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CONCEVO. Di DIFFERENZIALE. s) R deg=g' luo) hs g' (xo) dx BlxotMh]=glol+g'lxol-L4+0 (x) L ) loi differo di gB NY€ dg (to) = 2E (xo)-di42E (adi... Sx ov + d8 (xoldx= = ta 28 (kol dxi= RIS da = T$ (10) da ass|îî | deo Si dimostra. che la aaa S{xo}+dg 0] rofpresenta L'iperpiono tarpente colle iperssupenticre NEL pumco (10,8 (xa) eLa one gr" € differenmobile in % x si poò roppresertore come: gltotds)=8 (o) + G(10)+ enore TEOREMI! *" segpente veoremo: Se ona fonzione f:1R2-bIR € differenziohi® in Xo Pin Xo,glxo) ommere ipapav tangibile e tole iperpiore connene ture le dervane direzionali «n ape? poro. ? Me IL Viene * o Vola prints? vu 0 = hl era] FR mou € Ai lu \i Ma vi SUale teorema in R° »Se ona Zonzione € diggerenzobile in mt T anche conava. inve «Il segoene teorema. da una condizione sufficiente per le differenziabile: 188 IN 00 Interno di %o 8 € derwabile parzialmente e le eve derware parziali sono contiabe +8 È diggerenziohile o nin IR: ch. per avere Max o min € y'=o “In IR": C.N. per AVERE MAX o ma DE w=0 3° Teorema. B:XEIR"PIR x on aperto, ex, f diggerenadiile in vo. Se g Ma un max 0 min in to +dfl)=0 joesa DE\xo)=0. osservazione: = porsi di mox e min interi of dominio se $ € diggerenziabile ne? domino, si devono cercare Sra i poni che onnollore gradiente, , Rr>R ui 4 apporre. Lea peeazeai=0 a PIE a piene — ui i z dlul (0,9) € o rea - 1°) perte er 3 4(1)=0 si teso * GIL] Cei a Gt, peli doti A LAM Pi id prg? Papi Pe s Safilo dg DI 5, 7 pe ora] de AN) HH) Lee vi et ferri {IRR DA difbewrihh ya fol a n° le: k Veoh) = Wo) ia ddl Li Liri Tdu, h R e giR"-R" esiste un analogo del teorema di differenziazione composta precedente per funzione F:R” > R definita come F(1)= f(g(1)). La risposta è affermativa però abbiamo bisogno di definire la differenziabilità per funzioni vettoriali giR">R". Defiazione: Lena Bonzore e eSene 00 h»0 si fa che B roth) -Glol= Tg ol b+Olini) DIMOSTRAZIONE: Se abbiamo una funzione g : R” — R”, ovvero % M “ = dove y;= gil| i [|i=l],...n, tm In tm tale che esistono wa) Vi=l,...m j=l,..,m e dx; tale che le Li sono continue in un intorno di x, dx; allora g è differenziabile in &. La matrice jacobiana viene spesso indicata con * ax ed è rappresentata da gradg(x0) radg3(x0) Jg(xg)=| STINO. gradgn(x0) dgi(x9) dg;(x0) dg) & è tm gn(x9) Ègn(x9) n gn(x0) x (1.9) m ASAP si dice differenziabile vm XY poro inverno di A ‘e Ito) dea martiae zacchara tofe che tiner® con ELMO: ESEMPIO: Calcolare la matrice jacobiana nel punto 0) della funzione giR° > R? definita come DEAL, Jg(0b= aio dg2(01) |" è & e! 23] -[ ] si 3» (0,1) 13 2° VEOREMA fia g:A + dove ASR® E opero. Sia 4 digferenzionite in xo=x0,4 Xo,2... o, NA Corsidenamo mnottre n gorioni x; :RMpRli=£...,n) digferenziob@i nto er” da Le” xiltol=loi Wisd,. AUUERO. obbiamo vno Soore x:R-RN toe che 5] TE Sora queste iporesi cueniomo ele lo fonzione compasso F:R"LR geo se FIA) = Seeta)=g lx, (BI, ... nl) € difgerenziobile 10 fo con deliai=< gradf (ta st) e deva porzi oli GF (10) _S(x0) Alt), _, F(X9) Axy (00) di; è da; U è dà; conj=1,....,m. Ovvero VF(t9)=Vf(x0)Jx(10). "ESEMPIO: Sia /(x,y)=3x-7y e sia g:R° > R° 2,2 definita come (i): {2-5 |. Calcolare il (5) ont gradiente WF(t9) della funzione composta F(1)= f(g(1)) nel punto #9 =(0,1). Osserva che la funzione g è stata scelta uguale a quella di cui abbiamo già calcolato la matrice jacobiana nel punto (0,1) inoltre {()-L} Sappiamo che fè differenziabile in tutto R? e quindi in particolare è differenziabile nel punto CI Possiamo ora applicare’ il teorema di differenziazione composta ovvero VF(0.1)=Vf(0.2)/g(0,1). Calcolando vi(0,2)=(3,-21y?] _ =,-84 1002)= (2193) 78-80) quindi VF(0,1) = 0-s9(.] 5] =(81,-252) Lo stesso esercizio poteva essere svolto per sostituzione come visto in precedenza. ; F= 10) = 3 -n)-763-1 +1) da cui segue VF(1,19)= | 6tiî+211?-42113+218+18+421) -421 611} — 6308 — 631?13 +1261$1, — 6313 +126131, 12618 e quindi se valutiamo il gradiente nel punto (0,1) otteniamo lo stesso risultato precedente VF(0,1)= (81,-252) anche se in questo caso il calcolo è stato più complesso. Da qui l'utilità del teorema di differenziazione composta che ci permette di semplificare i calcoli in casi analoghi al precedente. “et” af] va) e considerate la funzione f:R° — R definita come f(a,b)=4a®-3b e le "lr To) F:R°>R definite da LA) DA )} Calcolare il gradiente ve((" ) rispettivamente nel 2 punto (1,2) per la funzione 1); nel punto (0,1) per la funzione 2) e nel punto (1,0) per la funzione 3). Risolviamo il CASO 1) (gli altri sono lasciati per esercizio). La funzione g è differenziabile nei punti x>0 e x3>0 quindi | è differenziabile nel re 05 e em 2): Sappiamo che f è differenziabile in tutto R? e quindi log2 in particolare è differenziabile nel pumo| " Possiamo ora applicare il teorema di differenziazione composta ovvero VF(1,2) = Wf(log2,0)Jy (1,2). Calcolando VY (0g 2,0) = (8a,=3),1092,9) = (8108 2-3) mentre dg;(12) 2,012) è am | dg2(1,2) 2g3(12) [7 ES J,(12)= 12) 1 VF(1,2) = (8log2, A 3|-on2-a 4log2) 20 
