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Ortocentro
Propongo una dimostrazione completa e soddisfacente per ricavare le coordinate cartesiane dell’ortocentro nel caso di triangoli acutangoli (il lettore interessato pu`o estendere tali metodi anche ai triangoli rettangoli e ottusangoli).
Dimostrazione. Verifichiamo prima alcune propriet`a metriche riguardanti i la- ti del triangolo e i segmenti che uniscono i vertici dello stesso all’ortocentro. Utilizziamo la seguente figura (che individua dei triangoli rettangoli) e la trigo- nometria.
Con H indichiamo l’ortocentro. Cerchiamo di capire perch´e gli angoli in H sono uguali agli angoli nei vertici del triangolo ∆(ABC). Sfruttiamo il primo criterio di similitudine per i triangoli.
- Considero i due triangoli ∆(BEC) e ∆(HF C). Essi hanno in comune l’angolo nel vertice C e un angolo uguale a π 2. Ap- plicando il primo criterio di similitudiine possiamo concludere che l’angolo
nel vertice H e uguale a β. Consegue che anche l’angolo in H del triangolo ∆(HEA)e uguale a β (angoli opposti al vertice);
- Considero i due triangoli ∆(BAD) e ∆(BEH). Essi hanno in comune l’angolo nel vertice B e un angolo uguale a π 2. Ap- plicando il primo criterio di similitudiine possiamo concludere che l’angolo nel vertice H
e uguale a α. Consegue che anche l’angolo in H del triangolo ∆(DHC)e uguale a α (angoli opposti al vertice); - Considero i due triangoli ∆(AF C) e ∆(ADH). Essi hanno in comune l’angolo nel vertice A e un angolo uguale a π 2. Ap- plicando il primo criterio di similitudiine possiamo concludere che l’angolo nel vertice H
e uguale a γ. Consegue che anche l’angolo in H del triangolo ∆(BHF )e uguale a γ (angoli opposti al vertice).
Ora che abbiamo compreso le congruenze tra angoli, possiamo divertirci utiliz- zando la trigonometria.
- Considero i due triangoli ∆(BEC) e ∆(BEH).
Da ∆(BEC) deduciamo BE = BC cos(β), da ∆(BEH) deduciamo BE = HB sin(α), uguagliando si ottiene HB sin(α) = BC cos(β)
da cui
HB
cos(β)
BC
sin(α)
AC
sin(β) grazie al teorema dei seni.
Abbiamo trovato la prima propriet`a metrica riguardante l’ortocentro: AC = b = HB tan(β)
- Considero i due triangoli ∆(BAD) e ∆(ADH).
Da ∆(BAD) deduciamo AD = BA cos(α), da ∆(ADH) deduciamo AD = HA sin(γ), uguagliando si ottiene HA sin(γ) = BA cos(α)
da cui
HA
cos(α)
BA
sin(γ)
BC
sin(α) grazie al teorema dei seni.
Abbiamo trovato la seconda propriet`a metrica riguardante l’ortocentro: BC = a = HA tan(α)
- Considero i due triangoli ∆(AF C) e ∆(HF C).
Da ∆(AF C) deduciamo F C = AC cos(γ), da ∆(HF C) deduciamo F C = HC sin(β), uguagliando si ottiene HC sin(β) = AC cos(γ)
da cui
HC
cos(γ)
AC
sin(β)
AB
sin(γ)
grazie al teorema dei seni.
Abbiamo trovato la terza propriet`a metrica riguardante l’ortocentro:
AB = c = HC tan(γ)
