Derivata di una funzione: Concetti fondamentali e applicazioni, Dispense di Matematica Generale

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Corso di Matematica Generale

M-Z

Dipartimento di Economia

Universit´a degli Studi di Foggia

DERIVAZIONE

Giovanni Villani

CONCETTO DI DERIVATA

Sia f : X → R ; x 0 ∈ X; x 0 punto di accu-

mulazione per X. Si denota con:

1. ∆f (x 0 ) = f (x) − f (x 0 ) l’incremento della funzione nel punto x 0 ;

2. ∆x 0 = x − x 0 l’incremento della variabile x nel punto x 0 ;

∆f (x 0 ) ∆x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

il rapporto incre-

mentale della funzione f relativo a x 0.

Definizione 1 Si definisce derivata della fun- zione f nel punto x 0 il limite del rapporto incrementale:

x^ lim→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

e si denota con: f ′(x 0 ); D(f (x 0 )); d f (x 0 ) dx 1

Significato geometrico della derivata

Sia f : X → R e sia f derivabile in x 0.

Consideriamo due punti:

P 0 = (x 0 , f (x 0 )) ; P = (x; f (x))

Il coefficiente angolare della retta secante (S) passante per P 0 e P `e:

m(P 0 P ) = f (x) − f (x 0 ) x − x 0

L’equazione della retta secante (S) passante per P 0 e P `e:

y = f (x) − f (x 0 ) x − x 0

(x − x 0 ) + f (x 0 )

Per x che tende a x 0 , il punto P si avvicina P 0 e la retta secante (S) tender´a a diventare tangente alla curva nel punto P 0.

Di conseguenza il coefficiente angolare della retta tangente `e :

mT = (^) xlim→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

= f ′(x 0 )

e l’equazione della retta tangente alla cur- va nel punto P 0 `e:

y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 )

Quindi la derivata di una funzione f in x 0 ´e il coefficiente angolare della retta tangente (T ) nel punto del grafico (x 0 , f (x 0 ))

Sia f : X → R e sia x 0 ∈ X un punto di

accumulazione a destra per X.

Definizione 4 Se esiste il limite del rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x 0 per x che tende ad x 0 da destra, tale limite si definisce derivata destra di f in x 0 e si denota con f (^) +′ (x 0 ), f (^) d′(x 0 ) oppure D+f (x 0 ):

f (^) +′ (x 0 ) = lim x→x+ 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

La funzione f si dice derivabile a destra in x 0 se la derivata destra di f in x 0 esiste ed `e finita, ossia:

lim x→x+ 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

= f+(x 0 ) ∈ R

Osservazione 2 Se x 0 ∈ R `e di accumulazione

a destra e a sinistra per X, ed L ∈ R allora:

∃ f ′(x 0 ) = L ⇐⇒ ∃ f (^) −′ (x 0 ) , ∃ f (^) +′ (x 0 ) e f (^) −′ (x 0 ) = f (^) +′ (x 0 ) = L

Punti angolosi e cuspidali

Esaminiamo i casi in cui non esiste la derivata di f in x 0.

1. Il punto (x 0 , f (x 0 )) ´e un punto angoloso se:

∃ f −′ (x 0 ) ∈ R e ∃ f +′ (x 0 ) ∈ R; f −′ (x 0 ) 6 = f +′ (x 0 ).

Nel punto (x 0 , f (x 0 )) esistono due tangenti di- verse alla curva:

t− : y = f (x 0 ) + f (^) −′ (x 0 )(x − x 0 ); Tang. sinistra t+ : y = f (x 0 ) + f (^) +′ (x 0 )(x − x 0 ); Tang. destra

Nel caso in cui le due derivata in x 0 sono una finita e l’altra infinita si parla ancora di punto angoloso.

Derivate di ordine superiore al primo

Sia f : X → R ; X intervallo.

La funzione f si dice derivabile in X se `e derivabile in ogni punto di X, ossia:

∀x ∈ X : ∃ f ′(x) ∈ R

Quindi, se la f e derivabile in X, si puo deter- minare una nuova funzione che ad ogni x ∈ X associa f ′(x). Tale funzione si definisce fun- zione derivata prima o di ordine uno e si de- nota con uno dei seguenti simboli: D f, f ′, f 1 , ossia:

f ′^ : x ∈ X → f ′(x) ∈ R

Definizione 5 Si definisce come derivata se- conda di f in x 0 il limite, se esiste, del rapporto incrementale della funzione f ′^ relativo al punto x 0 per x che tende a x 0 , o equivalentemente, la derivata, se esiste, della funzione f ′^ in x 0 , e si denota con f ′′(x 0 ), D^2 f (x 0 ). Quindi:

f ′′(x 0 ) = (^) xlim→x 0

f ′(x) − f ′(x 0 ) x − x 0

Definizione 6 Una funzione f e derivabile due volte in x 0 se la derivata secondae finita, ossia:

f ′′(x 0 ) ∈ R

Regole di derivazione

1) Siano f, g : X → R, f, g derivabili in x 0 allora

la funzione f + g ´e derivabile in x 0 e:

D (f + g)(x 0 ) = D f (x 0 ) + D g(x 0 )

2) Sia f : X → R, a ∈ R, f derivabile in x 0 allora

la funzione a f ´e derivabile in x 0 e:

D (af )(x 0 ) = a Df (x 0 )

3) Siano f, g : X → R, f, g derivabili in x 0 allora

la funzione f · g ´e derivabile in x 0 e:

D (f · g)(x 0 ) = D f (x 0 ) · g(x 0 ) + f (x 0 ) · D g(x 0 )

4) Siano f, g : X → R, f, g derivabili in x 0

con g(x) 6 = 0 ∀x ∈ X allora la funzione fg ´e derivabile e:

D

( f g

) (x 0 ) = f ′(x 0 ) g(x 0 ) − f (x 0 ) g′(x 0 ) [g(x 0 )]^2

5) Sia f : X → R, f derivabile in x 0 e f (x) 6 =

0 ∀x ∈ X allora la funzione (^1) f ´e derivabile in x 0 :

D

( 1 f

) (x 0 ) = − Df (x 0 ) [f (x 0 )]^2

Teorema 2 (di derivazione delle funzioni com- poste)

Siano f : X → Y ; g : Y → R; f derivabi-

le in x 0 e g derivabile in y 0 = f (x 0 ). Allora

g ◦ f : X → R `e derivabile in x 0 e :

D (^) (g ◦ f (^) ) (x 0 ) = g′(f (x 0 )) · f ′(x 0 )

4. La funzione valore assoluto: f (x) = |x| ´e derivabile per x 6 = 0 e si ha:

D |x| = |x| x

5. La funzione seno:f (x) = sin x ´e derivabile e si ha:

D sin x = cos x

6. La funzione coseno:f (x) = cos x ´e deriva- bile e si ha:

D cos x = − sin x

7. La funzione tangente: f (x) = tan x ´e derivabile e si ha:

D tan x =

cos^2 x

, ∀x ∈ R −

{π 2

• kπ

}

8. La funzione cotangente: f (x) = cotg x ´e derivabile e si ha:

D cotg x = −

sin^2 x

, ∀x ∈ R − {π + kπ}

9. Funzione arcoseno: f (x) = arcsin x ´e e derivabile e si ha:

D arcsin x =

√^1

1 − x^2

, ∀x ∈] − 1 , 1[

10. Funzione arcoseno: f (x) = arccos x ´e e derivabile e si ha:

D arccos x = −

√^1

1 − x^2

, ∀x ∈] − 1 , 1[

11. Funzione arctangente: f (x) = arctan x ´e derivabile nel suo dominio e si ha:

D arctan x =

1 + x^2

, ∀x ∈ R

12. Funzione arccotangente: f (x) = arccotg x ´e derivabile nel suo dominio e si ha:

D arccotg x = −

1 + x^2

, ∀x ∈ R

Differenziale

Definizione 9 Sia f : X → R, x 0 ∈ X, f deri-

vabile in x 0. Si definisce differenziale della funzione f relativo al punto x 0 , e si deno- ta con il simbolo d f (x 0 ), la funzione che ad

ogni elemento x di R associa il numero reale

f ′(x 0 ) (x − x 0 ) cio´e:

d f (x 0 ) : x ∈ R → f ′(x 0 ) (x − x 0 )

Significato geometrico del differenziale

L’equazione della retta tangente alla curva e passante per il punto P (x 0 , f (x 0 )) `e:

T : y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 )

Da cui d f (x 0 )(x) = y − f (x 0 ), il differenziale di una funzione relativo al punto x 0 ´e quindi l’incremento di ordinata di un punto P (x, y) sulla retta tangente rispetto a P (x 0 , f (x 0 )).

Osservazione 5 La derivata di una funzione pu`o considerarsi come il quozioente fra il dif- ferenziale della funzione e il differenziale della variabile indipendente. Infatti se consideriamo il caso in cui f (x) = x, si ha che f ′(x) = 1 e:

d f (x 0 ) : x ∈ R → f ′(x 0 ) (x−x 0 ) = (x−x 0 ) = d x 0

Quindi, osservando che d f (x 0 ) = d x 0 , si ha che:

d f (x 0 ) = f ′(x 0 ) (x − x 0 ) = f ′(x 0 ) d x 0

da cui:

f ′(x 0 ) = d f (x 0 ) d x 0