Differenziabilit`a e Continuit`a
Dalla definizione di differenziabilit`a, segue subito il seguente
risultato.
Teorema. Una funzione f:A⊂Rn→Rdifferenziabile in x0
`e continua in x0. Inoltre essa `e derivabile in ogni direzione, e si
ha ∂f
∂v(x0) = (∇f(x0),v),
dove abbiamo indicato con (∇f(x0),v)il prodotto scalare tra il
gradiente di fin x0e il vettore v.
Dim. Sia fdifferenziabile in x0, cominciamo a provare che essa
`e anche continua. Evidentemente risulta che
f(x)−f(x0) = f(x)−f(x0)−(∇f(x0),x−x0)
kx−x0kkx−x0k+
+(∇f(x0),x−x0).
essendo la funzione differenziabile in x0per x→x0i due ter-
mini al secondo membro tendono a 0 e quindi f(x)→f(x0),
cosicch´e f`e continua in x0.Proviamo la seconda parte. Sia v
una direzione e sia x=x0+tv.Quando t→0 si ha che x→x0
e quindi per definizione di differenziabilit`a si ottiene
lim
t→0
f(x0+tv)−f(x0)−(∇f(x0), tv)
t= 0.
Per definizione di prodotto scalare, si ha (∇f(x0), tv) = t(∇f(x0),v)
e quindi
lim
t→0
f(x0+tv)−f(x0)
t= (∇f(x0),v).
che rappresenta la tesi.
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