DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo I ed un punto x0 ϵ I. Sia h un numero un
numero reale non nullo tale che x0 + h ϵ I e siano f(x0) e f(x0+h) i valori assunti dalla funzione nei
punti x0 e x0+h.
Diamo le seguenti definizioni:
Si dice incremento della variabile indipendente x nel passaggio dal punto x0 al punto x0+h la
quantità Δx=h
Si dice incremento della funzione y=f(x) relativo al passaggio dal punto x0 al punto x0+h la
quantità Δy=Δf(x)=f(x0+h)−f(x0)
Si dice rapporto incrementale della funzione y=f(x) relativo al punto x0 e all'incremento h il
rapporto tra l'incremento Δy della funzione f e l'incremento Δx della variabile indipendente:
Δy ═ f(x0 + h) – f(x0)
Δx h
Definizione di DERIVATA: Chiamiamo derivata di una funzione f(x) in un punto x0 il limite,
quando esiste, per h→ 0 del rapporto incrementale relativo al punto x0 e all'incremento h:
f'(x0)= lim f(x0+h) – f(x0)
h→0 h
Per indicare la derivata di una funzione di equazione y=f(x) si possono usare i seguenti simboli:
f'(x0) y' Dy Df(x0)
Se di una funzione f(x) esiste la derivata in un punto x0, si dice che f(x) è derivabile in x0.
Affinché una funzione sia derivabile in x0 deve quindi accadere che:
- la funzione sia definita in un intorno x0
- esista il limite del rapporto incrementale h → 0
- il limite sia un valore finito.
La funzione non è derivabile in x0 se:
- x0 è un punto isolato
- se il limite del rapporto incrementale è infinito
- se il limite non esiste.
Si dice derivata sinistra di una funzione y=f(x) in un punto x0, il limite, se esiste finito, h→0- del
rapporto incrementale sinistro relativo al punto x0 e all'incremento h<0:
f'-(x0)= lim f(x0+h) – f(x0)
h→0- h
