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Integrali
Sia f :[ a , b ] → R una funzione limitata e non negativa; si definisce “ integrale fra a e b di
f in dx ” e si indica con l’area del trapezoide delimitato dall’asse x , dalla curva
del grafico di f e dalle 2 rette x = a ed x = b :
Per calcolare tale Area costruiamo su [ a , b ] una sua partizione P = { a = x 0 , x 1 , x 2 , … , xn
= b } con xi +1 – xi = ∆ x , i = 0, 1, 2, … , n – 1; si chiama somma integrale inferiore relativa
a P il numero , dove mi = inf{ f ( x ): x i ≤ xi +1 }, cioè l’area del plurirettangolo in
figura:
si chiama somma integrale superiore relativa a P il numero , dove Mi =
sup{ f ( x ): x i ≤ xi +1}, cioè l’area del plurirettangolo in figura:
Per ogni partizione P si ha ovviamente ≤ ≤ per
n → ∞ la somma integrale inferiore e quella superiore convergono allo stesso limite, e
allora esiste l’ integrale di Riemann di f :
→^ lim ∙ ∆
→^ lim ^ ∙ ∆
(si noti che la variazione ∆ x , quando infinitesima, diventa dx )
Si dimostra che:
- sono integrabili su [ a , b ] le funzioni monotone su [ a , b ];
- sono integrabili su [ a , b ] le funzioni continue su [ a , b ].
Inoltre:
- se f è negativa, l’integrale è l’opposto dell’area;
- se f è una funzione costante f ( x ) = c , = c ( b – a ).
detta “Funzione Integrale di f ”, ammette derivata in ogni punto di [ a , b ] e inoltre F ′( x)
= f ( x )
Dim. : Per la proprietà di additività la differenza F ( x + h ) – F ( x ) si scrive:
,
,-.
,-.
,
,
,-.
,
,
Per il Teorema della Media Integrale tale valore è uguale al prodotto dell’ampiezza h
dell’intervallo [ x , x + h ] per un valore f ( z ), con z ∊ [ x , x + h ], perciò
F ( x + h ) – F ( x ) h =^ f ( z )
e calcolando il limite per h che tende a 0 di entrambi i termini si ha
lim .→
ℎ lim^ 0→,^ 1,
cioè F ′( x) = f ( x ). (per semplicità si è supposto h > 0)
Teorema Se f è limitata e continua in [ a , b ] eccetto al più un numero finito di punti,
allora f è integrabile in [ a , b ].
Integrale Indefinito
● Se f è la derivata della funzione A, A è chiamata primitiva di f ● Due primitive differiscono di una costante: esistono infinite primitive di f (una per
ogni costante)
● L’insieme delle primitive di f prende il nome di integrale indefinito di f e si indica con
.
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (II parte)
Se f è una funzione continua su [ a , b ] e A è una sua primitiva, allora
φ% φ&
Dim. : La funzione integrale è una particolare primitiva di f , quindi A( x ) = F ( x ) + c =
,
Calcoliamo A( a ): A( a ) = + c = 0 + c = c ;
Calcoliamo A( b ): A( b ) = + c = + A( a ).
Portando a primo membro e riutilizzando la variabile x si può scrivere
φ% φ&
È chiaro a questo punto che il calcolo degli integrali è strettamente collegato alla
determinazione delle primitive di una funzione
Integrali immediati
^3
+ 4 ∈ R\819
ln||
cos sin sin cos
cos tg ^ ^
sin cotg
A, A,^
1 arctg
arcsin arccos
Esempi
E
G 5I ^2
3 ^ 10 7N
G 5 I ^2
3 ^ 10 7
(la proprietà di linearità continua a valere anche per gli indefiniti)
O
G
P
O
G 2
P 9 5^ 7
EA,^ sin
N A,^ cos arcsin
1 ^
1 ^ ^
1 ^ 2
3 ^
2 ln|| 3arctg
2P^ 3√ √^ R
2P
G
P
G
P
G 2
3
O
P
3 2
3 ln
G O ^56
4√P
3 3 ln ^
5√T^ G
(si è scritto ln x e non ln| x | in quanto in ogni caso il dominio della funzione integranda è R>0, poiché vi è x al denominatore)
Accanto agli integrali immediati si possono citare quelli riconducibili ad immediati,
quelli cioè per cui, a meno di una costante moltiplicativa, siamo in uno dei seguenti casi:
UV^3 ∙ ′
UV3-
4 1 ^
4 ∈ R\819
ln||
Quindi anche nel caso in cui avessimo una funzione difficile – se non impossibile – da integrare, ma ci accorgiamo che l’intervallo d’integrazione è simmetrico e la funzione è dispari, sappiamo già che l’integrale è nullo Esempio
2tg A,]^ 1
R √h
√h^ R Attenzione! Dividere e moltiplicare è lecito se per una costante, ma non per una funzione:
A,]
2 2 ∙ A
,] ...
Integrazione per parti Ricordiamo la formula di derivazione di una funzione prodotto: i^ ∙ !jk^ k ∙ ! ∙ !′, portiamo a sinistra l’ultimo termine: ^ ∙ !′ i ∙ !j
k k ∙ ! e integriamo a sinistra e a destra:
∙ !′ i ∙ !jk k ∙ ! →
→ ∙ !′ ∙ ! k ∙ ! ,
cosiddetta formula di integrazione per parti. Esempi
cos sin 1 ∙ sin sin cos
f = x f ′ = 1 g ′ = cos x g = sin x
A, A,^ 2A, A,^ 2 lA,^ 1 ∙ A,m A,^ 2A,^ 2A,^ A, 2 2 f = x^2 f ′ = 2 x (iteriamo il f = x f ′ = 1 g ′ = ex^ g = ex^ procedimento)^ g ′ = ex^ g = ex In generale sembra conveniente scegliere x n^ come f , e l’esponenziale o la funzione goniometrica come g ′; attenzione però al seguente:
ln ln ∙
2 ln
2 ln 1 4
f = ln x f ′ =^1 x
g ′ = x g =
x^2 2
Nell’ultimo esempio si è necessariamente scelta x come g ′, in quanto ln x non ha
primitiva immediata; anzi, per calcolare l’integrale di ln x bisogna utilizzare proprio
l’integrazione per parti; vediamo come:
ln 1 ∙ ln ln
∙ ln ln 1
f = ln x f ′ =
x g ′ = 1 g = x
Altro esempio “particolare”:
A,^ cos A,^ sin A,^ sin A,^ sin lA,^ cos A,^ cos m
f = ex^ f ′ = ex^ f = ex^ f ′ = ex
g ′ = cos x g = sin x g ′ = sin x g = – cos x cioè
A,^ cos A,^ sin A,^ cos A,^ cos
solo apparentemente siamo entrati in un circolo “vizioso”: infatti, se trattiamo
l’espressione ottenuta come un’equazione e portiamo a sinistra la nostra incognita
A,^ cos , otteniamo:
A,^ cos A,^ cos A,^ sin A,^ cos → A,^ cos
A,
sin cos
Integrazione per sostituzione
Nell’integrale
√1 ^
operiamo la sostituzione * ← √, da cui * , quindi
= 2 t , cioè dx = 2 t dt ; si ha:
√1 ^
1 * ^ ^
1 * * 2arctg * 2arctg√^
Nel caso in cui l’integrale da risolvere per sostituzione fosse definito bisogna ricordare
di ricalcolare anche gli estremi:
P 2
P (^) 2ln 2 ln 1 2 ln 2 ln 4 ~ 1, 386
q P
I
t ← x , x = t^2 , dx = 2 t dt , t (4) = 2, t (9) = 3
t{
!!. : * ← √2 1 v|
R√1
!!. : * ← √1 ^ R
vr
!!. : * ← √ vs
vt √ + 2^ R^ !!. : * ← √ + 2^ R^ vv Y1 !!. : ← sin * (complicato!!!)
Risolvere i seguenti integrali definiti:
vw
^ vx ^
ln
R
P
vy
P
I^ 1
vz
A √,
R R √
v{
sin 1 cos ^ w|
3arctg arctg 1
h
h P
wr PA,
ws √ √^ R^
I
wt
√1 ln^
wv
ww
√ 2^ R^
wx
sin P 2A,]-^
Y√G
Y√G
G
O Calcolare i seguenti limiti:
wy lim ,→
' A*
, Andando a sostituire 0 alla x si ottiene la forma indeterminata 00 ; applicando il Teorema di de l’Hôpital e ricordando che, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la derivata della
Funzione Integrale al numeratore è proprio la funzione integranda, si ha
H.
lim ,→
' A*
, lim^ ,→
A,
wz lim ,→
'1 cos
, P^ w{ lim ,→
' ^ 4
,
' tg`
,
Soluzioni:
r
P
3 ^ ^ s
YG^ ^4
YP^
t
Y v^2 3
YP^
w
ln 4 ^ x 2 4 cotg y tg z A,^ ln|| + { 12 arctg 4 arccos r| arctg
rr 2 arctg rs
4 3 O
rt 6Y1
arcsinG ^ rv ln Y|^ + 2 3|^ +
rw ln |1 + ln cos |+ rx + ln1
ry A
, (^) rz A, }~[ ,^
r{ sin ln s| cos A,^
sr
2 tg^ 4 ^ ss
arcsin P 3
st
3 arctg
3 ^ sv sin ^
cos ` tg
sw ln | sin cos | + sx
sy
2 tg^ A
, (^) + sz 1 12 arctg
P4
s{
3 Eln
3 N ^ t| tg ln^ |^ cos | +
tr arctg ln Y 1 ts 2 cos sin
tt A ,^ E
2 N ^ tv
2 arcsin
Y 1
tw
2 sin 2
4 cos 2 ^ tx
2 Usinln cosln V
ty A, 2 3 tz 1arctg
t{ 2arctg√2 1 v|
2 Y1
R
vr lni√ 1j vs
2Y 2P
3 2√ 2^
vt
Y 2R^ ^3
RY 2 (^) I vv^1 2 arcsin
2 Y1 ^
vw
3 vx ln 3^ vy
4 ln 2
