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Riassunto rapido formule base di trigonometria
Tipologia: Dispense
1 / 54
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X’ X’
OO
AA
(AB)(AB)
Y’Y’ B’ B’
(Y (Y
BB
YY
AA
))
200200
cc
αα
BB
Y Y
X X
(X(X
BB
XX
AA
))
X’ X’
OO
AA
(AB)(AB)
Y’Y’ B’ B’
(Y (Y
BB
YY
AA
))
200200
cc
αα
BB
Y Y
X X
(X(X
BB
XX
AA
))
Indice
Angoli e sistemi di misura angolare Angoli e sistemi di misura angolare
Funzioni trigonometriche Funzioni trigonometriche
Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei poligoni
Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area Risoluzione dei quadrilateri e loro areaRisoluzione dei quadrilateri e loro area
Coordinate cartesiane e polari piane Coordinate cartesiane e polari piane
Passaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polPassaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a pol
ari ari
Azimut Azimut
Azimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note Azimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note
Area con le coordinate cartesiane (Gauss)Area con le coordinate cartesiane (Gauss) Utilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poliUtilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poli
gonigoni
Angoli
B B
B
S
ˆ
A
A A
S S
B B
B
S
ˆ
A
S S
B
S
ˆ
A
B B
S S
A A
A A
B
S
ˆ
A
B
S
ˆ
A
B
S
ˆ
A
B
S
ˆ
A
B
S
ˆ
A
B
S
ˆ
A
I sistemi di misura
angolare
sessagesimale e
centesimale
300300
CC
0° 0°
90° 90°
180° 180°
270° 270°
360° 360°
100100
C C
200 200
C C
400 400
C C
0 0
CC
P
163° 27’ 48’’
P
163° 27’ 48’’
P
181
P
181
cc
,6259,
CC
Le funzioni
trigonometriche
100 100
cc
OO
A’ A’
X X
aa
Y Y
aa
00
cc
= 400 = 400
cc
α α
AA
200200
cc
300300
cc
Le funzioni trigonometriche associano Le funzioni trigonometriche associano ad
ogni
angolo
un
numero
puro.
ad
ogni
angolo
un
numero
puro.
Studieremo
di
seguito
le
quattro
Studieremo
di
seguito
le
quattro
funzioni funzioni
senoseno
cosenocoseno
tangente tangente
e e
cotangentecotangente
Si
consideri
una
circonferenza
di
Si
consideri
una
circonferenza
di
centro O e raggio OA, riferita ad uncentro O e raggio OA, riferita ad unsistema di assi cartesiani con origine sistema di assi cartesiani con origine nel
centro
della
circonferenza.
Al
nel
centro
della
circonferenza.
Al
variare
della
posizione
del
punto
variare
della
posizione
del
punto
varia l’ampiezza dell’angolo varia l’ampiezza dell’angolo
αα
Le funzioni
trigonometriche
seno e coseno
100 100
c c
O O
A’ A’
X X
aa
Y Y
aa
00
cc
= 400 = 400
c c
α α
A A
200200
cc
300300
cc
Si definisce seno Si definisce seno
dell dell
angolo angolo
αα
sensen
αα
il il
rapporto fra l rapporto fra l
ascissa del ascissa del
punto A, X punto A, X
a a
, ed il raggio , ed il raggio
della circonferenza OA della circonferenza OA
Si definisce coseno Si definisce coseno
dell dell
angoloangolo
α α
cos cos
αα
il il
rapporto fra l rapporto fra l
ordinata delordinata del
punto A, Y punto A, Y
aa
, ed il raggio , ed il raggio
della circonferenza OA della circonferenza OA
100 100
c c
Funzioni
trigonometriche Quadro generale
cotangente cotangentecotangentecotangentecotangente cotangente
cotangente cotangente
tangente tangente
tangente tangentetangentetangentetangentetangente
cosenocosenocosenocosenocoseno coseno
coseno coseno
seno seno
seno senosenosenosenoseno
gradigradigradigradi gradigradigradigradi
Le funzioni
trigonometriche
utilizzate per la
risoluzione dei
triangoli rettangoli
Le
funzioni
trigonometriche
sono
Le
funzioni
trigonometriche
sono
utilizzate
per
risolvere
i
triangoli
utilizzate
per
risolvere
i
triangoli
rettangoli.
Nella
risoluzione
è
rettangoli.
Nella
risoluzione
è
necessario
conoscere
almeno
due
necessario
conoscere
almeno
due
elementi. La sommatoria degli angoli elementi. La sommatoria degli angoli
interni (nel sistema centesimale) è di interni (nel sistema centesimale) è di
c c
A
ˆ
B
ˆ
C
ˆ
A
ˆ
cos
×
AC
=
AB
risulta
cui
da
AB AC
=
A
ˆ
cos
A
ˆ
sen
×
AC
=
BC
risulta
cui
da
BCAC
=
A
ˆ
sen
A
ˆ
100
=
C
ˆ
100
=
C
ˆ
A
ˆ
100
=
B
ˆ
ma
200
=
C
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
A
vertice
nel
angolo
l'
e
AC
ipotenusa
l'
noti
Sono
c
c
c
c
Triangoli rettangoli
Risoluzione
A
ˆ
100
=
C
ˆ
100
=
C
ˆ
A
ˆ
100
=
B
ˆ
ma
200
=
C
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
AC
BC
sen
=
A
ˆ
cui
da
BCAC
=
A
ˆ
sen
BC
AB
=
AC
AC
ipotenusa
l'
calcolare
possibile
è
Pitagora
di
T.
il
con
BC
e
AB
cateti
due
i
noti
Sono
C
C
C
C
1
2
2
Triangoli rettangoli
Risoluzione
Triangoli rettangoli
Quadro generale
C = 100 C = 100
CC
AA
AC = AB / cos A AC = AB / cos A
BC = √(ACBC = √(AC
22
AB AB
2 2
) )
angolo in C angolo in C
ipotenusaipotenusa
cateto cateto
catetocateto
angolo in A angolo in A
A = 100 A = 100
C C
C C
AB = AC x sen C AB = AC x sen C
BC = √(AC BC = √(AC
22
AB AB
2 2
) )
angolo in A angolo in A
due cateti due cateti
ipotenusa ipotenusa
angolo in C angolo in C
BC = √(AC BC = √(AC
22
AB AB
2 2
) )
A = cosA = cos
11
(AB/AC) (AB/AC)
C = 100C = 100
CC
AA
cateto cateto
due angoli due angoli
ipotenusa ipotenusa
cateto cateto
AB = √(AB AB = √(AB
22
22
) )
A = senA = sen
11
(BC/AC) (BC/AC)
C = 100 C = 100
CC
AA
ipotenusaipotenusa
due angoli due angoli
due catetidue cateti
risoluzionerisoluzionerisoluzionerisoluzione risoluzionerisoluzionerisoluzionerisoluzione
incogniteincogniteincogniteincognite incogniteincogniteincogniteincognite
elementi noti elementi noti
elementi noti elementi notielementi notielementi notielementi notielementi noti
AA BB
C C
A A BB
CC
A A BB
CC
AA B B
CC
Risoluzione poligoni
di N lati
Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi element Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi element
i a i a
partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in general partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in general
e ie i
lati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi più lati, gli angoli interni e l’area. I procedimenti risolutivi più
semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli, semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli,
mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia
sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per u sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per u
nn
poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi
che si ottengono dalla formula che si ottengono dalla formula
ee
= ( 2 x N = ( 2 x N
Tra questi devono essere noti almeno Tra questi devono essere noti almeno ( N
2 ) lati2 ) lati
Triangoli non
rettangoli
Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che
siano siano
noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli. noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli.
Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi, Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi,
due due
teoremi: teoremi:
La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è d La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è d
i 200 i 200
CC
Triangoli non rettangoli
Teorema di Carnot
Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questo Noti due lati del triangolo e l’angolo tra essi compreso, questo
teorema permette il calcolo del terzo lato incognito teorema permette il calcolo del terzo lato incognito
)
B
ˆ
COS
BC
AB
BC
AB
(
AC
××××
××××
××××
−−−−
++++
====
2
2
2
