Gli Indici di Posizione: Media Aritmetica, Mediana e Moda, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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GLI INDICI DI POSIZIONE

VALORI DI SINTESI

• Una distribuzione è compiutamente descritta da 3

principali proprietà:

• la tendenza centrale o posizione
• la dispersione o variabilità
• la forma
• Le misure della tendenza centrale o posizione

individuano il valore intorno al quale i dati sono

raggruppati

• prima indicazione della dimensione di un

fenomeno

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VALORI MEDI

 Le medie sono lo strumento con cui si sintetizzano i dati statistici.

 L’uso della media consente all’individuo di rappresentarsi mentalmente l’“ ordine di grandezza ” di un fenomeno, di effettuare comparazioni tra le manifestazioni di uno stesso fenomeni in tempi, luoghi o situazioni diverse, di comunicare ad altri tale informazione

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In statistica si distinguono di solito due gruppi di medie.

• MEDIE ANALITICHE O DI CALCOLO: sono quelle che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione;
• MEDIE LASCHE O DI POSIZIONE: sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori della distribuzione;

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DEFINIZIONE DI VALORE MEDIO COME QUANTITÀ INVARIANTE

 Sia x 1 ,…, xN una distribuzione di singole intensità (valori osservati del carattere X in N unità statistiche)

 Un modo generale di esprimere una grandezza che dipende dai valori consiste nel considerare una funzione matematica degli stessi f ( x 1 ,…, xN ) Esempio: f ( x 1 ,…, xN )= x 1 +…+ xN = AMMONTARE TOTALE DEL CARATTERE

 Si definisce valore medio della X quel valore che sostituito alle singole intensità della distribuzione x 1 ,…, xN lascia invariata la funzione stessa

 f ( x 1 ,…, xN ) = f ( M ,…, M )

 con la condizione che x (1) ≤ M ≤x ( N ) ← CONDIZIONE DI INTERNALITÀ

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00 x^ 1 ^ x 2 ... xN  M  M ... M   N  M

La media aritmetica è quel valore che sostituito alle singole osservazioni ne lascia inalterata la SOMMA

x (1) ≤ m ≤ x ( N )

N

x M

N

i

 i

 m  ^1

MEDIA ARITMETICA

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MEDIA ARITMETICA

  (^)  

     

N

i

n xi N

x x x N (^) 1

1 2

1 ...

1 x m

La media aritmetica di un insieme di N valori x 1 , x 2 , …, xN di un carattere quantitativo X è data da:

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CONSIDERAZIONI

 La media aritmetica dipende da tutti i valori

osservati e quindi risente dei valori estremi (valori anomali);

 La media aritmetica sintetizza la distribuzione di

un carattere con un solo valore

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MEDIANA - Me

 È la modalità che si trova al centro di una distribuzione ordinata in modo non decrescente (crescente). È la modalità presentata dall’unità centrale del collettivo.

 La mediana divide il collettivo in due sottoinsiemi di uguale numerosità. Pertanto la metà delle unità osservate registra un valore inferiore alla Me mentre l’altra metà assume valori superiori a Me.

 Può essere calcolata solo se il carattere è quantitativo o qualitativo ordinabile (^) 13

MEDIANA

Se abbiamo una serie ordinata di dati

x (1) ≤ x (2) ≤… ≤ x ( i ) ≤… ≤ x ( N )

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1 2 2



N N

e

x x

Se N è pari → M

Se N è dispari →  

Me  x N  1

ESEMPIO - 2

 Si considerino i seguenti valori e si calcoli la mediana:

24.780, 25.769, 24.285, 26.301, 25.782, 26.526, 26.623, 27.

 N è pari → 2 posti centrali

 N/2 = 8/2 = 4°  N/2 + 1 = 8/2 +1 = 5°

 OCCORRE ORDINARE I VALORI:

24.285, 24.780, 25.769, 25.782, 26.301, 26.526, 26.623, 27.

 Me = 25.782 - 26.301 oppure Me = 26.041,

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La media risente dei cambiamenti effettuati agli estremi di una distribuzione, mentre la mediana è insensibile a questi cambiamenti.

La mediana non è influenzata dagli outliers: nel caso di osservazioni estreme è opportuno descrivere l’insieme di dati con la mediana piuttosto che con la media.

DIFFERENZE TRA LA MEDIA ARITMETICA

E LA MEDIANA

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CONSIDERAZIONI SULLA MODA

• Fornisce informazioni solo su una modalità del carattere;
• Dipende solo dalle frequenze;
• Unica misura di tendenza centrale per dati in scala nominale.
• Acquista validità solo se vi è una netta prevalenza di una modalità/intensità;
• Si calcola su tutti i tipi di caratteri;
• A differenza della media, la moda non è influenzata dagli outliers.^19

MODA

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Tipologia di farmaco Numero reparti Frequenze % Antidolorifico 100 25 Antibiotico 200 50 Antiblastico 80 20 Altro 20 5 Totale 400 100 Consumi ml.( € )

N. reparti

10 20 12 80 31 90 40 140 52 70 Totale 400

La moda è la modalità prevalente del carattere