Coniche e quadriche, Appunti di Geometria

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CONICHE IN E° E IN A° Sia y una conica in E°, di equazione 1 Aw o Ga] f(y)=L x y]A4|x|=0, con A=/4n 4 | > An dg An Si può verificare che le tre quantità seguenti associate ad f (ad A) I,(f)=a,+a, (tracciadiA,, con A, -f de) di; I,(f)}=0,0n-4, (det 4), Is(f)= det A non cambiano per congruenze dirette; esse sono chiamate invarianti ortogonali (rispettivamente lineare, quadratico, cubico) di f (di A). Invece, se consideriamo il polinomio f, che definisce la medesima conica, risulta I,(pf)= Pif). I,(pf)=pP° If), I.(pf)}=pP° If). Pertanto, mon potranno avere significato geometrico il valore numerico di un J,, o il segno di I, e di 9,, mentre potranno averlo (e, di fatto, lo hanno) l’annullarsi di un J,, il segno di J, e del | prodotto 9,3,. TEOREMA.- Data una conica di E”, esiste una congruenza diretta che la trasforma in una, e una sola, delle seguenti forme canoniche, per opportuni reali positivi a, b, p, m: 2 2 rt ia0 (a>b) ellisse (reale) I,#0, I,>0, I,I,<0; x? y? getto (a=b) ellisse immaginaria I,#0, 9,>0, II,>0; (nessun punto reale) x i ita iperbole I,#0, I,<0; (equilatera se 7, = 0) y? -2px=0 parabola I,#0, 9,=0;