝑥; 𝜃) viene tradotto nell’equazione U(x;T(x))=𝛿! 𝑙𝑜𝑔𝐿 𝑥; 𝜃 |𝜃 = 𝑇(𝑥) ≡ 0. Gli smv possono essere distorti (cioè non corretti). D'altra parte essi sono asintoticamente corretti. Non conseguono in generale il limite inferiore per la varianza stabilito dal risultato di Cramér-­‐Rao, lo conseguono però asintoticamente, cioè la varianza si discosta dal limite inferiore di Cramér-­‐Rao per una quantità infinitesima al crescere di n. Sono inoltre asintoticamente normalmente distribuiti. Concentrazione : vicinanza dall’equidistribuzione. G:1-­‐(Qi/Pi) (1conc,0equi) – Lorenz Qi∟Pi S=1/2(Qi+Qi-­‐1)(Pi-­‐Pi-­‐1) Smax: (n-­‐1)/2n R:S/Smax Cramer Rao: il reciproco della matrice informazione di Fisher 𝐼(𝜗) per un parametro 𝜗 costituisce un limite inferiore alla varianza di uno stimatore corretto per il parametro 𝑣𝑎𝑟 𝜗 ≥ ! !! =^ ! ![ (^) !!! !"! !;!^! ] In alcuni casi, non esiste uno stimatore corretto che consegue il limite inferiore così stabilito.

U 𝑓 !!!! 𝐹! !!!!! 𝐸!! !! 𝑉 (!!!)

! !" Bin^ 𝑓

! (^) 𝑞!!! (^) E:np V:npq Exp f𝜆𝑒!!"^ 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≥ 0 𝐸:!! V (^) !!! F: 1 − 𝑒!!"^ Momenti : tecnica di costruzione di stimatori dei parametri basata sull'uguagliare i momenti empirici coi momenti teorici della corrispondente distribuzione. Gli stimatori ottenuti con il metodo dei momenti non sono necessariamente non distorti. Correttezza E(Tn)=𝜃 Consistenza :EQM:E[(𝑇𝑛 − 𝜃)!] Tra due stimatori di uno stesso parametro, si definisce come più efficiente quello che ha un errore quadratico medio minore (efficienza relativa). Se entrambi gli stimatori sono corretti, si definisce più efficiente quello a varianza minore. Neyman Pearson : quando si opera un test d'ipotesi tra due ipote semplici H0: θ=θ0 e H1: θ=θ1, il rapporto delle funzioni di verosomiglianza che rigetta H0 in favore di H1 quando Λ 𝑥 =! !((!!!!||!!)) ≤ 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑃(Λ(𝑥) ≤ 𝑘|𝐻! = 𝛼 rappresenta il test di verifica più potente a livello di significatività α per una soglia k. Se il test è il più potente per tutti i 𝜃!𝜖 ⊝! , si dice che è quellouniformemente più potente. Max Ver : Criterio inventato da Fisher, stabilisce di scegliere come stimatore di 𝜃 la statistica T(X) tale che 𝐿 𝑥; 𝑇 𝑥 = max 𝐿(𝑥; 𝜃) Tale principio stabilisce di scegliere per un campione x dato, quel valore di 𝜃 per cui è massima la probabilità di estrarre proprio quell’x. Poiché il logaritmo è una funzione monotona, spesso anziché il massio di L(x; 𝜃) si preferisce cercare il massimo di logL(x; 𝜃). Condizione necessaria di massimo è l’anullarsi della derivata di log L(x; 𝜃) coì che 𝐿 𝑥; 𝑇 𝑥 = max 𝐿(𝑥; 𝜃) viene tradotto nell’equazione U(x;T(x))=𝛿! 𝑙𝑜𝑔𝐿 𝑥; 𝜃 |𝜃 = 𝑇(𝑥) ≡ 0. Gli smv possono essere distorti (cioè non corretti). D'altra parte essi sono asintoticamente corretti. Non conseguono in generale il limite inferiore per la varianza stabilito dal risultato di Cramér-­‐Rao, lo conseguono però asintoticamente, cioè la varianza si discosta dal limite inferiore di Cramér-­‐Rao per una quantità infinitesima al crescere di n. Sono inoltre asintoticamente normalmente distribuiti. Concentrazione : vicinanza dall’equidistribuzione. G:1-­‐(Qi/Pi) (1conc,0equi) – Lorenz Qi∟Pi S=1/2(Qi+Qi-­‐1)(Pi-­‐Pi-­‐1) Smax: (n-­‐1)/2n R:S/Smax Cramer Rao: il reciproco della matrice informazione di Fisher 𝐼(𝜗) per un parametro 𝜗 costituisce un limite inferiore alla varianza di uno stimatore corretto per il parametro 𝑣𝑎𝑟 𝜗 ≥ ! !! =^ ! ![ (^) !!! !"! !;!^! ] In alcuni casi, non esiste uno stimatore corretto che consegue il limite inferiore così stabilito.