Associazione tra Variabili Quantitative: Covarianza, Correlazione e Regressione, Appunti di Statistica

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1 – Associazione tra variabili quantitative

ASSOCIAZIONE FRA CARATTERI QUANTITATIVIASSOCIAZIONE

FRA CARATTERI QUANTITATIVI:

COVARIANZA E CORRELAZIONE

2 – Associazione tra variabili quantitative

Prezzo medio

per

Nr.

Un esempio

Albergo

per

cliente (Euro)

Nr. clienti

A

70

171

B

100

110

C

60

192

Scatterplot

dei dati

(diagramma di dispersione)

C

60

192

D

80

135

V

75

165

F

65

225

230 210

(^

g

p

)

H

100

134

S

85

178

T

90

145

AS

80

171

(^190170). clienti N

AS

80

171

CC

110

102

FF

75

131

N^150130110

2

90

40

60

80

100

120

Prezzo

4 – Associazione tra variabili quantitative

Lo scatterplot

ci fa capire se esiste una

associazione statistica

fra due caratteri

quantitativi

Chiedersi se

esiste un’associazione fra due variabili

quantitative equivale a

chiedersi:

al variare di una, anche l’altra tende a variare? (es. se una aumenta, l’altra

ha la tendenza ad aumentare? a diminuire?

Quando

all

’aumentare

di

una

variabile

l’altra tende a

diminuire

si parla

Quando

all aumentare

di una variabile, l altra tende a

diminuire

si parla

di associazione

discordante

Q

d

ll’

di

i bil

l’ l

d

d

i

Q

uando

all’aumentare

di

una variabile, l’altra tende ad

aumentare

si

parla di associazione

concordante

Quando

al variare

di una l’altra tende a non variare si parla di assenza di

associazione

5 – Associazione tra variabili quantitative

Quale dei due scatterplot mostra una associazione più stretta?Perché?

5 5

(b)

(a)

7 – Associazione tra variabili quantitative

di

d i

fi i

i? Q

l^

i^

i^

iù

E cosa dire dei grafici seguenti? Quale mostra una associazione piùstretta fra le due variabili?

7

(b)

(a)

8 – Associazione tra variabili quantitative

Esiste un indice statistico che esprime il grado di associazione fra

due variabili?

SI.

P

i^

li

i^

di

l^

d fi i i

di

i^

i

P

er capire meglio, riprendiamo la definizione di

associazione

al

v

ariare

di una variabile

anche l’altra

tende a variare

Ci vuole una misura di

variabilità congiunta delle variabili

10 – La covarianza

Segno della covarianza

y

y

x x ( ) y x

cov(

N

y

y

x x ( N ) y , x

cov(

i

i

i^

=

1

Se “

prevalgono”

gli addendi positivi il segno sarà positivo,

altrimenti negativo

10

Quadrante SW

) y

y

)( x

x (

i

i^

−

−

NW

NE

variabile y

y

y

i^

y y

y

i

SW

SE

x

11

x

x

i^

−

variabile x

NW

NE

SW

SE

CONCORDANZA

0

) y

y

)( x

x (

i

i^

<

−

−

0

) y

y

)( x

x (

i

i^

−

−

NW

NE

0

) y

y

)( x

x (

i

i^

− − 0 ) y y

)( x

x (

i

i^

<

−

−

SE

SW

I punti si trovano in maggioranza nei quadranti NE e SW

13

Æ

covarianza POSITIVA (associazione

concordante

14 – La covarianza

LA COVARIANZA

Assume valore 0 quando al variare di una variabile l’altra rimanecostantecostante

Assume il massimo in valore assoluto positivo quando i punti sono

Assume il massimo in valore assoluto positivo quando i punti sonotutti allineati su una retta

crescente

e negativo quando i punti sono

tutti allineati su una retta

decrescente

16 – La covarianza

2. Assume il massimo in valore assoluto positivo quando i punti sonotutti allineati su una retta

crescente

e negativo quando i punti sono

i^

lli

i^

d

tutti allineati su una retta

d

ecrescente

17 – La covarianzaValore della covarianza quando c’è perfetta relazione lineare crescente

y

sqm

x

sqm

y

x

cov(

y

sqm

x

sqm

y

x

cov(

TUTTI i

i^

lli

i

TUTTI

i punti allineati su una retta

crescente

17

( sqm

: scarto quadratico medio)

19 – La covarianza

L

i^

f^

d

i bili

ò di

i^

il l

è

hé

L

a covarianza fra due variabili non può dirci se il legame è stretto o no perché il valore della covarianza dipende dall’ordine di grandezza delle variabili (eanche dalla loro unità di misura).

STATURA (in

STATURA (in

PESO

m)

cm)

(Kg.)

160

60

165

56

170

72

185

76

1 78

178

68

178

68

Covarianza (statura in m, peso)=0,

metri x Kg

(^

, p

)^

,^

g

Covarianza (statura in cm, peso)=54,

cm x Kg

20 – Il coefficiente di correlazioneCoefficiente di correlazione:

e’ dato dalla covarianza diviso il suo valore massimo

y , x

cov(

di

massimo

valore

y , x

cov(

r

xy

y , x

cov(

di

massimo

valore

In particolare:

) y , x

cov(

r

xy

=

In

particolare:

) y (

sqm ) x (

sqm

xy

variabilità congiunta di x e y

variabilità di x

indipendentemente da y

variabilità di y

indipendentemente da x