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DIFFRAZIONE E INTERFERENZA DI ONDE MATERIALI
Attualmente l’equazione di Schr¨odinger e confermata da una massa imponente di dati sperimentali nei campi fenomenologici piu disparati. Sono tuttavia interessanti anche le verifiche dirette dell’esistenza di onde associate al movimento di particelle materiali. Queste sono state ottenute per la prima volta nel 1927 mediante esperimenti di diffrazione e interferenza con elettroni analoghi a quelli che si eseguono con le onde elettromagnetiche. Valutiamo innanzitutto la lunghezza dell’onda associata al movimento di una particella materiale di data energia. Secondo la relazione di de Broglie si ha λ = √ 2 hmE , h = 6, 626069 10−^27 erg s.
Per una particella macroscopica, anche piccola e lenta, λ e talmente piccola da rendere impossibile qualsiasi esperimento di diffrazione. Per esempio, per m = 10−^5 g e una velocita di qualche cm s−^1 , λ risulta dell’ordine di 10 −^22 cm. Occorre quindi ricorrere a particelle microscopiche leggere, come gli elettroni. Poich´e me = 9, 109382 10−^28 g e 1 eV = 1, 602176 10−^12 erg, per un elettrone risulta λ = √^12 E,(eV)^26 ˚A. Per E dell’ordine di 100 eV, λ e dell’ordine di 1 ˚A. Occorre quindi utilizzare come reticoli di diffrazione cristalli (come per i raggi X). La diffrazione di fasci di elettroni per riflessione su cristalli (analoga alla diffrazione alla Bragg di raggi X)e stata realizzata da Davisson e Germer (1927). La diffrazione di fasci di elettroni per trasmissione attraverso cristalli (analoga alla diffrazione alla von Laue di raggi X) e stata realizzata da G. P. Thomson (1927). In entrambi i casi, la rivelazione degli elettroni produce figure aventi l’andamento tipico delle figure d’interferenza. Attualmente la tecnica permette di realizzare esperimenti di diffrazione e interferenza con fasci di particelle piu pesanti. Ad esempio si fanno raffinatissime esperienze di interferometria con fasci di neutroni (cosiddetti ultrafreddi).
INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA
Accertata l’esistenza di fenomeni ondulatori nella propagazione di particelle materiali e accettata l’equazione di Schr¨odinger iℏ (^) ∂t ∂ψ(x, t) =
− 2 ℏm^2 4 + V (x, t)
ψ(x, t) come equazione che regge tali fenomeni, resta il problema di interpretare la funzione d’onda ψ(x, t). L’interpretazione deve conciliare l’esistenza di aspetti corpuscolari e aspetti ondulatori nel comportamento delle particelle materiali. L’esistenza, sulla quale torneremo fra breve, di entrambi tali aspetti apparentemente inconciliabili e di solito indicata come dualismo onda–corpuscolo. Prima di enunciare il principio interpretativo oggi universalmente accettato (talvolta con qualche distinguo che, pur concettualmente importante, non ha alcuna rilevanza pratica), conviene stabilire alcune proprieta dell’equazione di Schr¨odinger e delle sue soluzioni. Linearita dell’equazione di Schr¨odinger L’equazione di Schr¨odingere lineare. Cio significa che se ψ 1 (x, t) e ψ 2 (x, t) sono due soluzioni anche a ψ 1 (x, t) + b ψ 2 (x, t) (con a e b costanti complesse)e soluzione. In particolare, una soluzione puo sempre essere moltiplicata per una costante arbitraria. Carattere scalare della funzione d’onda di Schr¨odinger L’equazione di Schr¨odingere compatibile con l’assunzione che la funzione d’onda ψ(x, t) sia un campo scalare.
Conservazione della norma e normalizzazione della funzione d’onda Se l’integrale esteso a tutto lo spazio di una densita %e finito, cioe see definita la corrispondente quantita totale, la conservazione locale della quantita implica evidentemente la conservazione globale della quantit`a medesima. E infatti, inserendo nell’equazione (4) le espressioni di % e di j, si ha
d dt
V^ d
(^3) x % = ddt^ ∫ V^ d
(^3) x ψ∗ψ = 2 imℏ^ ∫ Σ^ dσ
ψ∗^ ∂n ∂ψ − ψ ∂n ∂ψ∗
Sotto opportune condizioni sul comportamento all’infinito della funzione d’onda ψ, l’integrale al primo e secondo membro `e convergente per V → R^3 e l’integrale all’ultimo membro tende a 0. Allora (5) (^) ddt
d^3 x % = ddt
d^3 x ψ∗ψ = 0.
Se l’integrale che compare nella (5) `e convergente la funzione d’onda ψ si dice normalizzabile e il numero reale positivo ‖ψ‖ ≡
d^3 x ψ∗ψ
si dice norma di ψ. L’equazione (5) significa che l’equazione di Schr¨odinger conserva la norma della funzione d’onda. Se una funzione d’onda e normalizzabile la costante arbitraria in essa contenuta puo sempre essere scelta in modo che sia
‖ψ‖^2 =
d^3 x ψ∗ψ = 1.
La funzione d’onda si dice allora normalizzata.
Comportamento ondulatorio e comportamento corpuscolare L’esistenza di fatto di un comportamento ondulatorio delle particelle materiali e dimostrata dagli esperimenti di diffrazione e interferenza gia menzionati. Esistono d’altra parte certamente comportamenti corpuscolari delle particelle materiali (e infatti cosı continuiamo a chiamarle): in opportune condizioni esse si comportano come particelle classiche di data massa. Se ψ(x, t)e un pacchetto ben localizzato e l’evoluzione temporale lo mantiene tale, il dualismo tra i due comportamenti puo non apparire drammatico. Ma ci sono casi in cui una funzione d’onda, anche inizialmente ben localizzata, va incontro a sparpagliamenti notevoli (ad esempio nei fenomeni di diffrazione). Appare allora difficile associare una funzione d’onda spazialmente molto estesa a un oggetto che dovrebbe essere sostanzialmente puntiforme. Tuttavia esiste un aspetto del comportamento delle particelle materiali che ne rivela il carattere corpuscolare in ogni caso, anche quando la funzione d’ondae estesa. Occorre precisare che le figure di interferenza cui abbiamo accennato si formano solo quando il fascio con il quale si effettua l’esperimento e costituito da un grande numero di elettroni. Se l’intensita del fascio e debole e se il dispositivo rivelatoree in grado di rivelare elettroni singoli, l’immagine che si forma e il risultato del progressivo accumulo di un grande numero di punti, ciascuno corrispondente al risultato della rivelazione di un singolo elettrone. In altri termini il risultato della determinazione della posizione di un singolo elettronee sempre l’attivazione di un elemento rivelatore e uno solo (naturalmente assumendo che essi elementi funzionino in modo perfetto) e l’estensione spaziale e la forma della funzione ψ governano solo la distribuzione dei diversi risultati associati ai diversi elettroni costituenti il fascio.
Un’interpretazione che prescinde dall’osservazione della particella L’interpretazione di Born, se presa alla lettera, non attribuisce alcun valore o dominio di valori alla posizione di una particella se questa non viene osservata. Cio puo apparire insoddisfacente. Supponiamo che la funzione d’onda della particella considerata sia confinata nel nostro laboratorio. L’affermazione "la particella non e sulla luna"^ ci appare allora del tutto ragionevole. Un piccolo ulteriore passo ci conduce all’affermazione "la particellae nel nostro laboratorio". Questo punto di vista puo essere formalizzato attribuendo alla posizione della particella al tempo t una distribuzione di valori con densita dei valori data da %(x, t) = ψ∗ψ, anzich´e un valore definito come avviene in meccanica classica. Allora %(x, t) = densita di valori di x al tempo t, cioe %(x, t) d^3 x e l’ammontare dei valori di x entro l’elemento di volume d^3 x attorno a x al tempo t. La distribuzione dei valori di x cambia nel tempo obbedendo all’equazione di continuita quantistica. Di conseguenza, posto j(x, t) = − 2 imℏ^ (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗), j(x, t) = densita di corrente dei valori di x al tempo t nel punto x, cioe j(x, t)·n dσ dt e l’ammontare dei valori di x che attraversa l’elemento di superficie dσ (contenente il punto x) durante il tempo da t a t + dt nel verso indicato dal vettore unitario n (ortogonale a dσ). L’interpretazione della funzione d’onda ora espostae completata aggiungendo che, ove l’osservazione della posizione venga fatta, la distribuzione di probabilita dei risultati coincide con la distribuzione dei valori. L’interpretazione descritta sopra e completata come dettoe del tutto equivalente a quella di Born per quanto riguarda le previsioni. Tuttavia essa permette (sembra a me), data la funzione d’onda, una piu ricca attribuzione di proprieta fisiche alla particella. Cio sara ancora piu chiaro quando il principio enunciato per la posizione sara affiancato da proposizioni analoghe riguardanti altre grandezze. Adotteremo nel seguito l’atteggiamento interpretativo esposto in questa pagina, come credo faccia pi`u o meno consapevolmente la maggior parte dei fisici nell’uso concreto della meccanica quantistica.
Osservazioni sul concetto di probabilit`a in fisica
Nell’ambito della fisica, si possono attribuire al concetto di probabilita due diversi significati comee illustrato di seguito: probabilit`a di un evento
misura della tendenza intrinseca di quell’evento a verificarsi (ha significato per un singolo evento) oppure probabilit`a di un evento
frequenza relativa di quell’evento su un gran numero di eventi (ha significato solo considerando un gran numero di eventi)
Naturalmente, se si adotta la prima definizione, si aggiunge anche che tale tendenza intrinseca si traduce nel valore della frequenza relativa dell’evento considerato su un gran numero di eventi. Quindi in ogni caso la verifica sperimentale di una distribuzione di probabilita tra diversi eventi richiede la determinazione del numero di eventi di ciascun tipo che si verificano in un gran numero di prove ripetute in condizioni identiche. Un insieme di (un gran numero di) prove ripetute in condizione identiche prende il nome di insieme statistico, o anche ensemble. Nel caso della rivelazione della posizione di particelle, considerando un ensemble di particelle tutte descritte dalla medesima funzione d’onda ψ(x, t), %(x, t) d^3 x sara la frazione di particelle effettivamente osservata nel volume d^3 x attorno a x al tempo t. Se si ha a che fare con un fascio di N particelle (non interagenti), N % fornira la densita macroscopica effettivamente osservata e N j la densit`a di corrente macroscopica effettivamente osservata.
1/2 ONDE, CORPUSCOLI E FUNZIONE D’ONDA 09/10 10
Se zR `e la coordinata dello schermo R,
%(x) dx =
dt
dy jz (x, y, zR, t) dx rappresenta il numero totale di conteggi dei rivelatori di dato x riferito al numero di particelle nel fascio. Se la sola fenditura 1 oppure la sola fenditura 2 sono lasciate aperte il diagramma dei conteggi ha l’andamento indicato rispettivamente nelle figure (a) e (b).
x↑ x (^) ↑ x (^) ↑ x↑
→% →% →% →%
x↑ x (^) ↑ x (^) ↑ x↑
→% →% →% →% (a) (b) (c) (d)
Ma se entrambe le fenditure sono aperte i termini incrociati danno luogo a interferenza e il diagramma dei conteggi ha l’aspetto indicato nella figura (d). A causa dell’interferenza, i conteggi con entrambe le fenditure aperte sono diversi dalla somma, figura (c), dei conteggi con una sola fenditura aperta. Ma il bello viene adesso Poniamo a ridosso delle fenditure, entrambe aperte, due rivelatori ideali (cio`e in grado di rivelare il passaggio della particella senza alterare le onde diffratte).
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F R Per il carattere corpuscolare delle nostre particelle solo uno dei due rivelatori puo indicare il passaggio di ciascuna particella e corrispondentemente ciascuna particellae descritta dalla sola ψ 1 o dalla sola ψ 2. Tra i due schermi possiamo dividere il fascio in due sottofasci ciascuno costituito dalle particelle che sono passate per una data fenditura e sono descritte dalla corrispondente funzione d’onda, ψ 1 o ψ 2. Il diagramma dei conteggi relativi a ciascun sottofascio corrisponde alle figure (a) e (b). Ci aspettiamo, pur con entrambe le fenditure aperte, ma dotate dei rivelatori, di ottenere il diagramma somma (c). E cosıe.
Domande e risposte Domanda:
Risposta: Domanda: Risposta: Domanda: Risposta:
nel caso delle due fenditure senza rivelatori possiamo ritenere che ciascuna particella passi per l’una o per l’altra delle due fenditure? no, perch´e se cosı fosse otterremmo lo stesso risultato che con i rivelatori. che tipo di comportamento evidenzia l’esperimento senza i rivelatori alle fenditure? evidenzia un tipico comportamento ondulatorio, l’interferenza. come si manifesta il comportamento corpuscolare? per bassa intensita del fascio (quando possiamo ritenere che le particelle siano inviate una per volta) solo uno dei rivelatori di R risulta attivato ogni volta; e se mettiamo i rivelatori a ridosso delle fenditure solo uno dei due rivelatori risulta attivato ogni volta. Attenzione! Abbiamo fatto passare di soppiatto una caratteristica stupefacente del comportamento quantistico. Il confronto dei risultati dell’esperimento con e senza i rivelatori addossati alle due fenditure mostra che dobbiamo ammettere che la semplice rivelazione del passaggio della particella provoca un cambiamento della funzione d’onda: solo l’onda emergente dalla fenditura attraverso la quale `e rivelato il passaggio sopravvive alla rivelazione.
Nota E interessante notare^ ` che il risultato di un esperimento in cui si ponga un rivelatore a ridosso di una sola fenditura !! !! !! !!
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F R
e identico a quello dell’esperimento con rivelatori a ridosso di entrambe le fenditure. Infatti, se risultano attivati un rivelatore di R e il rivelatore a ridosso di 1, la particellae certamente passata per 1; ma se risulta attivato un rivelatore di R e non il rivelatore a ridosso di 1, la particella `e altrettanto certamente passata per 2.
RELAZIONI DI INCERTEZZA
Il comportamento ondulatorio delle particelle materiali e dei quanti di radiazione (fotoni) ha come conseguenza il sussistere di limitazioni di principio alla possibilita di attribuire (in sensi diversi) valori arbitrariamente precisi alla posizione e al momento lineare (o alla velocita) di una particella. Tali limitazioni si traducono in relazioni del tipo
∆x ∆px & h, ∆y ∆py & h, ∆z ∆pz & h,
ovvero
∆x ∆vx & h/m, ∆y ∆vy & h/m, ∆z ∆vz & h/m.
Queste si dicono relazioni di incertezza (o di indeterminazione); furono stabilite da Heisenberg attraverso l’analisi di diversi esperimenti ideali e furono dallo stesso elevate al rango di principio. Discutiamo due significativi esperimenti ideali di Heisenberg.
Diffrazione attraverso una fenditura
Un fascio di particelle (o anche una singola particella) di momento lineare ben definito incide ortogonalmente su uno schermo parallelo al piano yz nel quale `e praticata una fenditura di larghezza d parallela all’asse z.
La coordinata y di una particella che attraversa la fenditura e cosı determinata con l’incertezza ∆y ∼ d. Ma a una particella di momento p e associata un’onda di lunghezza λ = h/p, che viene diffratta dalla fenditura entro un angolo di ampiezza α 0 tale che sin α 0 ∼ λ/d. Alla direzione di propagazione individuata dall’angolo α (compreso tra α 0 e −α 0 ) corrisponde un momento nella direzione y dato da py = p sin α. L’incertezza di pye quindi ∆py ∼ p sin α 0 ∼ p λ/d = h/d.
Il prodotto delle due incertezze vale pertanto ∆y ∆py ∼ h.
Localizzazione per mezzo di un microscopio.
Misuriamo la posizione di un elettrone illuminandolo con un fascetto di luce di lunghezza d’onda λ e raccogliendo su uno schermo sensibile l’immagine creata da una lente.
Un fotone diffuso dall’elettrone crea sullo schermo un’immagine P ′^ della posizione P dell’elettrone. L’apertura finita della lente da luogo a diffrazione, per cui la posizione di P ′^e affetta da un’imprecisione che permette di risalire alla coordinata x di P con un incertezza
∆x ∼ λ/ sin ε,
dove ε e la semiapertura della lente vista da P. D’altra parte, a causa dell’apertura non nulla della lente, la direzione nella qualee stato diffuso il fotone e incerta e quindi la componente x del momento del fotonee affetta da un’incertezza p sin ε = (h/λ) sin ε. Poich´e nell’urto fotone–elettrone il momento si conserva, all’incertezza del momento del fotone dopo l’urto corrisponde l’introduzione di un’uguale incertezza del momento dell’elettrone dopo l’urto. Anche se il momento dell’elettrone era prima della misurazione perfettamente definito, esso acquisisce per effetto della stessa un’incertezza
∆px ∼ (h/λ) sin ε.
Quindi il prodotto delle due incertezze vale almeno ∆x ∆px ∼ h.
