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Politecnico di Milano
Coniche e
Quadriche
Geometria e Algebra Lineare
Omogrosso Marco
A. A. 2020/
Indice
Forme bilineari s immetriche e forme quadr atiche ..................................................................................................................... 1
Congruenza .................................................................................................................................................................................. 2
Forme cano niche.......................................................................................................................................................................... 2
Classificazione delle forme quadratiche...................................................................................................................................... 3
Metodi per la classificazio ne ....................................................................................................................................................... 3
Completamento dei quadr ati................................................................................................................................................... 3
Cambiament i di Coordinate .................................................................................................................................................... 3
Classificazione con s egnatura ................................................................................................................................................. 3
Calcolo della s egnatura ........................................................................................................................................................... 4
Trasformazioni Affini dello spazio e del piano ....................................................................................................................... 5
Quadriche in ℝ
𝑛
e forma quadratica ad esse associate............................................................................................................... 5
Centro di una conica/quadrica .................................................................................................................................................... 6
Matrici nelle forme canoniche..................................................................................................................................................... 6
Invarianti Ortogonali ................................................................................................................................................................... 7
Determinare il termine noto 𝛿 nelle coniche/quadriche a centro. ............................................................................................. 7
Determinare 𝛽 in una quadrica/co nica non a centro .................................................................................................................. 8
Classificazione Metrica di una Quadrica/Conica ....................................................................................................................... 8
Classificazione Affine di una Quadrica/Conica .......................................................................................................................... 8
Assi/Piani d i simmetria per una Quadrica/Conica ..................................................................................................................... 8
Assi/Piani di simmetria per quadriche/coniche non a centro .................................................................................................... 9
Assi e vertici di Co niche/Quadriche ........................................................................................................................................... 9
Quadriche di rotazione ................................................................................................................................................................ 9
Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche
Forma Bilineare Simmetrica
Definizione. Sia 𝑉 uno spazio vettoriale su ℝ allora Φ: 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ è una forma bilineare e
simmetrica se:
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
, 𝑣 ∈ 𝑉 e ∀ 𝑡
1
2
∈ ℝ (bilinearità)
- Φ(𝑢, 𝑣) = Φ(𝑣, 𝑢) ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 (simmetria)
Osservazione. Il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica con l’aggiunta della positività.
Matrice di Gramm
Sia dim (𝑉) = 𝑛 < +∞, fissata una base 𝐵 = {𝑣
1
𝑛
} di 𝑉 l’azione di una forma bilineare
simmetrica può essere pensata sulle coordinate di due generici vettori 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 nel seguente modo:
1
1
𝑛
𝑛
1
1
𝑛
𝑛
1
1
𝑛
𝑛
1
1
𝑛
𝑛
[
1
𝑛
] [
1
1
1
𝑛
𝑛
1
𝑛
𝑛
][
1
𝑛
]
𝑇
ℬ
𝑖,𝑗
𝑖
𝑗
𝑛
𝑖,𝑗= 1
𝑖,𝑗
𝑖
𝑗
[
1
𝑛
]
[
1
𝑛
]
sono le coord. di 𝑢 e 𝑣 rispetto a 𝐵
Osservazione. Φ è simmetrica ⟹ 𝒢 ℬ
è una matrice simmetrica.
Fissata una base 𝐵 =
1
𝑛
di 𝑉 e una matrice 𝐴 ∈ ℳ
𝑛
simmetrica allora Φ
𝐴
∶ 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ
𝐴
𝑇
𝐴𝑦 dunque, 𝒢
ℬ
𝐴
Forma Quadratica
Definizione. Sia 𝑉 uno spazio vettoriale su ℝ e 𝑑𝑖𝑚(𝑉) = 𝑛 allora 𝑞 ∶ 𝑉 ⟶ ℝ è una forma
quadratica se:
2
q
∀𝑢 ∈ 𝑉 𝑒 𝑘 ∈ ℝ (omogenità)
- ϕ
𝑞
1
2
[
]
ϕ
𝑞
𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
ϕ
𝑞
forma bilineare simmetrica
Osservazione. Φ
𝑞
si chiama forma bilineare associata alla forma quadratica 𝑞.
Fissata una base 𝐵 di 𝑉 allora 𝒢
ℬ
𝑞
è la matrice di Gramm associata alla forma quadratica 𝑞.
Viceversa, ad ogni forma bilineare simmetrica Φ ∶ 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ è possibile associare una forma
quadratica 𝑞
Φ
Matrice di Gramm
Classificazione delle forme quadratiche
Una forma quadratica 𝑞 ∶ 𝑉 ⟶ ℝ si classifica in base al segno che assume 𝑞(𝑢) al variare di 𝑢 ∈ ℝ.
- Semidefinita positiva - 𝑞
- Semidefinita negativa - 𝑞(𝑢) ≤ 0 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∃𝑣 ≠ 0 ∶ 𝑞(𝑣) = 0
- Indefinita - ∃𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 ∶ 𝑞
Metodi per la classificazione
Completamento dei quadrati
Il quadrato di una quantità, essendo un oggetto sempre ≥ 0 , ci garantisce la positività di quel
determinato termine. È dunque utile cercare di ottenere più quadrati possibili mediante
fattorizzazioni, raccoglimenti e ricostruzioni di prodotti notevoli; tali procedimenti, all’occorrenza,
possono essere reiterati.
Cambiamenti di Coordinate
Siano 𝐵 = {𝑣
1
𝑛
} e 𝐵
1
1
1
𝑛
1
} due basi per lo stesso spazio vettoriale 𝑉 su ℝ (dim(𝑉) = 𝑛),
data Φ ∶ 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ una forma bilineare simmetrica, in generale 𝒢
ℬ
ℬ
La matrice di cambiamento delle coordinate 𝑃 rappresentativa dell’identità è data da:
1
11
1
1
𝑛 1
𝑛
1
𝑛
1 𝑛
1
1
𝑛𝑛
𝑛
1
[
11
1 𝑛
𝑛 1
𝑛𝑛
]
Osservazione. In quanto matrice del cambio di base 𝑃 è una matrice invertibile (𝑃 ∈ ℳ
𝑛
Quindi: 𝒢 ℬ
𝑇
ℬ
1
ℬ
ℬ
1
Classificazione con segnatura
Proposizione. Siano date due matrici 𝐴,𝐵 ∈ ℳ
𝑛
(ℝ) reali e simmetriche. Supponiamo che 𝐴 𝑒 𝐵
siano congruenti allora le due forme quadratiche associate hanno la stessa classificazione.
−
- Semidefinita positiva - 𝑑
0
- Semidefinita negativa - 𝑑
−
0
0 e 𝑑
−
0
−
−
Calcolo della segnatura
- Completamento dei quadrati
Già visto. Per ricavare la segnatura una volta completati i quadrati si ha che:
−
0
−
- Teorema spettrale
Data 𝑞 una forma quadratica sia 𝐴 ∈ ℳ
𝑛
la matrice associata a 𝑞. Per il Teorema Spettrale 𝐴
è congruente ad una matrice diagonale in cui sulla diagonale ci sono gli autovalori. Contando gli
autovalori positivi e negativi si determinano gli indici di positività e di negatività.
−
0
- Metodo dei minori in ℝ
3
Minori principali di ordine 1: elementi della diagonale
Minori principali di ordine 2: riga arbitraria e colonna corrispondente
Minori principali di ordine 3: l’intera matrice
Minori da Nord-Ovest:
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
11
12
21
22
11
12
13
21
22
23
31
32
33
- Definita positiva – Tutti i minori di nord-ovest positivi
- Definita negativa - Tutti i minori di nord-ovest di ordine dispari negativi e tutti i minori di
nord-ovest di ordine pari positivi.
- Semidefinita positiva - Tutti i minori principali sono positivi o nulli
- Semidefinita negativa - Tutti i minori principali di ordine dispari negativi o nulli e tutti i
minori principali di ordine pari positivi o nulli.
- Indefinita – casi non considerati
Centro di una conica/quadrica
Una conica/quadrica ha centro nell’origine se 𝑞(𝑥) non presenta termini lineari.
Algebricamente: 𝑞
𝑝
𝑝
Una conica/quadrica ha centro in 𝐶 se traslata di −𝐶 ha centro nell’origine, ovvero la traslazione
delle coordinate 𝑥 = 𝑥̂ + 𝑣 faccia si che 𝑞(𝑥̂ + 𝑣) non abbia termini lineari.
Per definire se una quadrica è a centro possiamo controllare la seguente uguaglianza (⟺):
= 𝑟([𝐴| − 𝐵/ 2 ])
Se la conica/quadrica è a centro possiamo determinare le coordinate del punto costruendo e
risolvendo il seguente sistema 𝐴𝑥 = −𝐵/ 2.
In ℝ
2
11
12
1
12
22
2
In ℝ
3
11
12
13
1
12
22
23
2
13
23
33
3
Se la precedente condizione necessaria e sufficiente è violata il sistema risulterà impossibile.
Matrici nelle forme canoniche
In ℝ
2
[
]
[
[
11
12
12
22
] [
1
2
]
[
𝑏
1
2
𝑏
2
2
]
]
In ℝ
3
[
]
[
[
11
12
13
12
22
23
13
23
33
] [
1
2
3
]
[
𝑏
1
2
𝑏
2
2
𝑏
3
2
]
]
Invarianti Ortogonali
Non sempre è facile determinare la rototraslazione che trasformi la quadrica data nella sua f orma
canonica. Tuttavia, ci sono degli scalari determinati dai coefficienti dell’equazione iniziale che
permettono di determinare i valori dei coefficienti della forma canonica. Questi scalari sono detti
Invarianti.
In ℝ
2
sono:
- Autovalori di 𝐴
- Segnatura di 𝐴
- Rango di 𝐴
- Rango della matrice completa
- Determinante di 𝐴 (invariante quadrico)
- Determinante della matrice completa (invariante cubico)
- Traccia di 𝐴 (invariante lineare)
In ℝ
3
sono:
- Autovalori di 𝐴
- Segnatura di 𝐴
- Rango di 𝐴
- Rango della matrice completa
- Determinante di 𝐴 (invariante cubico)
- Determinante della matrice completa (invariante quartico)
11
12
12
22
11
13
13
33
22
23
23
22
(invariante quadrico)
- Traccia di 𝐴 (invariante lineare)
Osservazione. Conica/Quadrica degenere ⟺ determinate della matrice completa = 0.
Al contrario: Conica/Quadrica NON degenere ⟺ determinate della matrice completa ≠ 0.
Determinare il termine noto 𝛿 nelle coniche/quadriche a centro.
Se la quadrica/conica è degenere: 𝛿 = 𝑝
0
𝐵
2
Con 𝑝
0
le coordinate del centro calcolate con il sistema già illustrato, 𝐵 il vettore dei coefficienti
della parte lineare e 𝑐 il termine noto.
Se la quadrica/conica è non degenere:
In ℝ
2
𝑖𝑛𝑣 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑜
𝑖𝑛𝑣 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑐𝑜
In ℝ
3
𝑖𝑛𝑣 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑖𝑛𝑣 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑜
Le equazioni degli assi di una conica che ha centro in 𝑝 0
si ricavano dalle condizioni:
Eq. Piano 1:
0
1
= 0 Eq. Piano 2:
0
2
= 0 Eq. Piano 3:
0
3
Assi/Piani di simmetria per quadriche/coniche non a centro
Tutti gli autovettori associati a un autovalore non nullo sono ortogonali a un’asse/piano di simmetria
per una conica/quadrica non a centro. Quindi nel caso delle coniche non a centro (parabola) l’asse di
simmetria è ortogonale all’autovettore non nullo.
Nel caso delle quadriche non a centro e non degeneri i piani di simmetria sono ortogonali agli
autovettori associati agli autovalori non nulli.
Assi e vertici di Coniche/Quadriche
Gli assi della quadrica si ottengono intersecando due piani di simmetria.
I vertici di una conica/quadrica si ottengono intersecando gli assi di simmetria con la
conica/quadrica.
Assi per le coniche/quadriche a centro:
In ℝ
2
: Asse 1: 𝑝
0
1
Asse 2: 𝑝
0
2
In ℝ
3
: Asse 1: 𝑝
0
1
Asse 2: 𝑝
0
2
Asse 3: 𝑝
0
3
Assi perle coniche/quadriche non a centro e non degeneri (parabole e paraboloidi):
𝑇
𝑇
Nel caso del cilindro parabolico l’equazione precedente dà il piano di simmetria ortogonali
all’autovettore associato all’autovalore non nullo.
Quindi per determinare i piani di simmetria di una quadrica non a centro si sceglie un punto
dell’asse di simmetria e si costruisce il piano passante per quel punto ortogonale ad un autovettore
associato ad un autovalore non nullo.
Quadriche di rotazione
Definizione. Una quadrica si dice di rotazione se la matrice della forma quadratica associata alla
quadrica ha un autovalore con molteplicità almeno di 2.
Sfera
Una sfera di raggio 𝑟 > 0 e centro 𝑃 è il luogo di punti 𝑥 in ℝ
3
La sfera è l’unica quadrica di rotazione (ellissoide) con un autovalore avente molteplicità = 3
Se 𝑃 =
[
0
0
0
]
allora l’equazione della sfera è la seguente: 𝑑𝑖𝑠𝑡
0
2
0
2
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
2
0
2
2
Coni
Definizione. Sia 𝒞 una curva nello spazio e 𝑉 un punto non appartenente a 𝒞. Il cono di vertice 𝑉 e
direttrice 𝒞 è il luogo delle rette che uniscono 𝑉 ad ogni punto di 𝒞. Le rette sono le generatrici del
cono.
e vertici 𝑉 =
. Se 𝑃
0
[
0
0
0
]
0
0
0
0
0
0
allora un generico punto 𝑃 = [
] appartiene al cono se e solo se ∃𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑃
0
0
0
0
0
Consideriamo il sistema formato dall’unione dei due precedenti sistemi:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Per determinare l’equazione è sufficiente eliminare i parametri 𝑥
0
0
0
Cilindri
Definizione. Data una curva nello spazio 𝒞 ed un vettore 𝑢, il cilindro di direttrice 𝒞 e generatrici
parallele ad 𝑢 è il luogo delle rette dello spazio passanti per tutti i punti di 𝒞 e parallele al vettore 𝑢.
[
]
0
[
0
0
0
]
0
0
0
0
0
0
Un generico punto 𝑃 = [
] appartiene al cilindro se e solo se ∃𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑃
0
0
0
0
0
Consideriamo il sistema formato dall’unione dei due precedenti sistemi:
