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Spiegazione chiarissime riguardanti le derivate.
Tipologia: Dispense
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Sul grafico della funzione f ( x ) individuiamo due punti di coordinate ( x 0 , f ( x 0 )) e ( x 0 + h , f ( x 0 + h )):
La retta secante la curva avrà, come noto, coefficiente angolare uguale al rapporto
incrementale
f ( x 0 + h ) – f ( x 0 ) x 0 + h – x 0.
Avviciniamo x 0 + h ad x 0 :
La nuova retta, sempre secante, avrà un diverso coefficiente angolare ottenibile con la medesima formula.
Immaginando di avvicinare in maniera infinitesimale x 0 + h ad x 0 (mandando cioè infinitesimamente h a 0)
si ottiene la retta tangente alla curva nel punto di coordinate ( x 0 , f ( x 0 )).
La derivata di f in x 0 (si indica f ′( x 0 )) è proprio il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di f in x 0 :
f ′( x 0 ) = lim h → 0
f ( x 0 + h ) – f ( x 0 ) h
Se tale limite esiste finito, si dice anche che f è differenziabile in x 0.
[Notazioni alternative di derivata per una funzione y = f ( x ):
●
dy dx (Leibniz)^ ●^ y^ ′ (Lagrange)]
Una funzione si dice derivabile in un intervallo [ a , b ] se è derivabile in tutti i punti dell’intervallo ] a , b [
Data una funzione f ( x ), quindi, si può definire punto per punto la sua derivata f ′( x )
● y = x
y ′ = (^) h lim → 0
( x + h ) – x h =^ h lim → 0
h h = 1
● y = x^2
y ′ = (^) h lim → 0
( x + h )^2 – x^2 h =^ h lim → 0
x^2 + 2 hx + h^2 – x^2 h = lim h → 0
h (2 x + h ) h = lim h → 0 (2 x^ +^ h ) = 2 x
● in generale: y = xn^ y ′ = nxn^ – 1^ (no dim.)
es.: y =
6 x^3 – 5 3 x^2 + 7 x
y ′ =
18 x^2 (3 x^2 + 7 x ) – (6 x^3 – 5)(6 x + 7) (3 x^2 + 7 x ) 2 =
18 x^4 + 84 x^3 + 30 x + 35 (3 x^2 + 7 x ) 2
altro es.: y = tg x ric.: y =
sin x cos x (in^ R^ ^ {
2 +^ k^ π,^ k^ ∊^ Z})
1 cos^2 x
y ′ =
cos x · cos x – sin x · (– sin x ) cos^2 x =
cos^2 x + sin^2 x cos^2 x
(oppure 1 + tg^2 x )
(provare per esercizio che, se^ y^ = cotg^ x^ (in^ R^ \ { k^ π,^ k^ ∊^ Z}), allora^ y^ ′ = –^
sin^2 x )
● caso particolare: y =
f ( x ) (funzione reciproca)^ y^ ′ = –
f^ ′( x ) [ f ( x )]^2 se^ f ( x ) ≠ 0
es.: y =
ln x y^ ′ = –
x ln^2 x = –
x ln^2 x
● ( Derivata della funzione inversa )
se la funzione x = f ( y ) è biettiva in un intervallo e g ( x ) = f – 1( x ) è la sua inversa, allora la derivata g ′( x ) è data da
g ′( x ) =
f ′( y ) | y = f – 1( x )
es.: y = arctg x
y ′ =
(tg y ) ′ | y = arctg x =^
1 + tg^2 y | y = arctg x =^
1 + x^2
(provare per esercizio che, se^ y^ = arcsin^ x ,^ y^ ′ =^
1 – x^2
e se y = arccos x , y ′ = –^
1 – x^2 )
● y = [ f ( x )] n^ y ′ = n [ f ( x )]
n (^) – 1
es.: y = sin^3 x y ′ = 3 sin^2 x · cos x
● y = ln( f ( x )) y ′ =
f ′( x ) f ( x )
es.: y = ln(cos x ) y ′ =
· f ′( x )
● y = e f ( x )^ y ′ = e f ( x )· f ′( x )
es. : = √^ ^ ′ = √^ ^ ∙ ^ ∙ −1 = −
√ √ altro es.:
y = ax^ (con a > 0 e ≠ 1) ric.: y = ax^ = ex ln^ a
y ′ = ex ln^ a^ · ln a = ax ln a
● y = sin( f ( x )) y ′ = cos( f ( x ))· f ′( x )
y = cos( f ( x )) y (^) f ( x ))· f ′( x )
y f ( x )) y ′ =
f ′( x ) cos^2
es.: y = sin
x y^ ′ = –
x^2
cos^1 x
● y = arcsin( f ( x )) y ′ =
f ′( x ) 1 – [ f ( x )]^2
y = arccos( f ( x )) y ′ = –^
f ′( x ) 1 – [ f ( x )]^2
y = arctg( f ( x )) y ′ =
f ′( x ) 1 + [ f ( x )]^2
es.: y = arccos( ex ) y ′ = –^
ex 1 – e^2 x
altro es.: y = arctg x y ′ =
2 x
1 + ( x )^2
2 x (1 + x )
Problema Determinare l’equazione della retta tangente alla curva di equazione
y = 2 x^3 + 5 x^2 – 6 x – 13 nel suo punto di ascissa x 0 = – 2
Passaggi : - calcolare y 0 : y 0 = 2(– 2)^3 + 5(– 2)^2 – 6(– 2) – 13 = 2(– 8) + 5(+ 4) – 6(– 2) – 13
= – 16 + 20 +12 – 13 = 3
√
′ = – sin(
= tg( (^) ( f ( x ))
(punti in cui i 2 limiti del rapporto incrementale - il destro e il sinistro - sono finiti ma diversi tra loro prendono il nome di punti angolosi )
altro es.: Il T. di Rolle non vale neanche per la funzione f ( x ) =
3 x^2 , ad es. in [ – 8, 8]: infatti anch’essa è continua in tutto R e f (– 8) = f (8) = 4, ma in 0
h lim → 0 ±
f (0 + h ) – f (0) h =^ h lim → 0 ±
3 h^2 h = lim h → 0 ±
3 h
= ± ∞, mentre il limite del rapporto
incrementale deve essere finito affinché la funzione sia derivabile
(punti in cui i 2 limiti del rapporto incrementale sono infiniti ma di segno diverso tra loro prendono il nome di cuspidi )
| x |
3 x^2
Teorema di Lagrange Se f è una funzione continua in un intervallo [ a , b ] e derivabile
in ] a , b [, allora esiste almeno un punto c ∊ ] a , b [ t.c. f ′( c ) =
f ( b ) – f ( a ) b – a
es.: Verificare le ipotesi del Teorema di Lagrange per la funzione f ( x ) = tg x in (^) [0,
4 ]
La funzione è continua e derivabile in (^) ]–
2 [ (o meglio in^ ]–
2 +^ k^ π^ [,^ k^ ∊^ Z),
in particolare è continua in (^) [0,
4 ]^ e derivabile in^ ]0,
4 [^ , quindi valgono le ipotesi di
Lagrange; per calcolare il punto in cui vale la tesi, si pone f ′( x ) =
f (
4 )^ –^ f (0)
f ′ ( x ) =
cos^2 x
cos^2 x =
→
cos^2 x =^
→ cos^2 x =
x = arccos
Teorema di de l’Hôpital Se f e g sono funzioni derivabili (con g ′( x ) ≠ 0) in un intervallo aperto (escluso al più in un punto x 0 interno all’intervallo), e lim x → x 0
f ( x ) = lim x → x 0
g ( x ) = 0
(oppure lim x → x 0
f ( x ) = lim x → x 0
g ( x ) = ∞), allora se esiste lim x → x 0
f ′( x ) g ′( x ) , esiste anche lim x → x 0
f ( x ) g ( x ) e
x lim → x 0
f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0
f ′( x ) g ′( x ).
es.: Calcolare lim x → 1
ln x
ln 1
Applichiamo de l’Hôpital:
x lim → 1
x
e^0 – 0 = 1
altro es.: Calcolare lim x → 0+
cotg x ln x =
x lim → 0+
sin^2 x 1 x
= lim x → 0+ –^
x sin^2 x =
0 F.I. ancora
2sin x cos x = –
altro es.: Calcolare lim x → 0+ x x^ [anche 0 0 è una F.I.]
H.
→"^ lim#^ $^ = lim →"#^ %& ^ = lim →"#
%& / (^) = →*%()#
/ /^ = →*%()#^ ^ = "^ = 1
Teorema di Weierstrass Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [ a , b ] ammette sempre un punto di massimo e un punto di minimo
Si dice che f ha un massimo relativo in x 1 se è possibile determinare un intorno di x 1 tale che f ( x ) ≤ f ( x 1 ) per ogni x in quell’intorno
Si dice che f ha un minimo relativo in x 2 se è possibile determinare un intorno di x 2 tale che f ( x ) ≥ f ( x 2 ) per ogni x in quell’intorno
è positiva , la funzione è crescente in x 0 ; se è negativa , la funzione è decrescente in x 0.
Quindi per determinare gli intervalli di monotonìa di una funzione derivabile f ( x ), si risolve la disequazione f ′( x ) > 0:
es.: Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione y =
x^2 – x + 4 1 – x
La funzione ha dominio R \ { 1 }
Calcoliamo y ′ =
(2 x – 1)(1 – x ) – ( x^2 – x + 4)( – 1) (1 – x )^2 =
y ′ > 0:
D > 0: (1 – x )^2 > 0 → x ≠ 1
La funzione è crescente per – 1 < x < 1 ⋁ 1 < x < 3 e decrescente per x < – 1 ⋁ x > 3
il punto x 0 = – 1 [o meglio: il punto (– 1, 3): l’ordinata si trova ovviamente sostituendo
il punto x 0 = 3 [o meglio: il punto (3, – 5)] è un punto di massimo relativo perché esiste un intorno di 3 in cui la funzione è crescente a sinistra di 3 e decrescente a destra di 3
Ricordare inoltre il seguente
Teorema Se una funzione ha un massimo o un minimo relativo in un punto x 0 , in quel
punto la derivata, se esiste , è nulla
altro es.: Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione y = x · e 1/ x
La funzione ha dominio R \ { 0 }
Calcoliamo y ′ = 1· e 1/ x^ + x · e 1/ x · (^) (–
x^2 )^ =^ e
1/ x · (1 –
x )^ =^ e
1/ x · x^ – 1 x
Tralasciando il fattore e 1/ x^ (positivo ∀ x ∊ D), studiamo il segno di
x – 1 x
y ′ > 0:
x – 1 x > 0
N > 0: x – 1 > 0 → x > 1
D > 0: x > 0
La funzione è convessa per x < – 1 ⋁ x > 3 e concava per – 1 < x < 3
il punto (^) (– 1, –
4 )^ - dove avviene il cambio di concavità - prende il nome di^ punto di flesso (per la precisione flesso discendente : da convessa a concava)
il punto (^) (3, –
4 )^ è un^ flesso ascendente : da concava a convessa
Ricordare il seguente
Teorema Se una funzione ha un flesso in un punto x 0 , in quel punto la derivata seconda,
se esiste ed è continua insieme alla derivata prima , è nulla
altro es.: Determinare gli intervalli di convessità e concavità della funzione
y = –
2 x – 2^ arctg^ x La funzione ha dominio R \ { 0 }
Calcoliamo y ′ =
2 x^2
1 + x^2
calcoliamo y ′′ = –
x^3
3 x^4 – 2 x^2 – 1 x^3 (1 + x^2 )^2
y ′′ > 0:
3 x^4 – 2 x^2 – 1 x^3 (1 + x^2 )^2 > 0 (tralasciamo il fattore (1 +^ x
(^2) ) (^2) , sempre positivo)
N > 0: 3 x^4 – 2 x^2 – 1 > 0 t ← x^2 3 t^2 – 2 t – 1 > 0
1
3 t^2 – 2 t – 1 = 0 t < –
3 ⋁^ t^ > 1
x^2 < –
3 ⋁^ x
(^2) > 1 → x < – 1 ⋁ x > 1
D > 0: x^3 > 0 → x > 0
La funzione è convessa per – 1 < x < 0 ⋁ x > 1 e concava per x < – 1 ⋁ 0 < x < 1
il punto (^) (– 1,
2 )^ è un punto di flesso ascendente
il punto (^) (1, –
2 )^ è un punto di flesso discendente
(in 0 vi è un asintoto verticale)
Date le seguenti funzioni, verificare se nell’intervallo a fianco valgono le ipotesi di Lagrange; in caso affermativo trovare il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal Teorema:
30) y = – x^3 + 1 in [ – 2;1] 31) y =
x^2 – x in^ [–^
2 ;1]
x + 1^ in [1;2]
34) y = ln x – x in [ 1; e ] 35) y = ex^ + 1 in [0;1]
Calcolare i seguenti limiti:
36) (^) x lim → 0
e x^ + e –^ x^ – 2 x^2 37)^ x lim → 0
ln( x^2 + 1) ln( x + 1)
38) (^) x lim→ + ∞
xe x e^2 x^ + x 39)^ x lim → 3
x^3 – 7 x – 6 x^3 + 2 x^2 – 14 x – 3
40) (^) x lim → 0
e x^^3 – cos x x sin x 41)^ x lim → π
cotg(2 x )
42) (^) x lim → π
cos
x ln( x – 1)
44) (^) x lim → 1
e x^ – ex x^2 – 2 x + 1 45)^ x lim→ + ∞
x n e x^ ,^ n^ ∊^ N
Determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza delle seguenti funzioni:
46) y = x^3 – 3 x^2 47) y =
x^3 4 – 4 x + x^2
48) y = x 1 – x^2 49) y = 2 ln x + ln 2 x
1 + e –^ x
52) y =
x^2 – 4 x + 2 1 – x^2 53)^ y^ = ln^
x + 3 x – 5
Determinare gli intervalli di convessità e concavità delle seguenti funzioni:
54) y = 2 x^4 – 12 x^2 55) y =
x – 1 x + 3
56) y = x – 2 + 1 57) y = x + arctg( x – 1)
58) y = 2 x e – 1/ x^ 59) y = x ln( x – 1) – 2
Trovare i punti di massimo, minimo e flesso delle seguenti funzioni:
60) y = x^3 – 3 x^2 + 1 61) y =
x^3 3 ex
62) y =
x^2 – 4 x + 5 (1 – x )^2 63)^ y^ =^
x^2 + 4
64) y = ln( x^2 – 5 x + 6)
e 2 45)^^0
46) crescente per x < 0 ⋁ x > 2, decrescente per 0 < x < 2
47) cresc. per x < 2 ⋁ x > 6, decr. per 2 < x < 6
48) cresc. per –
< x <
, decr. per – 1 < x < –
< x < 1
49) cresc. per x >
e , decr. per 0 <^ x^ <
e
50) cresc. per 2 < x < 3 51) cresc. ∀ x ∊ R
52) decr. per x ≠ ± 1 53) decr. per x < – 3 ⋁ x > 5
54) convessa per x < – 1 ⋁ x > 1, concava per – 1 < x < 1
55) conv. per x < – 3, conc. per x > – 3 56) conc. ∀ x > 2
57) conv. per x < 1, conc. per x > 1 58) conv. per x > 0, conc. per x < 0
59) conv. per x > 2, concava per 1 < x < 2
60) Massimo M(0,1), minimo m(2,–3), flesso F(1,–1) (ascendente)
61) M(3,
e^3 ), Fa^1 (0,0), Fd(3 –^ 3,…), Fa^2 (3 +^ 3,…)
62) m(3,
2 ), Fd(4,
9 )^ 63)^ M(0,
4 ), Fd(–^
,…), Fa(
,…)
64) né max, né min, né flessi
