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STATISTICA
2 cfu La statistica si occupa di studiare fenomeni che presentano un’incertezza nel loro esito, per cui sono necessarie ripetute osservazioni per analizzare i loro comportamenti. Dai dati raccolti si possono poi ricavare una serie di valori che danno un’idea delle probabilità che un determinato esito avvenga. Mi limito in questa situazione ad esporre brevemente i concetti più importanti, indispensabili per la materia. Pertanto definiamo la statistica come la raccolta di metodi e strumenti matematici atti ad organizzare una o più serie di dati che descrivono una categoria di fatti, rappresenta la scienza che studia i fenomeni collettivi o di massa. Un esempio: numero di componenti delle famiglie di una data area geografica, l’età dei cittadini di un certo paese, la lunghezza delle foglie di un tipo di pianta, la durata delle lampadine di una certa marca e così via. Quindi la statistica insegna a individuare i modi in cui un fenomeno si manifesta, a descriverlo sinteticamente, e a trarne da esso conclusioni più generali di fenomeni più ampi.
La statistica si divide in due rami principali: la statistica descrittiva , che raccoglie i dati di un certo fenomeno per descriverne le caratteristiche, ad esempio trarre indicazioni sull’intera popolazione, andare a descrivere il fenomeno. la statistica inferenziale , che usa i dati raccolti per prevedere un determinato esito con una certa percentuale di errore. Vediamo quali sono gli indici principali usati in statistica descrittiva. o Media La media è il valore più noto e usato tra quelli statistici. Tuttavia non esiste un solo tipo di media, ma ve ne sono diversi, adatti a differenti circostanze. La più usata, nonché la più semplice da calcolare, è la media aritmetica, che consiste semplicemente nella somma di tutti i valori raccolti per un certo fenomeno (ad esempio, l’età degli individui in una popolazione o il loro peso) divisa per il numero di osservazioni. Se si vuole scrivere questo in termini più rigorosi, definiremo la media aritmetica in questo modo:
Se vogliamo scrivere questo in termini generici e formalmente corretti, chiamando f il peso di un elemento, avremo: Con un ragionamento simile possiamo capire come funziona la media geometrica ponderata: i valori, prima di essere moltiplicati fra loro, verranno elevati al valore ponderale, e il grado della radice sarà la somma di tutti i pesi. L’esempio precedente diventerà dunque: Di nuovo, la formula generale si scrive come: o Mediana La mediana è determinabile per ogni insieme di valori che possano avere un certo ordinamento, ad esempio l’altezza o il peso di un gruppo di persone, oppure anche valori qualitativi, non espressi da numeri, che però possano essere ordinati in modo oggettivo: per esempio, i voti espressi con termini letterali (“insufficiente”, “sufficiente”, “buono” ecc.). In questi casi, si definisce mediana il valore posto esattamente al centro dell’intervallo ordinato. Se vi sono 7 valori, ad esempio, la mediana sarà il quarto valore, poiché ne lascia 3 sia da un lato che dall’altro. In caso di un numero pari di elementi, si prendono i due elementi centrali e se ne fa la media aritmetica.
Ad esempio, dati i valori ordinati 1,4; 1,7; 1,8; 2,0; 2,2; 2,32; la mediana sarà data da: o Moda La moda è il valore più rappresentato in una serie di dati, cioè quello che appare più frequentemente. Spesso, nel caso di valori continui (che possono cioè assumere qualsiasi valore all’interno di un intervallo, per esempio l’altezza o il peso), invece che un valore unico si sceglie una classe di valori rappresentata da un certo intervallo. Ad esempio, se parliamo di altezze, possiamo creare una classe ogni 5 cm, per cui chi fosse alto 1,71; 1,73 e 1,74 rientrerebbe nella stessa classe [1,70–1,74] o Deviazione standard (o scarto quadratico medio) La deviazione standard, detta anche scarto quadratico medio, è un indice utilizzato per dare un’idea di quanto i valori raccolti si discostino da un determinato indice descrittivo, di solito la media. In altre parole, più è grande la deviazione standard, più i dati raccolti assumono valori differenti rispetto al valore medio. È un indice meno intuitivo di quelli di cui si è parlato precedentemente, ma molto importante. Infatti è fondamentale per fare previsioni su quanto rispondente alla realtà sia un determinato valore (come detto, di solito la
o Varianza La varianza è un indice non molto diverso dalla deviazione standard (tanto che ne è il suo valore elevato al quadrato), e fornisce anch’essa un’idea di quanto le variabili in esame di discostino dal loro valore medio. La varianza è importante soprattutto nella teoria della probabilità e in statistica inferenziale. Rimanendo nell’ambito che ci siamo prefissati di trattare, ci basti dire che si indica con σ 2 X e che è in rapporto diretto con la deviazione standard secondo la relazione:
